4.2 等差数列（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2 等差数列（单元教学设计）

一、【单元目标】

(1)借助日常生活中的具体案例，深入理解等差数列的定义及其通项公式所蕴含的数学意义，能够将实际问题抽象为等差数列模型。

(2)通过主动探索，熟练掌握等差数列前n项和的计算方法，并深刻理解通项公式与前n项和公式之间的内在联系，能够灵活运用两者解决实际问题。

(3)在面对实际问题时，能够敏锐地识别出数列中的等差关系，并运用所学知识有效解决相关问题，展现数学应用能力。

(4)通过对比分析，理解等差数列与一元一次函数在形式、性质上的相似之处，深化对数学模型间相互关联的认识。

二、【单元知识结构框架】

三、【学情分析】

学生在学习等差数列前，已初步掌握数列的基本概念及通项公式，具备了一定的抽象逻辑思维能力。然而，等差数列的概念较为抽象，通项公式和前n项和公式的推导过程对学生来说可能具有一定难度。因此，在教学过程中需注重实例引导，通过生活中的实例帮助学生理解等差数列的概念，通过小组合作、探究学习等方式，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学素养和问题解决能力。

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约4课时

教学重点：集等差数列的概念、等差数列的通项公式和性质、等差数列前n项和公式的推导.

教学难点：等差数列的概念、通项公式、几何意义、前项和公式.

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

环节一、情景引入，温故知新

情景：同学们，你们知道吗？哈雷彗星在过去300多年里的出现时间：1682年、1758年、1834年、1910年、1986年，其实隐藏着一个神秘的规律。通过这个规律，我们甚至可以预测哈雷彗星下一次何时会“造访”地球。今天，我们就将一起揭开这个秘密，深入探索这类具有特殊规律的数列，看看它们背后究竟藏着怎样的数学奥秘。

环节二、抽象概念，内涵辨析

1．等差数列的定义

问题1：观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．

(1)近5届冬奥会举办的时间：2006,2010,2014,2018,2022；

(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40，…；

(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.

以上数列有什么共同特点？

【破解方法】通过具体实例，引导学生明白这三个实例中的数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．

【归纳新知】

文字语言形式

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．

知识点诠释：

⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；

符号语言形式

对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．

知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关．

2.等差中项

问题2：由等差数列的定义可知，如果1，x，4这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？

【破解方法】能．由定义可知，即.

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．

【归纳新知】

等差中项

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．

知识点诠释：

①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一．

②三个数，，成等差数列的充要条件是．

3．等差数列的通项公式

问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

【破解方法】

推导过程：

（1）归纳法：