4.2 等差数列（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2 等差数列（单元教学设计） 一、【单元目标】 (1)借助日常生活中的具体案例，深入理解等差数列的定义及其通项公式所蕴含的数学意义，能够将实际问题抽象为等差数列模型。 (2)通过主动探索，熟练掌握等差数列前n项和的计算方法，并深刻理解通项公式与前n项和公式之间的内在联系，能够灵活运用两者解决实际问题。 (3)在面对实际问题时，能够敏锐地识别出数列中的等差关系，并运用所学知识有效解决相关问题，展现数学应用能力。 (4)通过对比分析，理解等差数列与一元一次函数在形式、性质上的相似之处，深化对数学模型间相互关联的认识。 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生在学习等差数列前，已初步掌握数列的基本概念及通项公式，具备了一定的抽象逻辑思维能力。然而，等差数列的概念较为抽象，通项公式和前n项和公式的推导过程对学生来说可能具有一定难度。因此，在教学过程中需注重实例引导，通过生活中的实例帮助学生理解等差数列的概念，通过小组合作、探究学习等方式，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学素养和问题解决能力。 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约4课时 教学重点：集等差数列的概念、等差数列的通项公式和性质、等差数列前n项和公式的推导. 教学难点：等差数列的概念、通项公式、几何意义、前项和公式. 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：同学们，你们知道吗？哈雷彗星在过去300多年里的出现时间：1682年、1758年、1834年、1910年、1986年，其实隐藏着一个神秘的规律。通过这个规律，我们甚至可以预测哈雷彗星下一次何时会“造访”地球。今天，我们就将一起揭开这个秘密，深入探索这类具有特殊规律的数列，看看它们背后究竟藏着怎样的数学奥秘。 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．等差数列的定义 问题1：观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)近5届冬奥会举办的时间：2006,2010,2014,2018,2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 以上数列有什么共同特点？ 【破解方法】通过具体实例，引导学生明白这三个实例中的数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． 【归纳新知】 文字语言形式 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 知识点诠释： ⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）； 符号语言形式 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关． 2.等差中项 问题2：由等差数列的定义可知，如果1，x，4这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 【破解方法】能．由定义可知，即. 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 【归纳新知】 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 知识点诠释： ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一． ②三个数，，成等差数列的充要条件是． 3．等差数列的通项公式 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 【破解方法】 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义可得：， 所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． （2）叠加法： 根据等差数列定义，有： ， ， ， … 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， 所以． （3）迭代法： 所以． 【归纳新知】 等差数列的通项公式 首项为，公差为的等差数列的通项公式为：， 知识点诠释： ①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 证明：因为， 所以 所以 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况． 问题4：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 【破解方法】等差数列中，每一项都可以看作是一次函数在时的取值，即。因此，数列中的每一项与对应的下标n构成的点，都精确地落在一次函数的图像上，并且这些点是均匀且孤立分布的。此外，等差数列的公差d与一次函数的斜率紧密相连。实际上，斜率d就是等差数列的公差，它可以通过数列中任意两项的差除以它们下标的差来计算，即（其中n和m是任意的两个不同下标）。公差d的正负直接决定了等差数列的单调性。当d>0时，数列是严格递增的；当d=0时，数列变为一个常数列，即所有项都相等；而当d<0时，数列则是严格递减的。 4．等差数列的性质 问题5：如果是等差数列，，，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 【破解方法】由定义可知，两式相减得，即． 问题6：若数列是等差数列，公差为，则这四项之间有什么样的关系? 【破解方法】，容易发现，因为，故有． 【归纳新知】 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 5．等差数列的前n项和公式 问题7：如图，从第1行到第n行一共有多少个字？ 【破解方法】在讨论等差数列的求和时，我们可以根据项数的奇偶性来进行分析，但有趣的是，最终的结果并不依赖于项数的奇偶。当等差数列的项数为奇数时，我们可以选择“落单”中间一项或最后一项，这样剩下的项数就变成了偶数。通过这种转化，我们可以利用偶数项数列的求和公式来简化计算。然而，经过实际的计算验证，我们发现无论是否进行这种转化，等差数列的求和结果都是相同的，即。同样地，当等差数列的项数为偶数时，我们直接应用求和公式进行计算，得到的结果仍然是。因此，我们可以得出结论：等差数列的求和结果与项数的奇偶性无关，统一由公式​给出。这个公式简洁而明了，无需根据项数的奇偶性进行区分。 【归纳总结】 等差数列的前项和公式 公式一： 证明：倒序相加法 ① ② ①+②： 因为 所以 由此得： 公式二： 证明：将代入可得： 知识点诠释： ①倒序相加是数列求和的重要方法之一． ②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 6．等差数列的前项和的有关性质 问题8：设等差数列的前n项和为，公差为d，你能发现与的关系吗？ 【破解方法】 ，同样我们发现，这里出现了一个数列，是一个公差为的等差数列. 【归纳新知】 等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：等差数列的判断 【例1】判断是不是等差数列的项，如果是，是第几项？ 【解析】由题意，数列满足，可得， 可得这个数列的通项公式为， 令，解得， 即是这个数列的第项. 【对点训练1】判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差． （1）95，82，69，56，43，30； （2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111； （3）1，－2，3，－4，5，－6； （4）1，，，，，，． 【解析】（1）由，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为； （2）通过观察可知，，，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列； （3）通过观察可知，，，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列； （4）由，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为. 【对点训练2】已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 【解析】（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 题型二：等差数列的通项公式及其应用 【例2】（1）已知等差数列的通项公式为求公差和首项； （2）求等差数列8,5,2…的第20项. 【解析】（1）当 时，由的通项公式为 可得. 于是 把代入通项公式，可得 （2）由已知条件，得 把代入+(),得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是 【对点训练1】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式． (2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由． 【解析】（1）设数列的公差为． 由题意可知，，，于是． 因为，所以，所以． 所以． 所以数列的通项公式是． （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以是数列的第8项． 题型三：等差数列的证明 【例3】已知是等差数列的前n项和． （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求． 【解析】（1）∵ ∴ ∴ ∴是等差数列； （2）， 公差 又∵ ∴ ∴ ∴. 【对点训练1】已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 【解析】（1）数列是等差数列， 证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以， 又因为， 故， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列， 而，， 所以. 题型四：等差中项及应用 【例4】求下列各组数的等差中项： （1）647和895；         （2）和. 【解析】（1）设647和895的等差中项为，则，故647和895的等差中项为； （2）设和的等差中项为，则，故和的等差中项为. 题型五：等差数列性质的应用 【例5】已知数列是等差数列，p，q，s，，且．求证． 【解析】设数列的公差为d，则 ，，，． 所以，． 因为，所以． 【对点训练1】已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，求a20的值 【解析】∵a1+a3+a5=105，∴3a3=105， 解得a3=35，同理由a2+a4+a6=99，得a4=33 ∵d=a4-a3=33-35=-2， ∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1. 题型六：等差数列前n项和的有关计算 【例6】已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【解析】（1）因为，，根据公式， 可得． （2）因为，，所以．根据公式， 可得． （3）把，，代入， 得． 整理，得． 解得，或（舍去）． 所以． 【对点训练1】根据下列等差数列中的已知量，求相应的未知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． 【解析】（1）因为等差数列中，，，， 所以， ； （2）因为等差数列中，，，， 所以， 解得； （3）因为等差数列中，，，， 所以， 整理得，解得，或（舍去）， ； （4）因为等差数列中，，，， ， . 题型七：等差数列前n项和的性质 【例7】已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 【解析】由题意知，，把它们代入公式得 ，解方程组得， 所以由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 【对点训练1】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数． 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， ，解得， 项数，中间项为， 由， 所以此数列中间一项是，项数为. 题型八：等差数列前n项和的最值问题 【例8】已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 【解析】解法1：由以，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，； 当时，； 当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 解法2：因为， 易知二次函数在时递增，在时递减， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 【对点训练1】已知数列的通项公式为，前n项和为．求取得最小值时n的值． 【解析】当，， 解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 题型九：等差数列的实际应用 【例9】某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围． 【解析】设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列．由已知条件，得 ． 由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是． 根据题意，得， 即， 解这个不等式组，得． 所以d的取值范围为． 【对点训练1】某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 【解析】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前n项和为． 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位． 【对点训练2】一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． （1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ （2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 【解析】（1）第一辆车出发事件为14时，每辆车的间隔时间为，即为小时， 则第15辆车在小时后，最后一辆车出发的时间为， 所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟. （2）设每辆车行驶的时间构成数列， 由题意可得构成首项为，公差为的等差数列， 则15辆车行驶的时间的和为小时， 所以行驶的总里程为. 环节四：小结提升，形成结构 问题9：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）等差数列定义的文字语言和符号语言分别是什么？ （2）判断一个数列是否为等差数列有几种方法? 应用等差数列定义的关键是什么? （3）我们是如何由等差数列的递推公式推导其通项公式的？ （4）等差数列有哪些性质？推导等差数列的性质的关键是什么？ （5）推导等差数列的前n项和公式时，用了哪些方法? 【破解方法】学生回顾课堂知识、梳理知识框架，主动展示交流，然后教师点评、总结. 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．已知在等差数列中，，．求． 【解析】设等差数列的公差为d，则在等差数列中， ， 2．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 【解析】在和之间插入3个数，使这5个数成等差数列， ，解得， ， ， ， 插入的这3个数为，，． 3．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？ 【解析】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项，， 则， . 综上可知，，第10排的座位数个. 4．在等差数列中，，，且，求． 【解析】设等差数列的公差为 则 所以 5．根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和． （1），，；     （2），，； （3），，；     （4），，． 【解析】（1）由题意，，， 所以 （2）由题意，，， 所以. （3）由题意，，，， 所以 （4）由题意，，， 由，得 ，解得， 所以. 6．等差数列，，，…的前多少项的和是？ 【解析】等差数列，，，…的首项为公差， 设前n项的和为-100，则有， 解得：n=10. 即等差数列，，，…的前10项的和是. 7．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 【解析】设等差数列的公差为， 则，解得， 则. 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第25页习题4.2第3、4、5、9、10题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 在本次等差数列及其前n项和公式的教学中，我深感公式的推导和应用是教学的重点与难点。通过课堂实践，我意识到以下几点需要改进和加强： 首先，公式推导过程需要更加详细和直观。虽然等差数列前n项和公式的推导在数学逻辑上是严谨的，但对于学生来说，理解起来仍有一定难度。因此，在教学过程中，我应该更多地运用图形和实例来辅助推导，使学生能够更直观地理解公式的来源。 其次，公式的应用需要更多的练习和巩固。等差数列前n项和公式是数学中的重要工具，广泛应用于各种问题中。因此，我需要设计更多样化的练习题，让学生在实践中掌握公式的应用方法，提高他们的解题能力。 最后，我还需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生提供有针对性的指导和帮助，确保每个学生都能理解和掌握这一重要知识点。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$