专题4.5 等比数列的概念（12类必考点）讲义-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦等比数列的概念这一核心知识点，系统梳理定义（文字、符号、递推关系）、等比中项、通项公式、证明方法、单调性及性质，通过类比等差数列构建知识脉络，形成从基础到应用的学习支架。 资料细分12个考点，涵盖定义理解到实际应用，如用提丢斯—波得定则实例培养数学眼光，通过递推关系证明提升数学思维，符号与文字结合强化数学语言。课中辅助教师系统授课，课后练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

专题4.4 等比数列的概念 【知识梳理】 1 【考点1：等比数列的定义】 3 【考点2：等比中项】 5 【考点3：求等比数列的通项公式】 7 【考点4：由递推关系证明等比数列】 9 【考点5：验证是否为等比数列中的项】 11 【考点6：等比数列下标和性质及应用】 14 【考点7：等比数列子数列性质及应用】 16 【考点8：正项等比数列的对数成等差数列的应用】 18 【考点9： 等比数列的其他性质】 21 【考点10：等比数列的单调性】 24 【考点11：求等比数列中的最大（小）项】 27 【考点12：等比数列的实际应用】 31 【知识梳理】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是. 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：＝q（常数）{an}为等比数列； (2)中项法：a＝an·an＋2{an}为等比数列； (3)通项公式法：an＝k·qn（k，q为常数）{an}为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. [易错提醒] (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　　 5．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 6．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 7．等比数列的性质 设{}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则. (2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 . (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 8．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【考点1：等比数列的定义】 1．（25-26高二上·上海·课前预习）①1，，，，… ②，1，，1，… ③1，，，，… ④3，12，48，192，… 观察上述4个数列，它们有什么共同特点？ 【答案】每一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等． 【分析】相邻两项相比可得答案 【详解】每一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等． 2．（25-26高二·全国·随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义可得正确的选项. 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 3．（多选）（25-26高二上·江苏淮安·月考）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【分析】根据等比数列的定义对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 4．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）下面四个选项中，正确的有（    ） A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列 B．常数列b，b，…，b一定为等比数列 C．等比数列中，若公比，则此数列各项相等 D．等比数列中，各项与公比都不能为零 【答案】CD 【分析】对于ABD，结合等比数列的定义中进行分析判断即可； 对于C，结合等比数列的定义可判断. 【详解】当乘以的常数为0时，不是等比数列，故A错误； 时不是等比数列，故B错误； 由等比数列的定义，若，则，即，故C正确； 由等比数列的定义可得各项与公比均不能为0，若有一项为0，则比值没有意义，故D正确. 故选：CD. 5．（多选）（25-26高二上·江苏南京·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．若，则a，b，c成等比数列 B．若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1 C．数列为等差数列的充要条件是对任意，都有 D．若数列为等差数列，则数列也为等差数列 【答案】BCD 【分析】A选项，可举出反例；B选项，根据等比数列和公比的定义得到B正确；C选项，先得到必要性成立，再得到必要性成立，C正确；D选项，根据等差数列的定义得到也为等差数列. 【详解】A.如数列0，0，0，满足，但a，b，c不成等比数列，故错误； B.若一个常数列是等比数列.即，则这个数列的公比是，故正确； C.若数列为等差数列.则，即，故必要， 若，即为，则数列为等差数列，故充分，故正确； D.若数列为等差数列，设，则，为定值， 故数列也为等差数列，故正确 故选：BCD 【考点2：等比中项】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列，，则（    ） A． B．24 C． D． 【答案】C 【分析】由等比中项即可求解. 【详解】由题意：， 即， 所以. 故选：C 2．（2025·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 3．（25-26高三上·北京·期中）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先利用等比中项的性质结合已知条件求出，再根据等比中项的性质求出． 【详解】是等比数列， ， ，，解得或（舍去）， ，， ，解得． 故选：A． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出． 【详解】是等比数列，设公比为， ， 是方程的两根， ，同号，且， ，解得， 又 ，故C正确． 故选：C． 5．（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 【考点3：求等比数列的通项公式】 1．（2026高三·全国·专题练习）写出数列的一个通项公式： ． 【答案】 【分析】利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】由后一项比前一项始终等于，可知该数列是等比数列， 则通项公式为：，， 故答案为： 2．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知递减的等比数列，前三项的积为216，前三项的和为19，则 . 【答案】 【分析】列出等比数列通项公式，根据题目中的条件，列出首项与公比的等式，求解，再将代入即可. 【详解】根据题意，数列为等比数列，则，又因为数列为递减数列，则， 又因为前三项的积为，前三项的和为，所以，， 可以得到，即，，解得：或（舍）， 或（舍），所以，所以， 故答案为：. 3．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】令先求出，然后根据递推关系可证明其是等比数列，由此即可写出通项公式. 【详解】因为数列的前项和为，，① 当时，，即， 当时，，② 由①－②得，即， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列． ∴. 故答案为： 4．（2025·全国·模拟预测）在数列中，，点在直线上，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据题意可得，故数列是以首项为1，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】∵点在直线上，∴. 又，∴数列是以首项为1，公比为2的等比数列，∴. 故选：B. 5．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求出，求得，令，求得答案. 【详解】由题可得， ， 令，即，，解得， 又，所以满足的正整数的最大值为12. 故选：B. 【考点4：由递推关系证明等比数列】 1．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，令，数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，即可求解． 【详解】根据题意，，设， ∴化简可得对照可得， ， 令，，又， ∴数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以， ，令，． 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据递推数列构造得数列是以2为首项，3为公比的等比数列，即可求解. 【详解】由，，得， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， ，得，. 故答案为：. 3．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知数列中，首项，若，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】由已知可得，即可得到是等比数列，从而可求出数列的通项公式. 【详解】由，得， 因为，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）（1）设数列满足，且，则数列的通项公式为 ． （2）已知数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】（1）利用构造法求出数列通项； （2）由变形给定等式，再利用构造法求出数列通项. 【详解】（1）由，得，而，则， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，， 所以. （2）数列中，，当时，，解得. 当时，，两式相减得，即， 整理得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，所以． 故答案为： ； 5．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，且，求的通项公式． 【答案】 【分析】由题，构造得，得数列是以3为公比，3为首项的等比数列，运算得解. 【详解】由，， 设，得， ，解得， ，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列， ，即. 【考点5：验证是否为等比数列中的项】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数． q 2 8 2 0.2 【答案】第一行：4，16，；第二行：50，0.08，0.0032 【分析】根据表格中的数据解出，再代入通项公式即可. 【详解】第一行：，所以. 第二行： 2．（25-26高二·全国·课堂例题）已知等比数列的首项为，公比． (1)求； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据等比数列的通项即可得解； （2）假设18是这个数列中的项，从而可得出关于的方程，再根据方程是否有正整数解即可得出结论. 【详解】（1）由等比数列的通项公式可知； （2）， 设18是数列中的第n项，则， 化简得，因为这个方程无正整数解， 所以18不是数列中的项． 3．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，，且. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 【答案】(1) (2)不是 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解； （2）根据通项公式判断－81是否为此数列中的项即可. 【详解】（1）由题意知，则或 (舍去)，∴. （2）当时，.显然－81不是此数列中的项； 当时，,令，无解， ∴－81不是此数列中的项． 4．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在各项均为负的等比数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)是否为该数列的项？若是，为第几项？ 【答案】(1)； (2)是该数列的项，为第6项. 【分析】（1）从等比数列概念出发得出，再代入等式解出，最后写出通项即可. （2）利用第（1）中的通式，代入，解出即可. 【详解】（1）因为，所以,数列是公比为的等比数列, 又，所以, 由于各项均为负，故，. （2）设，则，，， 所以是该数列的项,为第6项. 5．（25-26高二·江苏·课后作业）已知无穷数列…，求证： (1)这个数列是等比数列； (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的； (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的定义判断； （2）根据等比数列的定义判断； （3）由等比数列的通项公式判断． 【详解】（1）由题意知，所以是常数，数列是等比数列； （2）由（1）知； （3）设ap，aq是该数列的任意两项，其中p∈N*， q∈N*， ，显然， 所以是数列中的第项． 【考点6：等比数列下标和性质及应用】 1．（2025高二·湖南·专题练习）在等比数列中，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】在等比数列中，根据等比数列的性质，结合同号求解即可． 【详解】因为为等比数列，所以． 由可得，故． 又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以，所以． 故答案为：5. 2．（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设公比为， 所以， 当且仅当，即3时取等号，此时. 故选：B. 3．（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 所以，设等比数列的公比为， 由， 所以， 故选：C 5．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（   ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等比数列的性质可得：，结合对数运算知识整理，代入计算得解． 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：， ，， 所以 故选：D. 【考点7：等比数列子数列性质及应用】 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 2．（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）已知是公比为2的等比数列，若，则 . 【答案】200 【分析】将两个等式左右分别相除，借助于公比，找到两式间的数量关系即得. 【详解】记等比数列的公比为q，则. 因， 故． 故答案为：200. 3．（24-25高二下·河南周口·月考）若等比数列满足，，则 ． 【答案】112 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】，故，解得， 故． 故答案为：112 4．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 5．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【答案】BD 【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项. 【详解】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 【考点8：正项等比数列的对数成等差数列的应用】 1．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则 . 【答案】1011 【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得，进而求解结论. 【详解】数列、满足.其中是等差数列，， 为等差数列，设公差为，则，，则，故为等比数列， ， . 故答案为：1011. 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）数列的首项为，且，，则 ． 【答案】 【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 因为，所以数列为等差数列， 故． 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 【答案】(1)440 (2)205 【分析】（1）利用等差数列的求和公式和下标和性质即可得到答案； （2）根据正项等比数列的性质即可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式和等比中项的性质即可得到答案. 【详解】（1）由等差数列求和公式知． （2）∵为正项等比数列，∴为等差数列，从而 ． 4．（24-25高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用递推公式求出，根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式； （2）由，得到，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可． 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式 （2）由（1）可知，则 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以 5．（25-26高三上·重庆渝中·月考）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)记，，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用作差法，验证是否符合通式，即可求解的通项公式； （2）求得，化简得，结合裂项求和法可求. 【详解】（1）∵， ∴， 两式相减得. ∴， 又，，解得， ∴， 则的通项公式为； （2）∵， ∴， ， . 【考点9： 等比数列的其他性质】 1．（25-26高二上·山东枣庄·月考）已知由正数组成的等比数列中，公比，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件可求得结果. 【详解】由正项等比数列可得: , , 所以， 因为， 所以， 故选：A. 2．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知写出等比数列的通项公式，利用指数运算法则和等差数列的求和公式得到关于n的表达式，并化简整理，先求得最大时的n的值，再分析正负，即得最大时的n的值. 【详解】由题意知，， ∴ ， 又，则当或时取得最大值， 又当时，当时， 当时，当时， ∴或时取得最大值. 故选：C 3．（24-25高二下·浙江衢州·期末）已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】先判断出，从而得到，，，故可判断与1的大小关系. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故为各项为正数的等比数列. 因为，故，故， 故，，， 故，， 所以， ， ， 所以， 故选：B. 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为 . 【答案】 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】解：因为，且，所以， 所以数列为等比数列，则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 所以 故答案为: 5．（25-26高二上·贵州毕节·期中）设等比数列满足，，若为数列的前项积，则的最大值为 . 【答案】 【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，先求出首项和公比，结合等比数列的单调性，即可判断出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得 则， 所以， 因此， 当时，， 所以为使数列的前项积最大，只需或， 此时的最大值为. 故答案为：. 【考点10：等比数列的单调性】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 2．（25-26高三上·北京顺义·月考）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， ，或， 当时，显然满足，显然数列不是单调递增数列； 当数列为单调递增数列时，则有 ，或， 因此”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 3．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 4．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【分析】对于A，分，讨论可得；对于B、C，借助，得为递减数列，即，结合，得；对于D，由BC知当时，，当时，，即可得的最大项. 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 5．（2025高二·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项积为，并且满足以下条件：，，．给出下列结论： ①； ②； ③的值是中最大的； ④使成立的最大自然数等于198． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①④ 【分析】由等比数列的性质及通项公式判断①②；根据等比数列的性质及的含义判断③④. 【详解】由，得，即，又且， 所以，，即，故①正确． 由，且得，从而，故②错误． 由且得，故③错误． ， ， 故④正确． 故答案为：①④ 【考点11：求等比数列中的最大（小）项】 1．（24-25高二下·安徽·月考）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【答案】6 【分析】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【详解】在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6 3．（25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时， ． 【答案】3 【分析】由等比数列通项公式的基本量计算得到通项公式，再利用数列的单调性可求何时数列取最大值. 【详解】， 设数列公比为， 则，解得，即或（舍去） ∴，∴，∴， 设，则， 当时，，当时，， 故当时，取最大值， 故答案为：3 4．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）    根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案； （2）    利用作商法研究数列的单调性，进而得解. 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 5．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 【答案】(1) (2)25 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式可求得，，从而得到结果； （2）利用等差数列前项和公式得到，由二次函数单调性易得的最大值； （3）先求出等比数列的通项公式，然后分奇偶项讨论单调性即得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意知 解得，.所以的通项公式为. （2）的前n项和. 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，，， 因为等比数列满足，，所以，. 所以等比数列的公比为，.所以. 所以，. 故当时，取得最小值.当时，取得最大值. 【考点12：等比数列的实际应用】 1．（24-25高二下·河北保定·月考）提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）构成数列，且数列从第二项开始各项乘以10后再减4构成一个等比数列.已知，，则太阳系第5颗行星与太阳的平均距离为（    ） A．1.6 B．2 C．2.8 D．200 【答案】C 【分析】 由题意得到数列为等比数列，结合已知条件写出的第2项和第6项，继而求出的通项，根据数列与的关系求得即可. 【详解】 设数列从第二项开始各项乘以10再减4得到的等比数列为，公比为q， 因为，，所以，，所以，所以. 因为，所以，故. 故选：. 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，，，，按照此规律，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，判断为等比数列，求出其通项，代入即得. 【详解】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 所以数列是以，公比为的等比数列，所以， 所以， 故选：A. 3．（25-26高二上·上海·月考）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 【答案】(1) (2)7次 【分析】（1）根据圆柱体积公式 (其中V是体积，r是半径，h是高)，已知体积和长度，可求出半径； （2）先根据指数函数的性质，结合已知条件列出不等式，再求解不等式得到对折拉伸次数． 【详解】（1）设第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径分别为， ； ； 所以第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； （2）由题意得经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， 经过次对折拉伸之后面条的长度为， 设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得， 又直径， ， 又是单调递增函数，且当时，，当时，， 故至少经过7次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求． 4．（25-26高二上·上海·课后作业）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．    （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动多少次？ 【答案】 【分析】依次判断时的移动次数，根据规律可推理得到移动次数. 【详解】设是把个盘子从号针移到号针的最少移动次数， 当时，； 当时，小盘号，大盘号，小盘从号号，； 当时，用次把中小两盘移动到号，再将大盘移动到号，接着再用次把中小两盘从号转移到号， ； 以此类推，当且时，， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， 经检验：满足，. 5．（25-26高二上·福建龙岩·月考）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70％是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16％改造为绿洲，同时原有绿洲的4％被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第年绿洲面积为万平方千米. (1)求； (2)求第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60％？（） 【答案】(1)， (2) (3)6年 【分析】（1）根据题意确定第一年，第二年，第三年绿洲面积，即可得的值； （2）根据数列的递推关系确定第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系即可； （3）结合数列的递推关系式构造等比数列，从而列不等式，结合指对运算得所求. 【详解】（1）由题意可得， ， ； （2）由题意得 ， 所以； （3）由（1）得，所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，即， 两边取常用对数得， 所以， 所以， 故至少经过6年，绿洲面积可超过60%. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 等比数列的概念 【知识梳理】 1 【考点1：等比数列的定义】 3 【考点2：等比中项】 3 【考点3：求等比数列的通项公式】 4 【考点4：由递推关系证明等比数列】 4 【考点5：验证是否为等比数列中的项】 5 【考点6：等比数列下标和性质及应用】 7 【考点7：等比数列子数列性质及应用】 8 【考点8：正项等比数列的对数成等差数列的应用】 8 【考点9： 等比数列的其他性质】 10 【考点10：等比数列的单调性】 10 【考点11：求等比数列中的最大（小）项】 11 【考点12：等比数列的实际应用】 13 【知识梳理】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是. 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：＝q（常数）{an}为等比数列； (2)中项法：a＝an·an＋2{an}为等比数列； (3)通项公式法：an＝k·qn（k，q为常数）{an}为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. [易错提醒] (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　　 5．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 6．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 7．等比数列的性质 设{}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则. (2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 . (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 8．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【考点1：等比数列的定义】 1．（25-26高二上·上海·课前预习）①1，，，，… ②，1，，1，… ③1，，，，… ④3，12，48，192，… 观察上述4个数列，它们有什么共同特点？ 2．（25-26高二·全国·随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 3．（多选）（25-26高二上·江苏淮安·月考）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 4．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）下面四个选项中，正确的有（    ） A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列 B．常数列b，b，…，b一定为等比数列 C．等比数列中，若公比，则此数列各项相等 D．等比数列中，各项与公比都不能为零 5．（多选）（25-26高二上·江苏南京·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．若，则a，b，c成等比数列 B．若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1 C．数列为等差数列的充要条件是对任意，都有 D．若数列为等差数列，则数列也为等差数列 【考点2：等比中项】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列，，则（    ） A． B．24 C． D． 2．（2025·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·期中）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：求等比数列的通项公式】 1．（2026高三·全国·专题练习）写出数列的一个通项公式： ． 2．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知递减的等比数列，前三项的积为216，前三项的和为19，则 . 3．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 . 4．（2025·全国·模拟预测）在数列中，，点在直线上，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【考点4：由递推关系证明等比数列】 1．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且，则数列的通项公式为 ． 3．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知数列中，首项，若，则数列的通项公式 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）（1）设数列满足，且，则数列的通项公式为 ． （2）已知数列的前项和为，且，则 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，且，求的通项公式． 【考点5：验证是否为等比数列中的项】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数． q 2 8 2 0.2 2．（25-26高二·全国·课堂例题）已知等比数列的首项为，公比． (1)求； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 3．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，，且. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 4．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在各项均为负的等比数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)是否为该数列的项？若是，为第几项？ 5．（25-26高二·江苏·课后作业）已知无穷数列…，求证： (1)这个数列是等比数列； (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的； (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中． 【考点6：等比数列下标和性质及应用】 1．（2025高二·湖南·专题练习）在等比数列中，，则的值为 ． 2．（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 5．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（   ） A．8 B．9 C．16 D．18 【考点7：等比数列子数列性质及应用】 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则 . 2．（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）已知是公比为2的等比数列，若，则 . 3．（24-25高二下·河南周口·月考）若等比数列满足，，则 ． 4．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 5．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【考点8：正项等比数列的对数成等差数列的应用】 1．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则 . 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）数列的首项为，且，，则 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 4．（24-25高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．（25-26高三上·重庆渝中·月考）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)记，，数列的前项和为，求. 【考点9： 等比数列的其他性质】 1．（25-26高二上·山东枣庄·月考）已知由正数组成的等比数列中，公比，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）在等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江衢州·期末）已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为 . 5．（25-26高二上·贵州毕节·期中）设等比数列满足，，若为数列的前项积，则的最大值为 . 【考点10：等比数列的单调性】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·北京顺义·月考）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 4．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 5．（2025高二·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项积为，并且满足以下条件：，，．给出下列结论： ①； ②； ③的值是中最大的； ④使成立的最大自然数等于198． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【考点11：求等比数列中的最大（小）项】 1．（24-25高二下·安徽·月考）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 3．（25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时， ． 4．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 5．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 【考点12：等比数列的实际应用】 1．（24-25高二下·河北保定·月考）提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）构成数列，且数列从第二项开始各项乘以10后再减4构成一个等比数列.已知，，则太阳系第5颗行星与太阳的平均距离为（    ） A．1.6 B．2 C．2.8 D．200 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，，，，按照此规律，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·月考）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 4．（25-26高二上·上海·课后作业）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．    （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动多少次？ 5．（25-26高二上·福建龙岩·月考）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70％是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16％改造为绿洲，同时原有绿洲的4％被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第年绿洲面积为万平方千米. (1)求； (2)求第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60％？（） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $