4.2.1等差数列的概念（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1等差数列的概念 第2课时 教学设计 1、 课时教学内容 等差数列通项公式的简单运用。 2、 课时教学目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化计算． 3、 教学重点、难点 1. 重点:等差数列通项公式的变形及推广 2. 难点:等差数列的性质 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 例3某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解． 解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列．由已知条件，得 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以，于是 ． 根据题意，得 即 解这个不等式组，得 ． 所以，的取值范围为． 环节二 观察分析，感知概念 例4已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项． 解：（1）设数列的公差为．由题意可知，，，于是 ． 因为，所以，所以． 环节三 抽象概括，形成概念 如果插入个数，那么的公差是多少？ 所以 ． 所以，数列的通项公式是 ． （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得 ． 所以，是数列的第8项． 对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 环节四 辨析理解 深化概念 例5已知数列是等差数列，，且．求证． 分析：只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 证明：设数列的公差为，则 所以 因为，所以 环节五 概念应用，巩固内化 思考 例5是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 环节六 归纳总结,反思提升 问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1.等差数列的性质 (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列. (7)当时,数列为单调递增数列;当时,数列为单调递减数列;当时,数列为常数列. 2.若是公差为的等差数列,则还具有其他性质 (1) (2)下标成等差数列,则数列成等差数列,公差为. (3)是等差数列,则仍成等差数列(首项不一定选. (4)若为等差数列,则(为非零常数)也为等差数列. (5)去掉前几项后余下的项仍组成公差为的等差数列. (6)奇数项数列是公差为的等差数列;偶数项数列是公差为的等差数列. (7)若成等差数列，则也是等差数列. 环节七 目标检测，作业布置 完成教材： 课本17页习题4.2第1、2题 练习（第17页） 1．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗?第10排有多少个座位? 1．解析：由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，，则， ．综上可知，，第10排的座位数个． 2．画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 2．解析：由，其图象如下 由图可知，通过图象上所有点的直线的斜率为． 3．在等差数列中，，且，求． 3．解析：（方法一）设等差数列的公差为， ，两式相减得，，， ． （方法二）是等差数列，， ，，． 4．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 4．解析：（1）是等差数列．证明如下： （常数） 为等差数列． （2）为等差数列，首项，公差，． 5．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为． （1）将数列中的前项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少