四川省达州市万源中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高 2026 届第二次月考 数学试卷 第 1页 7. 四川省万源中学高 2026 届第二次月考试题（高二·上） 数 学 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的。 1.直线 1y x  的倾斜角大小为（ ） A.30 B.45 C.60 D.135 2.设向量  1, , 2a m  ，  2, 1,0b    ，若 a b   ，则m （ ） A. 1 B. 2 C.1 D.2 3.椭圆 x2＋y 2 11 ＝1的焦点坐标是( ) A．(±2 3，0) B．(0，±2 3) C．(± 10，0) D．(0，± 10) 4.直线 1sincos:   yxl 与圆 2 2: 1O x y  的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 5.若 ,l n是两条不相同的直线， ,  是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A．若  ， l  ，则 l // B．若 / /  ， l  ，则 l // C．若 l n ， n  ，则 l //  D．若 / /l  ， / /  ，则 l // 6.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．恰好有一个黑球与都是红球 C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有两个黑球与至少一个红球 8.在平面直角坐标系Oxy中，点 )1,0(),0,1(),0,4( CBA ，若点 P满足 2PA PB ，则 22 PCPO  的最大值为（ ） A．9 B．11 C．13 D．15 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错项得 0 分. 9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ） A．设 OCOBOA ,, 为空间的一组基底，且 ,2 1 2 1 OCOBOAOD  则 DCBA ,,, 四点共面 B．若非零向量 cba ,, ，满足 ,//,// cbba 则有 ca // C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 10.若方程 1 15 22     m y m x 所表示的曲线为C，则（ ） A．曲线C可能是圆 B. 若C为椭圆，且焦点在 x轴上，则 31  m C．若 51  m ，则C为椭圆 D．当 2m 时，表示焦点在 x轴上的椭圆，焦距为 2 高 2026 届第二次月考 数学试卷 第 2页 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分。 12. 已知椭圆x 2 4 ＋ y2 3 ＝1中，点 P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝60°， 则△PF1F2的面积为________． 13.无论为何值，直线      2 3 4 2 1 0x y        过定点_______. 14. 若恰有三组不全为 0的实数对 ( , )a b 满足关系式 2 2| 3 | | 5 3 3 |a b a b t a b       ，则实 数 t的所有可能取值的和为______. 四、解答题：本题共 5个小题，共 77分，其中 15题 13分，16-17题每道 15分，18-19 题每道 17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分 13 分） 求满足下列条件的椭圆的标准方程： ①焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，且经过点(4，3 2)； ②经过两点 P1 1 3 ， 1 3 ，P2 0，－1 2 ． 16.（本小题满分 15 分） 已知△ABC的顶点 B(－2，0)，AB边上的高所在直线的方程为 x＋3y－26＝0． (1)求直线 AB的一般方程； (2)若 BC边上的中线所在直线的方程为 y＝3，求直线 AC的一般方程． 19.(本小题满分 17分） 已知圆M 与直线3 7 4 0x y   相切于点  1, 7 ，圆心M 在 x轴上. (1)求圆M 的标准方程； (2)若过点(1,1)的直线 l与圆M 交于 ,P Q两点，当 2 7PQ  时，求直线 l的一般式方程； (3)过点M 且不与 x轴重合的直线与圆M 相交于 ,A B两点，O为坐标原点，直线 ,OA OB分 别与直线 8x  相交于 ,C D两点，记 ,OAB OCD  的面积为 1 2,S S ，求 1 2 S S 的最大值. 四川省万源中学高 2026 届第二次月考试题（高二.上） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D C B B A C BCD AB ABD 12.【答案】3． 13.【答案】  2,2 14.【答案】 23 2 10 5  14. 【详解】由已知得， 0t  ，整理得 2 2 2 2 | 3 | | 5 3 3 |a b a b t a b a b         ， 看成有且仅有三条直线满足， (1,1)A 和 (5, 3)B  到直线 : 3 0l ax by   （不过原点）的距离 t相等； 由 2 2| | (5 1) ( 3 1) 4 2AB       ， （1）当 | | 2 2 2 ABt   ，此时，易得符合题意的直线 l为线段 AB的垂直平分线以及直线 AB平行的两条直线. （2）当 | | 2 2 2 ABt   时，有 4条直线 l会使得点 (2,1)A 和 (5, 3)B  到它们的距离相等， 注意到 l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点 A到 l的距离为 d， ①作为增根被舍去的直线 l，过原点和 A，B的中点 (3, 1)M  ，其方程为 3 0x y  ， 此时， 2 10 2 2 5 t d   ，符合； ②作为增根被舍去的直线 l，过原点且以 AB  为方向向量，其方程为 0x y  ， 此时， 2 2 2t d   ，符合； 综上，满足题意的实数 t为 2 2 ， 2 10 5 ， 2，它们的和为 2 22 2 10 2 3 2 10 5 5     . 故答案为： 23 2 10 5  【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用以及方程组解的个数问题解法，解题的关键是把问题转 化为有且仅有三条直线满足 (1,1)A 和 (5, 3)B  到直线 : 3 0l ax by   （不过原点）的距离 t相等，属于难题. 15.①解法一：∵椭圆的焦点在 y轴上， ∴设所求椭圆的标准方程为 y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a＞b＞0)． 由题意知 c＝2， 2a＝ （4－0）2＋（3 2＋2）2＋ （4－0）2＋（3 2－2）2＝12， 解得 a＝6． ∴b2＝a2－c2＝32． ∴所求椭圆的标准方程为 y2 36 ＋ x2 32 ＝1． 解法二：∵椭圆的焦点在 y轴上， ∴设所求椭圆的标准方程为 y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0)． 由题意得 18 a2 ＋ 16 b2 ＝1， a2－b2＝4， 解得 a2＝36， b2＝32. ∴所求椭圆的标准方程为 y2 36 ＋ x2 32 ＝1． ②解法一：(ⅰ)当椭圆的焦点在 x轴上时，设椭圆的标准方程为x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)， 依题意知 1 3 2 a2 ＋ 1 3 2 b2 ＝1， － 1 2 2 b2 ＝1， 解得 a2＝1 5 ， b2＝1 4 . ∵a2＝1 5 <1 4 ＝b2， ∴焦点在 x轴上的椭圆不存在． (ⅱ)当椭圆的焦点在 y轴上时， 设椭圆的标准方程为 y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0)． 由题意得 1 3 2 a2 ＋ 1 3 2 b2 ＝1， － 1 2 2 a2 ＝1， 解得 a2＝1 4 ， b2＝1 5 . 故所求椭圆的标准方程为 y2 1 4 ＋ x2 1 5 ＝1． 解法二：设所求椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 由题意得 A× 1 3 2 ＋B× 1 3 2 ＝1， B× － 1 2 2 ＝1， 解得 A＝5， B＝4， 故所求椭圆的方程为 5x2＋4y2＝1， 即椭圆的标准方程为 y2 1 4 ＋ x2 1 5 ＝1． 15（1）设点 M(x，y)，点 P(x0，y0)， 则 x＝x0 2 ， y＝y0 2 ， ∴ x0＝2x， y0＝2y. ∵点 P(x0，y0)在圆 C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上， ∴x20＋y20－8x0－6y0＋21＝0． ∴(2x)2＋(2y)2－8·(2x)－6·(2y)＋21＝0． 即线段 OP的中点 M的轨迹方程为 x2＋y2－4x－3y＋21 4 ＝0．或者(x－2)2＋ y－3 2 2 ＝1． （2）设圆 P的半径为 r．∵圆 P过点 B，∴|PB|＝r．又圆 P与圆 A内切，圆 A的半径为 10．∴两圆的圆心距|PA| ＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点 P的轨迹是以 A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10，2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c ＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．即圆心 P的轨迹方程为x 2 25 ＋ y2 16 ＝1． 16.BC边上的中线所在直线的方程为 y＝3， 由 y＝3， y＝3x＋6， 解得 x＝－1， y＝3， 所以点 A的坐标为(－1，3)． 设点 C(x1，y1)，则 BC的中点在直线 y＝3上， 所以 y1＋0 2 ＝3， 即 y1＝6， 又点 C(x1，6)在直线 x＋3y－26＝0上，所以 C(8，6)， 所以 AC的斜率 kAC＝ 6－3 8＋1 ＝ 1 3 ， 所以直线 AC的方程为 y－6＝1 3 (x－8)， 即 x－3y＋10＝0． (1)因为 AB边上的高所在直线的方程为 x＋3y－26＝0， 所以直线 AB的斜率 k＝3，又因为△ABC的顶点 B(－2，0)， 所以直线 AB的方程为 y＝3(x＋2)，即 3x－y＋6＝0． 19．【答案】(1) 2 2( 4) 16x y   ； (2) 1 0 4 3 1 0x x y    或 ；(3) 14 . 【解】（1）由题可知，设圆的方程为 2 2 2( )x a y r   ， 由直线3 7 4 0x y   与圆相切于点  1, 7 ， 得 2 2(1 ) 7 7 3 1 1 7 a r a           ，解得 4, 4a r  ，所以圆的方程为 2 2( 4) 16x y   ； （2）设圆心M（4,0）到直线 l的距离为 d ∵|PQ|= 222 dr  ∴ 21672 d 3d ①当直线 l斜率不存在时：x=1,满足M（4,0）到直线 x=1的距离 3d ②当直线 l斜率存在时：设 l方程：  11  xky 即 01  kykx 3 1 |14| 2     k kkd 3 4 k 0134:  yxl 综上：直线 l的一般式方程为 x-1=0或 0134  yx （3）由题意知， π2AOB  ， 设直线OA的斜率为  0k k  ，则直线OA的方程为 y kx ， 由 2 2 8 0 y kx x y x      ，得  2 21 8 0k x x   ， 解得 0 0 x y    或 2 2 8 1 8 1 x k ky k         ，则点A的坐标为 2 2 8 8, 1 1 k k k       ， 又直线OB的斜率为 1 k  ，同理可得：点 B的坐标为 2 2 2 8 8, 1 1 k k k k       ， 由题可知：   88,8 , 8,C k D k      ， 1 2 OA OB OA OBS S OD OC OC OD     ，又 2 2 8 11 8 1 A C OA x k OC x k      ， 同理 2 21 OB k OD k   ， 2 1 4 2 2 22 2 2 1 1 1 12 1 412 2 2 S k S k k k kk k            ， 当且仅当 1k  时等号成立， 1 2 S S  的最大值为 1 4 . 四川省万源中学高2026届第二次月考试题（高二·上） 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角大小为（ ） A. B. C. D. 2.设向量，，若，则（   ） A. B. C.1 D.2 3.椭圆x2＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(±2，0) B．(0，±2) C．(±，0) D．(0，±) 4.直线与圆的位置关系为（     ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 5.若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．恰好有一个黑球与都是红球 C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有两个黑球与至少一个红球 7. 8.在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（      ） A．9 B．11 C．13 D．15 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分. 9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ） A．设为空间的一组基底，且则四点共面 B．若非零向量，满足则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 10.若方程所表示的曲线为，则（     ） A．曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若，则为椭圆 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12. 已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． 13.无论为何值，直线过定点_______. 14. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为______. 四、解答题：本题共5个小题，共77分，其中15题13分，16-17题每道15分，18-19题每道17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分13分） 求满足下列条件的椭圆的标准方程： ①焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，且经过点(4，3)； ②经过两点P1，P2． 16.（本小题满分15分） 已知△ABC的顶点B(－2，0)，AB边上的高所在直线的方程为x＋3y－26＝0． (1)求直线AB的一般方程； (2)若BC边上的中线所在直线的方程为y＝3，求直线AC的一般方程． 19.(本小题满分17分） 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点(1,1)的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 高2026届第二次月考 数学试卷 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$