1.2 二次根式及其运算(含无理数的估值)-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·江西数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 5 科学记数法与近似数 科学记 数法 (10 年 7 考, 均考查大数) 表示形式:a×10n(1≤| a | <10,n 为整数) n 的确定(设原数为 x): 当 | x |≥10 时,n 等于原数的整数位数减 1; 当 0< | x | <1 时,n 为负整数, | n |等于原数左 起第一个非零数前所有零的个数(包含小数 点前的零) 【常考单位换算】 计数单位: 1 千= 103,1 万= 104, 1 亿=􀃊􀁊􀁕　 108 　 ; 计量单位: 1 km= 103 m,1 mm= 10-3 m, 1 μm = 10-6 m,1 nm = 10-9 m 近似数 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到那一 位,常采用四舍五入法得到一个数的近似数.如:3.141 59 精确到 0.01 是 3.14;近似数 3.14 万是精确到百位 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 5. 将下列各数用科学记数法表示出来. (1)70 500 000= 　 　 　 　 　 　 ;　 　 　 　 　 (2)0.000 000 050 7= 　 　 　 　 　 　 ; (3)330 亿= 　 　 　 　 　 　 ; (4)5 400 万= 　 　 　 　 　 　 万; (5)125 纳米= 　 　 　 　 　 　 米; (6) 1 2 000 = 　 　 　 　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P1-2 习题 命题点 2　 二次根式及其运算(含无理数的估值) (10 年 3 考) 要点 1 平方根、算术平方根、立方根(2023.13(1),2022.13(1)) 名称 a(a>0) a(a= 0) a(a<0) 总结 平方根 ± a 0 无 正数 有 两 个 平 方 根, 它 们 互 为 ①　 相反数　 ;平方根等于本身的 数是②　 　 　 　 　 算术平方根 a 0 无 算 术 平 方 根 等 于 本 身 的 数 是 ③　 0 和 1　 立方根 3 a 0 ④　 3 a 　 任意一个实数只有一个立方根,且 与原数同号;立方根等于本身的数 是⑤　 -1、0、1　 注:①∵ (±10) 2 = 100,∴ 100 的平方根是±10. 5 基础夯实练·江西数学 第 一 章 　 数 与 式 附表:百以内的完全平方数及其平方根 完全平方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 平方根 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 ±7 ±8 ±9 ±10 ②∵ 43 = 64,∴ 64 的立方根是 4. 附表:千以内的完全立方数(含对应的负数)及其立方根【2022 年版课标变化内容】 完全立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 立方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完全立方数 — -1 -8 -27 -64 -125 -216 -343 -512 -729 -1 000 立方根 — -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 要点 2 二次根式 概念 一般地,式子 a (a≥0)叫作二次根式,a 是被开方数 有意义的条件 (2023.3) 被开方数 a⑥　 ≥　 0 最简二次根 式的条件 (1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 化为最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根 式.如: 12 (化简后为 2 3 )与 3就是同类二次根式 性质 (1)双重非负性: a≥0(a≥0);(2)( a ) 2 =⑦　 a　 (a≥0); (3) a2 = | a | = a(a≥0), -a(a<0),{ 注:只有当 a≥0 时, a 2 =( a ) 2; (4) ab = a· b (a≥0,b≥0); (5) a b = a b (a≥0,b>0) ü þ ý ï ï ï ï 北师独有 运算 (1)乘法运算: a· b =⑧　 ab 　 (a≥0,b≥0); (2)除法运算: a b = a b 或 a ÷ b =⑨　 a÷b 　 (a≥0,b>0); (3)加、减运算本质:同类二次根式运算 步骤一:化简为最简二次根式;步骤二:合并同类二次根式. 切记: a + b≠ a+b (a>0,b>0); (4)混合运算:先乘除,再加减;有括号先算括号里的(或先去掉括号) 易错警示:二次根式运算的最终结果应化为最简􀪍􀪍二次根式 非负数 (1)常见非负数: | a | (a 是任意实数),a2n(a 是任意实数,n 为正整数), a (a≥0); (2)若 a2+ | b | + c = 0,则 a= 0,b= 0,c= 0 6 基础夯实练·江西数学 第 一 章 　 数 与 式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对 点练 习 1. 求下列式子有意义时,x 的取值范围. (1) x-4:　 　 　 　 ;　 　 (2) 2-x x-1 :　 　 　 　 ;　 　 (3) x -1 2-x :　 　 　 　 . 2. 计算: (1)( 3 ) 2 = 　 　 　 　 ; (2) (-3) 2 = 　 　 　 　 ; (3)- (-3) 2 = 　 　 　 　 ; (4) 12 - 3 = 　 　 　 　 ; (5) 2 × 3 = 　 　 　 　 ; (6) 4 3 ÷ 1 3 = 　 　 　 　 ; (7)( 3 + 2 )× 6 = 　 　 　 　 ;　 　 　 　 (8)( 3 - 2 )×( 3 + 2 )= 　 　 　 　 . 要点 3 无理数的估值 (1)关键点:m2<a<n2(m>0,a>0,n>0)→m< a <n; (2)确定无理数在哪两个整数之间 例 1　 估计 7的值在 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 和 1 之间 B. 1 和 2 之间 C. 2 和 3 之间 D. 3 和 4 之间 解题步骤 备注 ①先对无理数平方 ( 7 ) 2 = 7 ②找出平方后与所得数字相邻 的两个开得尽方的整数比较 大小 ⑩　 4　 <7<􀃊􀁉􀁓　 9　 ③对两个整数开方即可 􀃊􀁉􀁔　 2　 < 7 <􀃊􀁉􀁕　 3　 ①熟记常见的平方数:1,4,9, 16,25,36,…; ②若无理数为 n a形式,需先转 化为 an2 再估值,不容易出错 【答案】􀃊􀁉􀁖　 C　 (3)确定无理数离哪个整数较近 例 2　 下列整数中,与 7最接近的是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整 数之间 2< 7 <3 ②求这两个整数的平均数 1 2 ×(2+3)= 􀃊􀁉􀁗　 2.5　 ③若平均数的平方小于该无理 数的平方,则该无理数更接近 较大的那个整数 ∵ 2.52 = 6.25,6.25<7, ∴ 7离􀃊􀁉􀁘　 3　 更近 【答案】􀃊􀁉􀁙　 C　 注:常见无理数的近似值: 2≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236,黄金分割比 5 -1 2 ≈0.618. 温馨提示:请完成分层作业本 P3-4 习题 7 参考答案与重难题解析·江西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一战成名新中考·数学(2025 江西) 　 　 　 　 　 　 　 　 参考答案与重难题解析 基 础 夯 实 练 基础夯实练 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点归纳 ①不循环　 ②-3 m　 ③盈利 50 元　 ④亏损 80 元 ⑤温度下降 3 ℃ 　 ⑥- 1 2 或 3 2 　 ⑦-a　 ⑧0　 ⑨0　 ⑩-1　 􀃊􀁉􀁓相等　 􀃊􀁉􀁔对称　 􀃊􀁉􀁕-a　 􀃊􀁉􀁖大　 􀃊􀁉􀁗a=-b　 􀃊􀁉􀁘1　 􀃊􀁉􀁙±1 􀃊􀁉􀁚 2 　 􀃊􀁉􀁛大　 􀃊􀁊􀁒>　 􀃊􀁊􀁓=　 􀃊􀁊􀁔>　 􀃊􀁊􀁕108 对点练习 1. (1)①⑤⑥⑦⑨􀃊􀁉􀁓􀃊􀁉􀁔􀃊􀁉􀁕􀃊􀁉􀁖;(2)③④⑧⑩;(3)②③⑨􀃊􀁉􀁓; (4)①②③④⑥⑦⑨􀃊􀁉􀁓;(5)②;(6)⑤⑧⑩􀃊􀁉􀁔􀃊􀁉􀁕􀃊􀁉􀁖 2. (1)F,B;(2)①-1,- 1 2 ,1, 2 ,3,π;②A,C,1,2,原点; ③ 1 2 , 1 2 ,-2,-3,3, 1 3 3. | -3 | ,- 1 3 　 4. a<-b<b<-a 5. (1)7.05×107;(2)5.07×10-8;(3)3.3×1010;(4)5.4×103; (5)1.25×10-7;(6)5×10-4 命题点 2　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点归纳 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④ 3 a 　 ⑤-1、0、1　 ⑥≥　 ⑦a ⑧ ab 　 ⑨ a÷b 　 ⑩4　 􀃊􀁉􀁓9　 􀃊􀁉􀁔2　 􀃊􀁉􀁕3　 􀃊􀁉􀁖C　 􀃊􀁉􀁗2.5 􀃊􀁉􀁘3　 􀃊􀁉􀁙C 对点练习 1. (1)x≥4;(2)x>1;(3)x≥1 且 x≠2 2. (1)3;(2)3;(3)-3;(4) 3 ;(5) 6 ;(6)2;(7)3 2 +2 3 ; (8)1 命题点 3　 实数的运算 要点归纳 ①na　 ② 1 b 　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a 对点练习 1. (1)1;(2)12;(3)1;(4)1- 2 ;(5)-2;(6) 1 4 ;(7)1; (8)2;(9)- 2 2 2. 解:(1)原式= 4-3 3 + 3 -1+4× 3 2 = 4-3 3 + 3 -1+2 3 = 3; (2)原式= 1+ 1 3 ×3- 2 × 2 2 = 1+1-1 = 1. 命题点 4　 整式与因式分解 要点归纳 ①am+n 　 ②amn 　 ③ambm 　 ④am-n 　 ⑤am+an+bm+bn ⑥a2-b2 　 ⑦a2±2ab+b2 对点练习 1. (1)(1-45%)x;(2)a+10b　 2. 2　 [变式]2 026 3. 2n-1 n2+1 　 4. 30　 5. 3　 6. 3,-4　 7. C 8. (1)y(x-2y);(2)(4a-1) 2;(3)(3+x)(3-x) 9. 解:解法一:原式= x2+2x+1-x2-x = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1= 2 025. 解法二:原式=(x+1)(x+1-x) = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1= 2 025. 命题点 5　 分式及其运算 要点归纳 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0　 ④ bd ac ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 对点练习 1. x≠5　 2. x= 1 3. (1)- 4a 5b ;(2)- 1 2 ;(3)2;(4) 1 a-3 ;(5) 1 a-2 ;(6)-x 4. 解:原式= x-3 x-1 · x2-9-2x+10 x2-9 = x -3 x-1 · (x-1) 2 (x+3)(x-3) = x -1 x+3 , 由题意得 x≠1,x≠±3,∴ 当 x= 2 时,原式= 2-1 2+3 = 1 5 . 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其应用 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4= 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥1 ⑦①-②,得-3x= 3,解得 x=-1　 ⑧(100-x)　 ⑨10x+(100- x)×1= 235　 ⑩x= 15,则 100-x = 85　 􀃊􀁉􀁓这个月该公司分别 销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨　 􀃊􀁉􀁔 a+b= 100, 10a+b= 235{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1