专题05 圆锥曲线（3大基础题型+2大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题05 圆锥曲线 1、 基础题型 1、 椭圆的方程及其性质 2、 双曲线的方程及其性质 3、 抛物线的方程及其性质 2、 重难点题型 1、 圆锥曲线的综合 2、 圆锥曲线性质的综合 椭圆的方程及性质 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 2．（23-24高二上·北京·期末）椭圆：的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 7．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆的左右焦点为，上下顶点为，若四边形为正方形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知P为椭圆上的动点．，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 双曲线的方程及性质 1．（22-23高二上·江西抚州·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京石景山·一模）已知双曲线的离心率是2，则（    ） A．12 B． C． D． 6．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2020·浙江·一模）若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 11．（23-24高二上·北京丰台·期末）过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·北京西城·期末）设为双曲线的左､右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为，则双曲线的一条渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 14．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 抛物线线的方程及性质 1．（21-22高三上·北京海淀·期末）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是4，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京东城·期末）设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二上·北京西城·期末）抛物线的焦点到其准线的距离等于（    ） A． B．3 C．6 D．8 5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知点在抛物线上，且点A到抛物线准线的距离为3，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（24-25高二上·北京朝阳·期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B．4 C． D． 圆锥曲线的综合 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京房山·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（    ）    A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 4．（23-24高二上·北京·期末）已知同时为椭圆：与双曲线：（，）的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①； ②若，则； ③的充要条件是； ④若，则的取值范围是. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 圆锥曲线性质的综合 1．（22-23高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知双曲线的离心率，则 . 3．（2009·重庆·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 . 5．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高二上·河南郑州·期中）若抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则 ． 7．（23-24高二上·北京顺义·期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：，一条光线经过点，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点M到点N经过的总路程为 . 8．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知四边形是椭圆的内接四边形，其对角线和交于原点，且斜率之积为．给出下列四个结论： ①四边形是平行四边形； ②存在四边形是菱形； ③存在四边形使得； ④存在四边形使得． 其中所有正确结论的序号为 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆锥曲线 1、 基础题型 1、 椭圆的方程及其性质 2、 双曲线的方程及其性质 3、 抛物线的方程及其性质 2、 重难点题型 1、 圆锥曲线的综合 2、 圆锥曲线性质的综合 椭圆的方程及性质 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【详解】由可得，则. 故选：C. 2．（23-24高二上·北京·期末）椭圆：的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为椭圆：， 所以标准方程为， 解得， 因为焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，. 故选：B 3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的焦点在轴上，则满足，解得. 故选：C. 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示椭圆， 则，解得，则实数的取值范围是. 故选：B. 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆方程可知：， 由椭圆定义可知：到椭圆的两个焦点的距离之和为， 故选：D. 6．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【详解】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    7．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆的左右焦点为，上下顶点为，若四边形为正方形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为四边形为正方形，所以，所以， 所以， 故选：C. 8．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知P为椭圆上的动点．，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，可得，则， 由椭圆的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的椭圆， 其中，可得，所以， 又因为点在椭圆，所以. 故选：C. 双曲线的方程及性质 1．（22-23高二上·江西抚州·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，则或. 故选：A 2．（23-24高二上·北京大兴·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线知，焦点在轴上， 设左焦点，其中一条渐近线方程为，即. 由实轴长为得，解得； 由左焦点到渐近线的距离, 则双曲线渐近线方程为. 故选：A. 4．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的实轴长为4，即，解得， 所以双曲线的标准方程为，即， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A. 5．（2023·北京石景山·一模）已知双曲线的离心率是2，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 解得， 故选：B. 6．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上， 所以，则双曲线的方程是. 故选：C. 7．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的离心率为，所以， 所以， 又因为的渐近线方程为，且， 所以渐近线方程为， 故选：A. 8．（2020·浙江·一模）若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3， 由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为： 所以双曲线的渐近线方程为：yx． 故选：A． 9．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为， 由题意可得双曲线的焦点在轴上，且，， 所以， 又，所以，解得，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：B. 10．（23-24高二上·北京通州·期末）已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【详解】因为P为双曲线右支上一点，所以. 故选：B. 11．（23-24高二上·北京丰台·期末）过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令双曲线的左焦点为，连接，由切圆于得，， 令双曲线的半焦距为c，则，由，得， 由双曲线定义得，在中，， 由余弦定理得，即， 解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 12．（23-24高二上·北京西城·期末）设为双曲线的左､右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为，则双曲线的一条渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 则，， 不妨设点在右支，坐标为，则，， 将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得. 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 13．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】 易得，故，设，， 直线与轴交点，面积为，面积为， 由题意得面积是面积的2倍，则， 化简得，结合， 故，解得，即，故，解得. 故选：D. 14．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由双曲线，得，， 由题意，点在以为直径的圆上，则， 取的中点,由线段的垂直平分线过，则， 则，故是的中点， 且，所以，解得， 故. 故选：C.    抛物线线的方程及性质 1．（21-22高三上·北京海淀·期末）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线方程可知， 故准线方程为：. 故选：B. 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是4，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为抛物线的准线为：，根据抛物线的定义，可得到准线的距离为，即. 所以准线方程为. 故选：A 3．（23-24高二上·北京东城·期末）设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B. 4．（23-24高二上·北京西城·期末）抛物线的焦点到其准线的距离等于（    ） A． B．3 C．6 D．8 【答案】B 【详解】由题意抛物线的焦点坐标、准线方程分别为， 所以抛物线的焦点到其准线的距离等于3. 故选：B. 5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故. 故选：B. 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知点在抛物线上，且点A到抛物线准线的距离为3，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的定义知，点A到抛物线准线的距离为，所以， 又，所以. 故选：D. 7．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由焦半径公式可知，，得. 故选：A 8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由抛物线可知其焦点为，其准线为， 到的距离为5，则到的距离为， 故. 故选：A. 9．（24-25高二上·北京朝阳·期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点，直线的方程为， 联立方程组，得， 设，， 则，. 故选：D. 圆锥曲线的综合 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由知， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴的离心率是. 故选：A. 2．（23-24高二上·北京房山·期末）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的方程为， 在椭圆中， 则，因为是以为底边的等腰三角形， 所以，由椭圆的定义可知，， 所以，再由双曲线的定义可得， 所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点， 所以， 故双曲线的标准方程为. 故选：C. 3．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（    ）    A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 【答案】D 【详解】A选项，双曲线：的渐近线方程为，A错误； B选项，由题意得，， 故，由双曲线定义得，故， 设椭圆方程为，故，即，解得， 又，故离心率为，B错误； C选项，，故椭圆的方程为，C错误； D选项，在中，由余弦定理得 ， 故， 所以的面积为，D正确. 故选：D 4．（23-24高二上·北京·期末）已知同时为椭圆：与双曲线：（，）的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①； ②若，则； ③的充要条件是； ④若，则的取值范围是. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】 对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A选项正确； 对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义， 可得，所以. 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得：. 所以，即，故B项正确； 对于C项， 必要性：若，则为直角三角形， 所以， 即， 整理可得：， 两边同时除以可得，，即，满足必要性； 充分性：若，易可得，， 所以，所以为直角三角形，且， 可得，满足充分性. 故C项正确； 对于D项，由已知可得. 所以，. 令，则. 因为，所以. 又，所以有，所以有； ，所以有，所以有. 所以. 设函数，再设， 则， 由于，得，，， 所以，即，函数在区间上单调递增， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 圆锥曲线性质的综合 1．（22-23高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以双曲线的方程可设为，即， 因为， 所以，解得（负值舍去）， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知双曲线的离心率，则 . 【答案】1 【详解】由题意显然有，，因此，，解得， 故答案为：1. 3．（2009·重庆·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为在中，由正弦定理得， 则由已知，得，即，, 由双曲线的定义知 ， 由双曲线的几何性质知 所以解得 又，故双曲线的离心率 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是 ，得到的一个抛物线标准方程是 . 【答案】 ① 【详解】若选择①，由焦点坐标可设，又可知，可得抛物线标准方程是； 若选择②，根据题意可知，抛物线只能开口向右或向上， 若开口向右，可设，将代入可得抛物线标准方程为； 若开口向上，可设，将代入可得抛物线标准方程为； 故答案为：①；（②；或） 5．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若方程为双曲线时，，解得或， 即实数m的取值范围为； 若方程为椭圆时，，解得， 即实数m的取值范围为. 故答案为：； 6．（23-24高二上·河南郑州·期中）若抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则 ． 【答案】4 【详解】因为双曲线的左焦点为，又抛物线的准线为， 所以，得到， 故答案为：. 7．（23-24高二上·北京顺义·期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C：，一条光线经过点，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点M到点N经过的总路程为 . 【答案】24 【详解】由题意可知：抛物线C：的准线， 设入射光线所在直线与抛物线和准线分别交于点，两次反射后反射光线所在直线与抛物线和准线分别交于点， 可知， 所以光线从点M到点N经过的总路程为 . 故答案为：24. 51．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知四边形是椭圆的内接四边形，其对角线和交于原点，且斜率之积为．给出下列四个结论： ①四边形是平行四边形； ②存在四边形是菱形； ③存在四边形使得； ④存在四边形使得． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【详解】因为四边形是椭圆的内接四边形，和交于原点， 由椭圆的对称性可知且， 所以四边形是平行四边形，故①正确； 假设对角线和的斜率分别为 ， 若四边形是菱形，则其对角线互相垂直，即， 而这与矛盾，所以不存在四边形是菱形，故②错误； 不妨设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且， 则，又，则， 则 ， 又，则， 所以存在四边形使得，故③正确； 直线的方程，直线的方程， 由，得，即，可得， 同理可得， 则， 由，得，令， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立； 于是， 当且仅当，即四边形矩形时，等号成立， 所以存在四边形使得，故④正确. 故答案为：①③④. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$