15.4 角的平分线（第1课时 角平分线的画法）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 第1课时　角的平分线的画法 15.4　角的平分线 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线;（重点） 2.应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理;（难点） 3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 把一块纸片对折，使一个角的两边叠合在一起，把纸片展开后，用量角器量一量由折痕为边的两个角的度数. 情景导入 怎样作出角的平分线？ 通过折纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线，如图. B A C A D C（B） A D C B 发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 新知探究 尺规作图 下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图）作法： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图（1）. （2）分别以点M,N为圆心，以大于 MN长为半径（为什么？）在角的内部画弧交于点P，如图（2）. （3）作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图（3）. 思考 根据作图，你能证明 所作射线OP，就是∠AOB的平分线吗？ B A M N P Ｏ 已知：OM=ON，PM=PN. 求证：OP平分∠AOB. 证明： △OM在P和△ONP中 ∵ OM=ON PM=PN OP=OP (已知) (已知) (公共边) ∴ △OMP ≌ △ONP (SSS) ∴ ∠MOP=∠NOP ∴ OP平分∠AOB (全等三角形的对应角相等) (角平分线的定义) 两弧相交于点P. 你会作这个角的平分线吗？ 这时的角平分线OP与直线AB是什关系？ 当∠AOB的两边成一直线时 ( 即∠AOB=180° ), 作法： 任意长为半径画弧 1、以点O为圆心， 分别交OA，OB于点M，N. 1 2 以大于 MN长为半径画弧， 2、分别以点M，N为圆心， 3、作射线OP， 则OP为所作的∠AOB的平分线. A B O N M P OP⊥AB 你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗？ 通过上面作图， 由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分为两种情况： ① 经过已知 直线上的一点 作这条折线的垂线. ② 经过已知 直线外一点 作这条直线的垂线. ① 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB上的一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 两弧相交于点F. 作法： 任意长为半径画弧 1、以点C为圆心， 分别交CA，CB于点D，E. 1 2 以大于 DE长为半径画弧， 2、分别以点D，E为圆心， 3、作直线CF， 则直线CF为所求作的直线. A B C E D F 思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线，你能说说道理吗？ ② 经过已知 直线外一点 作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外上的一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 两弧相交于点F. 作法： 使K和C在AB的两旁； 1、任意取一点K， 2、以点C为圆心， 1 2 以大于 DE长为半径画弧， 3、分别以点D和点E为圆心， 4、作直线CF， 则直线CF为所求作的直线. A B C D K E F CK长为半径作弧， 交AB于点D和E； 思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线，你能说说道理吗？ 1、尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法： ① 已知一直角边和斜边做直角三角形； Rt△ABC就是所求作的三角形 直角边 斜边 C E D F A B 直角边 斜边 课堂练习 ② 已知底边及底边上的高作等腰三角形。 △ABC就是所求作的等腰三角形 底边 底边上的高 C B E 高 A F 底边 O 角平分线的画法 [2023·滁州月考]用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，能说明∠ AOC ＝∠ BOC 的依据是 ⁠. SSS 　 分层练习-基础 2. 【教材改编题】如图，在△ ABC 中，∠ A ＝50°，∠ B ＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠ DCE 的度数为 ⁠. 65°　 过一点作已知直线的垂线 3. 【教材改编题】如图，已知△ ABC ，求作 CA 边上的高 BD . (尺规作图，仅保留作图痕迹) 解：如图，线段 BD 即为所求. 4.下列尺规作图的语句正确的是(　C　) A.作∠AOB的平分线AC B.以O为圆心作弧 C.以A为圆心，线段a的长为半径作弧 D.作直线AB的垂直平分线CD C 分层练习-巩固 5. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　A　) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A 6. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝42°，∠ C ＝50°，通过尺规作图，得到直线 DE 和射线 AF ，仔细观察作图痕迹，则∠ EAF 的度数为 ⁠. 23°　 7. 已知底边及底边上的高作等腰三角形. 已知:线段a、b . 求作:等腰三角形，使底长为a，底边上的高为b. 解:作法:1.作射线AM； 2.在射线AM上截取线段AB，使AB＝a； 3.作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D； 4.在射线DE上截取线段DC，使DC＝b； 5.连接AC、BC. △ABC就是所求作的等腰三角形. 8. 已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空. 　　(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D； (2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，线段EF与线段BD的关系为 .  解:(1)、(2)题作图如下:由作图可知线段EF与线段BD的关系为互相垂直平分. 9.已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形. 已知:∠α，以及线段b、c(b＜c).求作:△ABC，使得∠BAC＝∠α，AB＝c，∠BAC的平分线AD＝b. 解:作法:(1)作∠MAN＝∠α. (2)作∠MAN的平分线AE. (3)在AM上截取AB＝c，在AE上截取AD＝b. (4)连接BD，并延长交AN于点C. △ABC就是所求作的三角形.(如图) 10. [2024·芜湖月考](1)如图，过点 A 画直线 BC 的垂线，垂足为点 G ；过点 A 画直线 AB 的垂线，交 BC 于点 H (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法). 解：如图， AG ， AH 即为所求. (2)线段 的长度是点 A 到直线 BC 的距离；线段 AG ， AH 的大小关系为 AG AH (填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”).理由是 ⁠ ⁠. AG 　 ＜　 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短　 11. [2024·襄阳月考]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD 是△ ABC 的角平分线. (1)作∠ ACB 的平分线，交 AB 于点 E (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (1)解：如图， CE 即为所求. 分层练习-拓展 11. [2024·襄阳月考]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD 是△ ABC 的角平分线. (2)求证： AD ＝ AE . (2)证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ BD 是∠ ABC 的平分线， CE 是∠ ACB 的 平分线，∴∠ ABD ＝ ∠ ABC ， ∠ ACE ＝ ∠ ACB ，∴∠ ABD ＝∠ ACE . ∵ AB ＝ AC ，∠ A ＝∠ A ， ∴△ ABD ≌△ ACE ( ASA )，∴ AD ＝ AE . 角平分线的尺规作图 ①已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件 ②求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件 ③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程 课堂小结 $$