14.2 三角形全等的判定（第1课时 SAS）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第1课时 两边及其夹角分别相等的两个三角形（SAS） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生识图、分析图形的能力； 2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.（重点、难点） 操作 三角形有六个基本元素(三条边和三个角)，只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？通过画图，说明你的判定. 1.只给定一个元素： (1)一条边； (2)一个角. 不能确定！ 情景导入 4 操作 三角形有六个基本元素(三条边和三个角)，只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？通过画图，说明你的判定. 2.只给定两个元素： (1)两条边； (2)一条边一个角； 不能确定！ (3)两个角. 还需要增加什么条件呢？ 情景导入 5 通过上述操作，我们发现只给定三角形的一个或两个元 素，不能完全确定一个三角形的形状、大小，那么还需增加什 么条件才行呢？ 情景导入 探究 1.如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其中一角，△ABC的形状、大小随之改变.那么还需要增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢？ A B C 给定边AC…… 给定夹角α…… 他们说的对吗？你是怎样想的呢？ 至少需要知道3个元素 新知探究 探究 2.如图，把两块三角尺的一条直角边放在同一条直线l上，其中∠B，∠C已知，并记两块三角尺斜边的交点为A.沿着直线l分别向左右移动两个三角尺，△ABC的大小随之改变，这直观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不确定的，那么还需要增加什么条件才可以使△ABC确定呢？ A B C l 给定边BC…… 给定边AC或AB…… 至少需要知道3个元素 由上可知，确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素． 概念归纳 确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？ 下面，我们利用尺规作图作出三角形，来研究两个三角形全等的条件。 已知：△ABC. 求作：△A'B'C'，使A'B'=AB，∠B'=∠B，B'C'=BC. (2)在射线B′M上截取B′A′=BA，在B′N上截取B′C′=BC； B′ A′ C′ 作法： (3)连接A′C′． (1)作∠MB′N=∠B； M N B C A 则△A'B'C' 就是所求作的三角形． 两边及其夹角分别相等的两个三角形 10 将所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？ B′ A′ C′ M N B C A 完全重合 判定两个三角形全等的第 １ 种方法是如下的基本事实． 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边 角边”或“ＳＡＳ”（Ｓ 表示边，Ａ 表示角） 概念归纳 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SAS） F E D C B A AC=DF ∠C=∠F BC=EF 角写在中间 概念归纳 12 A B C D 例1 已知：如图，AD∥CB，AD=CB. 求证：△ADC≌△CBA. 证明：∵AD∥CB，(已知) ∴∠DAC=∠BCA.(两直线平行，内错角相等) 在△ADC和△CBA中， AD=CB，(已知) ∠DAC=∠BCA，(已证) AC=CA，(公共边) ∵ ∴△ADC≌△CBA.(SAS) 课本例题 例2 如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由. 分析：要计算的是A，B两点之间的距离，目前无法直接测量，需要把A，B两点之间的距离进行转换，间接进行求解. 如果能够证明△ABC≌△A'B'C'，就可以得出A'B'=AB. 课本例题 例2 如图，在湖泊的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离.你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由. 解：在岸上取能直接到达A，B的一点C，连接AC，延长AC到点A'，使A'C=AC；连接BC，延长BC到点B'，使B'C=BC.连接A'B'，量出A'B'的长度，就是A，B两点间距离. 理由：在△ABC和△A'B'C'中， AC= A'C' ，(已知) ∠ACB=∠A'CB'，(对顶角相等) BC=B'C'，(已知) ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'. ∴A'B'=AB.(全等三角形对应边相等) 1.如图，已知AB＝AC，AD＝AE. 求证：△ABE≌△ACD B C E D A 证明：在△ABE≌△ACD ∴△ABE≌△ACD（SAS） AB＝AC(已知) ∠A=∠A(公共角) AD＝AE (已知) 课堂练习 2.已知:如图, AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD. 求证:DC∥AB. 证明： OA=OC（已知） ∠AOB =∠COD （对顶角相等） OB=OD （已知） ∵ ∴△COD≌△AOB（SAS） ∴∠C=∠A（全等三角形对应角相等） ∴ DC∥AB （内错角相等的两条直线平行） 课堂练习 1 2 3.已知：如图,AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.求证：△ABD≌△ACE. 证明： ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠BAE = ∠2+∠BAE（等式的性质） 即 ∠BAD= ∠CAE 课堂练习 在△CAE和△BAD 中 AC=AB（已知） ∠CAE=∠BAD（已证） AE=AD ∴△ABD≌△ACE（SAS） 知识点1　判定三角形全等的条件：边角边 1. 由图中所给定的条件，全等的三角形是 .(填序号) ①③　 分层练习-基础 2. 如图， AB ＝ AD ， AC ＝ AE . 若要用“ SAS ”证明△ ABC ≌△ ADE ，则还需要的条件是(　C　) A. ∠ B ＝∠ D B. ∠ C ＝∠ E C. ∠1＝∠2 D. ∠3＝∠4 (第2题) C 3. [母题·教材P111习题14.2T2 2022·成都]如图，在△ ABC 和△ DEF 中，点 A ， E ， B ， D 在同一直线上， AC ∥ DF ， AC ＝ DF ，只添加一个条件，能判定△ ABC ≌△ DEF 的是(　B　) A. BC ＝ DE B. AE ＝ DB C. ∠ A ＝∠ DEF D. ∠ ABC ＝∠ D (第3题) 【点拨】 因为 AC ∥ DF ，所以∠ A ＝∠ D . 因为 AC ＝ DF ， 所以当添加 AE ＝ BD 时，即 AB ＝ DE ， 可根据“ SAS ”判定△ ABC ≌△ DEF . B 知识点2　“边角边”判定三角形全等的应用 4. 如图，已知 AB ＝ AD ， BC ＝ DE ，且∠ CAD ＝10°，∠ B ＝∠ D ＝25°，∠ EAB ＝120°，则∠ EGF 的度数为 ⁠. 115°　 ∵ AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D ， BC ＝ DE ， ∴△ ABC ≌△ ADE ( SAS ).∴∠ DAE ＝∠ CAB . ∵∠ EAB ＝120°，∠ CAD ＝10°， ∴∠ EAD ＝∠ CAB ＝ ×(120°－10°)＝55°， ∴∠ DAB ＝65°， ∵∠ GFD ＝∠ AFB ，∠ B ＝∠ D ＝25°， ∴∠ DGB ＝∠ DAB ＝65°， ∴∠ EGF ＝115°. 5. [2023·陕西]如图，在△ ABC 中，∠ B ＝50°，∠ C ＝20°.过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为 E ，延长 EA 至点 D ，使 AD ＝ AC . 在边 AC 上截取 AF ＝ AB ，连接 DF . 求证： DF ＝ CB . 【证明】在△ ABC 中，∠ B ＝50°，∠ C ＝20°， ∴∠ CAB ＝180°－∠ B －∠ C ＝110°. ∵ AE ⊥ BC ，∴∠ AEC ＝90°. ∴∠ DAF ＝∠ AEC ＋∠ C ＝110°， ∴∠ DAF ＝∠ CAB . 在△ DAF 和△ CAB 中， ∴△ DAF ≌△ CAB ( SAS ).∴ DF ＝ CB . 6. [2023·宜宾]已知：如图， AB ∥ DE ， AB ＝ DE ， AF ＝ DC . 求证：∠ B ＝∠ E . 【证明】∵ AF ＝ DC ， ∴ AF ＋ CF ＝ DC ＋ CF ，即 AC ＝ DF ， ∵ AB ∥ DE ，∴∠ A ＝∠ D . 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF ( SAS )，∴∠ B ＝∠ E . 易错点　因不能正确理解“ SAS ”应具备的条件而出错 7. [新视角·条件开放题]如图，已知 BC ＝ DC ， AC ＝ EC ，要用“ SAS ”来说明△ ABC ≌△ EDC ， 应补充的条件是 ⁠. ∠ ACB ＝∠ ECD (答案不唯一)　 【点拨】 已知两边分别相等，要用“ SAS ”来说明全等，只需要添加夹角相等即可. 8. 如图，在△ ABC 与△ DBC 中， AB ＝ DB ， BC 平分∠ ABD . (1)求证： AC ＝ DC ； 【证明】∵ BC 平分∠ ABD ， ∴∠ ABC ＝∠ DBC . 在△ ABC 和△ DBC 中， ∴△ ABC ≌△ DBC ( SAS ).∴ AC ＝ DC . 分层练习-巩固 (2)若∠ BAC ＝80°，∠ ACD ＝120°，求∠ ABC 的度数. 【解】∵△ ABC ≌△ DBC ， ∴∠ ACB ＝∠ DCB . 又∵∠ ACD ＝120°，∴∠ ACB ＝60°. ∴∠ ABC ＝180°－∠ BAC －∠ ACB ＝40°. 9. [新考法·等交代换法]如图，已知 AE ⊥ AB ， AF ⊥ AC ， AE ＝ AB ， AF ＝ AC ， AB 与 EC 交于点 D ， FB 与 EC 交于点 M . (1) EC 与 BF 有什么数量关系？并说明理由； 【解】 EC ＝ BF . 理由： 因为 AE ⊥ AB ， AF ⊥ AC ，所以∠ BAE ＝∠ CAF ＝90°. 所以∠ BAE ＋∠ BAC ＝∠ CAF ＋∠ BAC ， 即∠ EAC ＝∠ BAF . 在△ AEC 和△ ABF 中， 所以△ AEC ≌△ ABF ( SAS )，所以 EC ＝ BF . (2)试判断 EC 与 BF 的位置关系，并说明理由. 【解】 EC ⊥ BF . 理由：由(1)可知△ AEC ≌△ ABF ， 所以∠ AEC ＝∠ ABF . 因为∠ BAE ＝90°， 所以∠ AEC ＋∠ ADE ＝90°. 因为∠ ADE ＝∠ BDM ，所以∠ ABF ＋∠ BDM ＝90°. 所以∠ BMD ＝180°－(∠ ABM ＋∠ BDM )＝180°－90°＝90°，所以 EC ⊥ BF . 10. [新考法·倍长中线法]某数学兴趣小组进行了一次探究试验活动，请你来加入. 【探究与发现】(1)如图①， AD 是△ ABC 的中线，延长 AD 至点 E ，使 ED ＝ AD ，连接 BE . 求证：△ ACD ≌△ EBD . 分层练习-拓展 【证明】∵ AD 是△ ABC 的中线，∴ BD ＝ CD . 在△ ACD 和△ EBD 中， ∴△ ACD ≌△ EBD ( SAS ). 【变式与应用】(2)如图②， EP 是△ DEF 的中线，若 EF ＝5， DE ＝3. 设 EP ＝ x ，则 x 的取值范围是 ⁠. 1＜ x ＜4　 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中. 【拓展与延伸】(3)如图③， AD 是△ ABC 的中线，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上，且 DE ⊥ DF . 求证： BE ＋ CF ＞ EF . 【证明】如图，延长 FD 至点 G ，使 DG ＝ DF ，连接 BG ， EG . ∵ AD 是△ ABC 的中线，∴ DC ＝ DB . 在△ DFC 和△ DGB 中， ∴△ DFC ≌△ DGB ( SAS ).∴ BG ＝ CF . ∵ DE ⊥ DF ，∴∠ FDE ＝∠ GDE ＝90°. 在△ EDF 和△ EDG 中， ∴△ EDF ≌△ EDG ( SAS ).∴ EF ＝ EG . 在△ BEG 中，根据三角形三边关系定理，得 BG ＋ BE ＞ EG . ∴ BE ＋ CF ＞ EF . 三 角 形 全 等 的 判 定 - SAS 三角形全等的判定-SAS： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 简记为“边角边”或“SAS”. 几何语言: 如图，在△ABC与△A'B'C'中： ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS). AB=A'B'， ∠A=∠A'， AC=A'C'， B′ A′ C′ B A C 注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 课堂小结 $$