13.2 命题与证明（第1课时 命题）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十三章三角形中的边角关系、命题与证明 13.2　命题与证明 第1课时 命题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；（重点） 2. 会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用. （重点、难点） 学习目标 在研究三角形性质时，通过折叠，剪拼或度量得到三角形三个内角和是180°. 情景导入 针对前面得到的结果，有一些同学提出了以下疑问： (1)在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值； (2)度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°. 你能回答上面的问题吗？ 在学习几何时，需要观察和实验，同时也需要学会推理. 情景导入 在学习几何时，需要观察和实验，同时也需要学会推理.从这一章起我们将系统学习用逻辑推理方法对几何中的结论进行论证. 新知探究 推理是一种思维活动。人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断。判断是通过语言来表达的，例如： （1）北京是中华人民共和国的首都； （2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2； （3）1+1<2; （4）如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除. 从上面各语句中可以看出，人们对于客观事物的判断可能是正确的，也可能是错误的.上述语句（１）（２）（４）是正确的判断，（３）是错误的判断． 对某一件事情作出正确或不正确判断的语句（或式子）叫命题。 （1）正确的命题叫真命题。 （2）错误的命题叫假命题。 概念归纳 (1) 你的作业做完了吗？ (2) 欢迎前来参观！ (3) 以点O为圆心，3cm长为半径画弧. 像这样对某一事件的对错没有给出任何判断就不是命题. 注意： 疑问句、 感叹句、 祈使句、 以及表示画图的语句都不是命题. 下列句子是命题？ 命题的结构 数学命题通常由题设和结论两部分组成，命题通常写成“如果……那么……”的形式. 如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形. 条件 结论 命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 命题的一般形式：如果p，那么q（若p，则q），其中p是条件（或题设），q是结论（或题断） 将命题“如果p，那么q”中的条件和结论互换，得到一个新命题”如果q ，那么p“，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。 概念归纳 如果原命题正确，那么它的逆命题也正确吗？你能举例说明吗？ 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 例如“如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题. 它的逆命题“如果∠1=∠2 ，那么∠1与∠2是对顶角”是假命题. 1 2 像这种符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例。 要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 概念归纳 例1 指出下列命题的条件与结论： (1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行； (2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等. 解析：从形式上看，能写成“如果……，那么……”的形式，且其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 课本例题 例1 指出下列命题的条件与结论： (1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行； (2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等. 解：(1)条件：两条直线都平行于同一条直线， 结论：两条直线平行. (2)条件：∠A=∠B， 结论：∠A的补角与∠B的补角相等. 课本例题 例2 写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例： (1)内错角相等，两直线平行； (2)如果a=0，那么ab=0. 解析：逆命题就是“把原命题的条件作为结论，把原命题的结论作为条件”进行改写. 课本例题 解：(1)两直线平行，内错角相等. (2)如果ab=0，那么a=0. 例2 写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例： (1)内错角相等，两直线平行； (2)如果a=0，那么ab=0. 真命题 假命题 反例，当a=1，b=0时，ab=0. 课本例题 1.把下列命题写出“如果p，那么q”的形式： (1)两条直线相交，只有一个交点； (2)直线AB⊥直线CD，交点为O，有∠AOC=90°. (3)两直线平行，同位角相等； (4)等角的补角相等. 解：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点. (2)如果直线AB⊥直线CD，交点为O，那么有∠AOC=90°. (3)如果两直线平行，那么同位角相等. (4)如果两个角相等，那么它们的补角相等. 课堂练习 2.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例： (1)若|a|=|b|，则a=b； (2)如果ab>0，那么a，b都是正数； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； (4)两条直线与第三条直线相交，同位角相等. 真命题 假命题 假命题 假命题 反例：(1)当a = –1，b = 1时，满足|a|=|b|，但是a≠b. (2)当a = –2，b = –3时，满足ab>0，但此时a，b都是负数. (4)如右图. a b l 课堂练习 3. 写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假： （1）如果a=b，那么a2=b2； （2）同位角相等，两直线平行. 课堂练习 解 ⑴逆命题是：如果a2=b2，那么a=b； 逆命题是假命题； ⑵逆命题是：两直线平行，同位角相等； 逆命题是真命题。 知识点1　命题的定义 1. 下列四个选项中不是命题的是(　B　) A. 对顶角相等 B. 过直线外一点作直线的平行线 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 如果 a ＝ b ， a ＝ c ，那么 b ＝ c B 分层练习-基础 2. 有下列语句：①三角形内角和等于180°；②如果两个角的和是90°，那么这两个角互余；③请画出两条互相平行的直线；④过直线外一点作已知直线的垂线.其中，是命题的是(　A　) A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ A 知识点2　命题的结构 3. 命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是(　D　) A. 平行 B. 两条直线 C. 同一条直线 D. 两条直线平行于同一条直线 D 4. 命题“如果 a2＝ b2，那么 a ＝ b 或 a ＋ b ＝0”的结论是(　C　) A. a2＝ b2或 a ＝ b B. a2＝ b2 C. a ＝ b 或 a ＋ b ＝0 D. a2＝ b2或 a ＋ b ＝0 C 知识点3　命题的分类 5.以下命题是假命题的是(　A　) A. 的算术平方根是2 B. 有两边相等的三角形是等腰三角形 C. 三角形的一条中线将其面积平分 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A 6. 下列命题是真命题的是(　B　) A. 同位角相等 B. 三角形任意两边之差小于第三边 C. ( a － b )2＝ a2－ b2 D. 单项式5 ab2的次数是4 A. 两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B. 三角形任意两边之差小于第三边，正确，故原命题是真命题，符合题意； C. ( a － b )2≠ a2－ b2，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D. 单项式5 ab2的次数是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意. B 知识点4 举反例、互逆命题 7. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是(　C　) A. ∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α B. ∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α C. ∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α D. 以上都不正确 C 8. 能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是(　C　) 9. 命题“如果 a ＋ b ＞0，那么 a ＞0， b ＞0”的逆命题是 命题. (填“真”或“假”) C 真　 易错点　改写命题时，因不能正确找出命题的条件和结论而致错 10. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是 (　D　) A. 如果是同角，那么余角相等 B. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C. 如果是同角，那么相等 D. 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 D 11. 下列语句哪些是命题？哪些不是命题？并说明理由. (1)延长线段 AB 到点 C ，使 BC ＝ AB . (2)神舟十八号载人飞船发射成功了吗？ (3)在直线 AB 上任取一点 C . 【解】 (1) (2) (3) 不是命题.理由：它们不是对一件事情进行判断. (4)若同位角不相等，则两直线不平行. 【解】(4)是命题.理由：它是对一件事情进行判断. 12. [2024·北京四中月考]已知命题“如果一个多边形的内角和等于180°，那么这个多边形是三角形”. (1)写出该命题的逆命题. 【解】“如果一个多边形的内角和等于180°，那么这个多边形是三角形”的逆命题是：如果一个多边形是三角形，那么这个多边形的内角和等于180°. (2)该逆命题是真命题还是假命题？并说明你的理由. 【解】真命题，理由如下： 如图，△ ABC 的三个内角分别为∠ BAC ，∠ B ，∠ C ， 试说明：∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C ＝180°. 说明如下：如图，过 A 作 DE ∥ BC . ∴∠ C ＝∠ EAC ，∠ B ＝∠ DAB . ∵∠ DAE 是平角，即∠ EAC ＋∠ BAC ＋∠ DAB ＝180°，∴∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C ＝180°. 分层练习-巩固 13. 下列各命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例. (1)若 a2＞1，则 a ＞1； 【解】假命题.举反例不唯一，例如：当 a ＝－2时，满足 a2＞1，但 a ＜1. (2)锐角小于它的余角； 【解】假命题.举反例不唯一，例如：45°的余角为45°，但45°＝45°. (3)如图，如果∠1＝∠2， CE ∥ BF ，那么 AB ∥ CD . 【解】真命题. 14. [新考法·类比阅读法]在解答一道练习题时，两名同学呈现了不同的做法. 题目：如图， AB ∥ CD ，要使∠ ABE ＝∠ DCF ，还需要添加什么条件？说明你的结论. 分层练习-拓展 (1)小明添加的条件是“ CF ∥ BE ”，根据这一条件将过程中的①②补充完整； 【解】①两直线平行，内错角相等；②∠ FCB ＝∠ EBC (2)小刚添加的条件是“ CF 平分∠ DCB ， BE 平分∠ ABC ”，根据这一条件请你完成说明过程. 【解】∵ AB ∥ CD ， ∴∠ DCB ＝∠ ABC . ∵ CF 平分∠ DCB ， BE 平分∠ ABC ， ∴∠ DCF ＝ ∠ DCB ，∠ ABE ＝ ∠ ABC . ∴∠ ABE ＝∠ DCF . 命 题 命题的概念： 真假命题： 对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题. 判断性语句是正确的命题，我们称之为真命题； 判断性语句是错误的命题，我们称之为假命题. 互逆命题： 若原命题是“如果p，那么q”，则逆命题是“如果q，那么p”. 注：①命题是表示判断的句子；②与正误无关；③命题有真假. 注：①成对出现；②原命题是真命题，逆命题不一定是真命题. 课堂小结 $$