精品解析：福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（培青班）

2024—2025学年第一学期长乐一中阶段考试 高中一年数学科试卷（培青班） 考试日期：10月11日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ） A. B. C. D. 5. 定义域为函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 6. 已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若非空集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 时， C. D. 上有677个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知集合，，若，，则________. 13. 已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为______. 14. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算求值： （1）； （2）. 16. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 17. 函数对任意的实数，都有，且当时，． （1）求值； （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围． 18. 已知函数为偶函数. （1）求实数k的值； （2）求函数的值域； （3）若函数，，那么是否存在实数t，使得的最小值为1，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由. 19. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）若奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期长乐一中阶段考试 高中一年数学科试卷（培青班） 考试日期：10月11日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的符号，再利用幂函数的单调性比较的大小，即可得到结论. 【详解】因为，，，所以最小. 因为函数在上单调递增，所以，即， 所以. 故选：C 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，再用集合法判断. 【详解】由解得： 记 ∵,∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； (2)若p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集； (3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等； (4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含． 4. 当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，则，根据对数运算可得. 【详解】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为， 由题意知， 所以， 即， 所以， 故选：B. 5. 定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可. 【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6. 已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，利用基本不等式计算可得，进而，解一元二次不等式即可. 【详解】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，即，所以， 整理得，解得， 所以正数x的最大值为2. 故选：D. 7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数在整个定义域上递减，那么两段函数分别递减，同时，注意分段处函数值的大小关系. 【详解】由于函数是上的减函数， 则函数在上为减函数，所以，，解得.且有，解得.综上所述，实数的取值范围是. 故选：. 8. 已知函数，若非空集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合A非空，得出在R上有解，进而解得a范围，再根据两集合相等，得出在R上恒成立，利用判别式求得a的范围，综合即可求得a的范围. 【详解】集合是非空集合，所以在R上有解， 则，解得或①， 由可得， 即， 由，可得在R上恒成立， 即，解得②， 综合①②可得：. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，，则，A错误； 对于B选项，取，，则，B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D选项，因为，当且仅当时， 即当时，等号成立， 所以，，D正确. 故选：CD. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 11. 已知函数的定义域为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 时， C. D. 在上有677个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对数的运算即可判断A；分别求出，进而，即可判断B；利用函数的周期计算即可判断C；由可得，即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，即， 则，于是， 因此，故B正确； 对于C，， ， ，故C错误； 对于D，当时，，此时函数无零点， 而，由知，，， 即有，显然， 因此在上有675个零点，故D错误. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由可得，以及由推出. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知集合，，若，，则________. 【答案】19 【解析】 【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值. 【详解】因为，， ，，所以， 所以5和6是方程的两个根， 所以，解得，， 所以 故答案为：19. 13. 已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为4的周期函数，并求得，，，的值，将所有的式子利用周期进行转化即可求解. 【详解】因为图像关于点对称，所以. 又因为函数是R上的偶函数， 所以，所以， 则. 故函数的周期为4. 所以，又， 所以 . 故答案为：1 14. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上的值域包含于在上的值域，利用基本不等式先求出在上的值域，然后当时，对分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设函数，的值域为A，函数，的值域为B， 因为对任意的，都存在唯一的，满足， 则，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个. 当时，，因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 当时，， ①当时，，，此时， ，解得， ②当时，， 此时在上是减函数，取值范围是， 在上是增函数，取值范围是， ，解得，综合得. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式、指数运算来求得正确答案. （2）根据对数运算来求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数，令，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 函数对任意的实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，令，即可求出结果； （2）设且，取，，根据题中条件，作差比较，根据单调性的定义，即可证明结论成立； （3）由（1）（2），将不等式化为，求出的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为函数对任意的实数a，b，都有， 令，则，所以； 【小问2详解】 设且，取，， 则，即， 由于当时，，因为，所以， 即， 由增函数的定义可知是上的增函数； 【小问3详解】 不等式等价于， 由（2）可知是上的增函数， 故在上恒成立， 下面求函数的最大值： 令，，其对称轴为， 故有：当时， 函数递增，函数递增，故函数递增； 当时，函数递增，函数递减，故函数递减； 因此，函数在时有最大值，即所求范围为. 【点睛】方法点睛： 定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取，，规定， 2.作差：计算； 3.定号：确定的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 18. 已知函数为偶函数. （1）求实数k的值； （2）求函数的值域； （3）若函数，，那么是否存在实数t，使得的最小值为1，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由函数的定义域为，根据偶函数的定义即可求解； （2）将函数变形，令，，由基本不等式结合对数函数的单调性即可求解； （3）令，构造新函数，，根据二次函数的性质分情况讨论即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 因为函数为偶函数，所以，即，得； 【小问2详解】 ，设， 所以，， 因为，所以，所以，当且仅当，，即，时，等号成立， 所以函数的值域为； 【小问3详解】 ，，， 令，所以设，， 函数的对称轴， 当，即时，在上单调递增，， 所以，得，成立， 当时，即时，在上单调递减，， 所以，得，舍去， 当时，即，函数的最小值为，所以，得，舍去， 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：第一问利用偶函数的定义求参数，注意函数的定义域，第二问指对型函数的化简，转化为求函数的值域，结合基本不等式，第三问的关键是换元后转化为二次函数的最值问题. 19. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 【答案】（1）函数为有界函数，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）解法一：由是奇函数，得，然后化简可求出的值，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数，解法二：由为奇函数，可得，解得，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数； （2）由题意可得在上恒成立，则恒成立，转化为不等式组在上恒成立，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 解法一：若是奇函数，则， 则， 所以恒成立， 所以奇函数时，， 此时， 由，知，于是，则， 故时，， 所以，函数为有界函数． 解法二：因为为奇函数，可得，则有，解得． 此时， 由，知，于是，则， 故时，， 所以，函数为有界函数． 【小问2详解】 若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立． 故恒成立，即恒成立， 所以，即， 由题可知，不等式组在上恒成立． 因为在上单调递减，其最大值为； 又在上单调递减，其最小值为． 所以，即， 故的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本小题通过设置函数奇偶性与新信息探索性问题相关的综合创新情境，主要考查函数的奇偶性，单调性等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，推理论证能力，考查数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养，解题关键是对有界函数定义的正确理解，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$