精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学12月考 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.） 1. 已知集合，集合 ，则集合 （ ） A. {0，2，3} B. {1，2，3} C. {2，4} D. {2，3} 【答案】D 【解析】 【分析】先求解B集合表达式内的不等式，求出B集合所代表的区间，再根据交集的定义求解即可. 【详解】对于不等式 ，其解集为 ，即 ， 根据交集的定义： ， 故选：D. 2. 若角的终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（　　） A. 轴的非负半轴 B. 第一象限 C. 轴的非负半轴 D. 第三象限 【答案】A 【解析】 【分析】由对称可知，得终边所在位置. 【详解】角的终边与角的终边关于轴对称，则角的终边与角的终边相同， 得，则有， 所以的终边落在轴的非负半轴． 故选：A． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由指数式与对数式互化解出，再利用对数换底公式即可求解 详解】由，得，所以， 所以 故选：B 4. 若函数为奇函数,则= A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由函数f（x）为奇函可得，可得f（﹣x）=﹣f（x），代入整理可求a． 【详解】由函数f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x） ∴=， ∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a） ∴（4a﹣3）x2=0 ∴4a﹣3=0即a=， 故选C． 【点睛】本题主要考查了奇函数的定义的简单应用，属于基础试题． 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，结合导数可得，即可比较大小，再构造函数，根据单调性，可得大小，即可得的大小. 【详解】解：设， 则， 所以，所以，即， 由，令， 则 所以在上单调递减， 所以，则，则， 综上，. 故选：A 6. 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量､火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合对数式和指数式的互化，即可求得答案. 【详解】由题意知火箭的最大速度达到， 故，即， 故选：B 7. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的周期性化简之后再代入，最终求出余弦值即可. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：C 8. 在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意中函数的定义可得，由得，结合不等式的性质和对数的运算性质解不等式即可. 【详解】由题意知，，则，得，即. 由，得， 即或，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】对于A，因为，由不等式性质可得，故A正确； 对于B，因为，两边同乘以负数，可得，故B错误； 对于C，因为，所以，故，即，故C错误； 对于D，因为，，，， 所以，即，故D正确. 故选：AD 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 11. 若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得到函数图像应该是上凸的或者是直线，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】对于任意，， 故函数图像应该是上凸的，此时，如图所示： 或者函数图像是一条直线，此时， 画出函数图像，如图所示： 根据图像知：ACD满足条件. 故选：ACD 12. 已知函数（其中均为常数，且）恰能满足下列4个条件中的3个： ①函数的最小正周期为； ②函数的图象经过点； ③函数的图象关于点对称； ④函数的图象关于直线对称． 则这3个条件的序号可以是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】AB 【解析】 【分析】根据①②③④分别得到，，，，，，对选项AB验证正确，根据C得到，不成立，根据D得到，不成立，得到答案. 【详解】若①正确，则，解得； 若②正确，则，，，故； 若③正确，则，； 若④正确，则，； 对选项A：，取，，满足条件，此时④不满足，正确； 对选项B：，取，，满足条件，此时③不满足，正确； 对选项C：，，，不成立，错误； 对选项D：相减得到，，则，， 此时， 整理的，，而，故不成立，错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 14. 已知为第二象限角，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】平方得到，变换得到，解得，，解得答案. 【详解】，则，即， 故， 为第二象限角，故，，， 解得，，故. 故答案为：. 15. 已知在中，，若的内接矩形的一边在BC边上，则该内接矩形的面积的最大值为______． 【答案】150 【解析】 【分析】结合三角形的内接矩形的性质，以及二次函数的最值问题. 【详解】 如图，过点向作垂线，垂足为，交于点， 设矩形与，分别交于点，与交于点，且，， 由题意知，， 所以， 又因为，， 所以，即，其中， 矩形面积，， 当时，取得最大值150. 故答案为：150. 16. 设分别为定义在上奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为______． 【答案】4047 【解析】 【分析】先求出的解析式，表示出的奇偶性和增减性，根据曲线周期函数在区间的图像，分析一个周期内交点的情况，乘以区间内的周期数即可.注意原点处的重复现象. 【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数. 所以，. 所以，得到. 则， 因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数. 由复合函数的单调性易得为上的增函数， 又，则，，故， 所以的值域为. 则与曲线为周期为的函数在区间上的交点， 可以分为，两部分进行分析， 则当时，一个周期内有两个交点，则一共由2024个交点， 则当时，去掉在0处的交点，则一共有交点2023个交点， 所以两个函数一共有交点4047个交点. 故答案为：4047. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）化简得，结合平方关系求出，再利用两角差的余弦公式，即可求得答案； （2）由（1）可得，化简为，利用齐次式法求值，即可得答案. 【小问1详解】 由，得， 因为锐角，，所以， 可得； 【小问2详解】 由得， 则 ． 18. 已知，. （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）9 （2）5 【解析】 分析】（1）利用基本不等式结合二次不等式求解即可； （2）利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【小问1详解】 当时，，即， 所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9； 【小问2详解】 当时，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5. 19. 已知集合，B＝{x|}. （1）当时，求； （2）若，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集运算求得答案； （2）由，列出相应的不等式组，解得答案. 【小问1详解】 当时，， . 【小问2详解】 ，则，解得, 所以实数的取值范围为. 20. 某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元. （1）把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数； （2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据运输成本由燃油费和的其他费用构成，即可列关系式， （2）根据基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 由题意得：， 即： 【小问2详解】 由于，所以函数， 当且仅当，即时取等号(最小值)． 21. 已知，函数． （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为2，求的值； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于零列不等式组求解即可. （2）先求内层函数值域，再求外层函数的最大值，列方程求解即可. （3）由题可知，不妨设，，则，利用二次函数性质求解最小值即可得解 【小问1详解】 根据题意，， 必有解可得，即函数的定义域为. 【小问2详解】 ， 设， 则有最大值4， 又由，函数在上单调递增，所以函数有最大值， 则有，解可得，故. 小问3详解】 由题可知， 又因为， 所以，，使， 即， 不妨设，则， . 又由对称轴为且， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学12月考 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.） 1. 已知集合，集合 ，则集合 （ ） A. {0，2，3} B. {1，2，3} C. {2，4} D. {2，3} 2. 若角终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（　　） A. 轴的非负半轴 B. 第一象限 C. 轴的非负半轴 D. 第三象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为奇函数,则= A B. C. D. 1 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量､火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 11. 若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数（其中均为常数，且）恰能满足下列4个条件中的3个： ①函数的最小正周期为； ②函数的图象经过点； ③函数的图象关于点对称； ④函数的图象关于直线对称． 则这3个条件的序号可以是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，则______． 14. 已知为第二象限角，且满足，则______． 15. 已知在中，，若的内接矩形的一边在BC边上，则该内接矩形的面积的最大值为______． 16. 设分别为定义在上的奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为______． 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求值． 18. 已知，. （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值. 19. 已知集合，B＝{x|}. （1）当时，求； （2）若，求实数的范围. 20. 某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元. （1）把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）函数； （2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 21. 已知，函数． （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为2，求的值； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$