精品解析：江苏省无锡市江阴市第二中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性检测数学试题

2024-2025学年度秋学期十二月份阶段性检测试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，E为延长线上一点，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 5. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（ ） A. 10.5尺 B. 11.5尺 C. 12.5尺 D. 13.5尺 6. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上动点，点为圆上动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，，与y轴交于点M.若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分. 9. 已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（ ） A. 曲线C不可能表示一个圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 10. 已知空间三点，，，则下列结论正确的有（ ） A. 存在唯一的实数x使 B. 对任意实数，三点都不共线 C. 当时，与夹角的余弦值是 D. 当时，是平面的一个法向量 11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（ ） A. 直线与抛物线C相切 B. C. 若P是线段的中点，则 D. 存在直线l，使得 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程：__________. ①与圆相切，②与x轴相切. 13. 已知正四面体的每条棱长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为______. 14. 设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若的内切圆与x轴切于点N，且，则C的离心率为____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点与圆相切的直线方程. 16. 已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. （1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. （2）若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点． （1）求直线\到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，已知椭圆的长轴长为4，离心率为，过点作直线l交椭圆于x轴上方两点M，N，点M在点N左侧，直线和交于点G. （1）求点G的横坐标； （2）若和的面积分别记为和，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度秋学期十二月份阶段性检测试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由得：， 所以直线的斜率为， 直线的倾斜角为. 故选：D 2. 在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可. 【详解】， 复数与关于虚轴对称，故. 故选：C 3. 如图，在平行六面体中，E为延长线上一点，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题设得，接着根据向量的加减法法则结合图形结构即可运算求解. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：B. 4. 已知则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，得到关于的方程，求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得； 【详解】解：因为若，则，解得或，当时，直线与直线重合，所以，若时，所以“”是“”的充要条件； 故选：C 5. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（ ） A. 10.5尺 B. 11.5尺 C. 12.5尺 D. 13.5尺 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出立春的影子长即可. 【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 故可设该等差数列为，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，， ，，公差为，由题可得： ，即，解之得：， 所以立春的日影子长为：（尺）. 故选：C 6. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上动点，点为圆上动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，将点到焦点的距离化为点到准线的距离，则由图象可知，的最小值在，，，四点共线且在之间时取得，即可得到答案. 【详解】 设圆的圆心为， 半径为，过点作垂直抛物线的准线于， 由抛物线的定义可知，， 所以， 当且仅当，，，四点共线且在之间时，等号成立， 而，所以， 即的最小值为4. 故选：B. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，，与y轴交于点M.若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和，可得，结合双曲线的定义，可得，，再根据和勾股定理，可得的数量关系，于是可求双曲线的渐近线方程. 【详解】如图： 因为，所以， 又，所以，且，所以，. 又. 所以. 所以双曲线的渐近线方程为：. 故选：A 8. 2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，，结合椭圆的定义与圆的性质综合计算即可得、，即可得离心率. 【详解】法1：不妨设，，， 则，，， 所以， 所以①， ②， 联立①②解得，，所以椭圆离心率； 法2：，，设轨道Ⅱ的长轴和焦距分别为和， ，， 则， ， ，得：， 则，， ，得：，故. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分. 9. 已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（ ） A. 曲线C不可能表示一个圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由、、、是否有解，判断各项正误. 【详解】A：若，无解，故曲线C不能表示一个圆，对； B：若，无解，故曲线C不能表示焦点在x轴上的椭圆，错； C：若，可得，满足曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，对； D：若，可得，满足曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，对. 故选：ACD 10. 已知空间三点，，，则下列结论正确的有（ ） A. 存在唯一的实数x使 B. 对任意实数，三点都不共线 C. 当时，与夹角的余弦值是 D. 当时，是平面的一个法向量 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可得A错误；由向量共线的基本定理可得B正确；由向量夹角的余弦值计算可得C错误；由法向量的性质可得D正确； 【详解】对于A，， 若，则，解得或1，故A错误； 对于B，设三点共线，则，即， 即，无解，故对任意实数，三点都不共线，故B正确； 对于C，当时，， 所以，故C错误； 对于D，当时，， 若是平面的一个法向量， 则，即， 所以当时，是平面的一个法向量，故D正确； 故选：BD. 11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（ ） A. 直线与抛物线C相切 B. C. 若P是线段的中点，则 D. 存在直线l，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 即抛物线方程为，焦点. 对于A：直线的方程为，即， 因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为，， 由，得，则，即或， 于是， 又， 所以，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得， 因为P是线段的中点， 所以，整理得，即，故C正确； 对于D：若，则，得 所以，即，解得， 此时，则直线l与抛物线相切，故D错误. 故选：AC. 【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线. 三、填空题：本题共3小题，共15分. 12. 写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程：__________. ①与圆相切，②与x轴相切. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用圆的标准方程和圆与圆的位置关系求解即可； 【详解】设圆的方程为， 由题意可得，整理可得， 可令，即， 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知正四面体的每条棱长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设有，，再应用空间向量数量积的运算律求结果. 【详解】由题设，四面体各侧面均是等边三角形，且边长都为1， ，， 所以 . 故答案为： 14. 设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若的内切圆与x轴切于点N，且，则C的离心率为____________________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于离心率的方程，解出即可. 【详解】 结合题意：双曲线的渐近线方程为：，即. 所以F到渐近线的距离为，所以， 则的内切圆的半径为， 设的内切圆与FM切于点P， 则， 由，得, 即, 则，， 由，得． 即, 由于，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意利用待定系数法求出，即可得解； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由题意得， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，符合题意， 当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为， 即，圆心到该直线的距离为， 即，解得， 此时直线方程为， 故所求直线方程为和. 16. 已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. （1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. （2）若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点． （1）求直线\到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到直线的距离； （2）转化为到平面的距离,利用点到平面的距离向量法可得答案. 【小问1详解】 建立如下图所示的空间直角坐标系， ，， 因为，所以，即， 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，， ，， 所以直线到直线的距离为； 【小问2详解】 因为，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离， ,， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，可得， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在中，由余弦定理知，， 所以，即， 因为，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可证，然后结合，利用线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的方法列出关于参数的方程，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即， 取，则，，所以，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取，则，，所以，，， 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以， 整理得，，即， 解得或， 因为，所以， 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时． 19. 如图，已知椭圆的长轴长为4，离心率为，过点作直线l交椭圆于x轴上方两点M，N，点M在点N左侧，直线和交于点G. （1）求点G的横坐标； （2）若和的面积分别记为和，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题设求出椭圆方程，设直线的方程，与椭圆联立，消元，根据韦达定理求出，根据直线的点斜式方程求出直线和的方程，并联立化简即可求出点的横坐标； （2）用三角形面积公式表示，用坐标化简可得到，求根公式求出，得到关于的函数，结合的范围可求出结果. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为，离心率为， 所以，，所以，故， 所以椭圆的方程为. 由题可设，直线的方程为， 由得， 所以，即，，， 所以， ， 直线的方程为： ， 因为点在椭圆上，所以，即， 所以， 所以直线的方程为：， 联立直线和的方程得：， 所以， 所以＝， 而， 所以 即点G的横坐标为. 【小问2详解】 ， 因为是方程的解，且， 所以， 则 因为，则，所以 即的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中面积比经常转化为线段比，进而转化为坐标比，结合韦达定理进行计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $