立体几何小题综合练 限时训练-2025届高三数学二轮复习

立体几何小题综合练 一、单项选择题 1．(★)(2023·铁岭模拟)设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是(　　) A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n 2．(★)(2023·天津模拟)在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，则异面直线CE与C′A所成角的余弦值是(　　) A．－ B. C．－ D. 3．(★)(2024·湛江模拟)如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为(　　) A．4π B．(2＋4)π C．(3＋4)π D．(4＋4)π 4．(★★)(2023·徐州模拟)如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是(　　) A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥平面BCE D．平面ADE⊥平面BCE 5．(★★)(2023·郑州模拟)已知三棱锥A－BCD的外接球为球O，△BCD是边长为3的正三角形，若三棱锥A－BCD体积的最大值为，则球O的体积为(　　) A. B. C．100π D．64π 6.(★★)(2023·南昌模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动．若PA1∥平面AMN，则PA1的最小值是(　　) A．1 B. C. D. 二、多项选择题 7．(★)(2024·济南模拟)在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则MN∥平面ABC的有(　　) 8．(★★)(2023·昆明模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．A1E⊥B1C1 B．平面AA1D1D中的任意一条直线都与C1F平行 C．A1E，BB1，C1F三条直线有公共点 D．正方体中的任意一条棱所在直线与直线AB1的夹角都是 9．(★★)(2024·厦门模拟)如图是底面半径为1，高为2的圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．DF∥平面PAC B．存在点P，使得OB⊥PC C．当CD与平面PAC所成的角最大时，三棱锥P－ABD的外接球的体积为 D．若M为AA1的中点，则三棱锥M－ACP的体积的最大值为 10．(★★★)(2023·广州模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点P为正方形A1B1C1D1上的动点，则(　　) A．满足MP∥平面A1BD的点P的轨迹长度为 B．满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为 C．不存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足PA＋PM＝5 三、填空题 11．(★)(2024·唐山模拟)圆台的轴截面上、下底边边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是________． 12．(★★★)(2023·南通模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为1，则以点A为球心，1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何小题综合练 一、单项选择题 1．(★)(2023·铁岭模拟)设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是(　　) A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n 答案　C 解析　如图，以正方体为例， A项，令AB＝m，BC＝n，平面BCC1B1＝α，平面ADD1A1与平面A1B1C1D1都可以是平面β，α与β可能平行也可能相交，A错误； B项，令平面BCC1B1＝α，平面A1B1C1D1＝β，AB＝m，BB1＝n，此时n与β相交，B错误； C项，m∥α，由线面平行的性质定理知，α内有直线l∥m，m∥n，则n∥l，又n⊥β，则l⊥β，则α⊥β，C正确； D项，令平面BCC1B1＝α，平面A1B1C1D1＝β，AB＝m，BB1＝n，但m与n相交，不平行，D错误． 2．(★)(2023·天津模拟)在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，则异面直线CE与C′A所成角的余弦值是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　如图所示，将直三棱柱ABC－A′B′C′向上方补形为直三棱柱ABC－FGH，其中A′，B′，C′分别为所在棱的中点，取B′G的中点D′，连接AD′，C′D′，可知CE∥C′D′，异面直线CE与C′A所成的角即为C′D′与C′A所成的角，即∠AC′D′(或其补角)． 设CB＝2，则C′D′＝，C′A＝2，AD′＝，cos∠AC′D′＝＝－，故异面直线CE与C′A所成角的余弦值为. 3．(★)(2024·湛江模拟)如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为(　　) A．4π B．(2＋4)π C．(3＋4)π D．(4＋4)π 答案　D 解析　设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝＝，圆柱的侧面积为2πr·2h＝4π，故制作这样一个粮仓的用料面积为(4＋4)π. 4．(★★)(2023·徐州模拟)如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是(　　) A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥平面BCE D．平面ADE⊥平面BCE 答案　C 解析　因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是底面圆的直径，BC，AD都是圆柱的母线， 又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是得AE⊥BE，而BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以BC⊥AE， 因为BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，所以AE⊥平面BCE，又CE⊂平面BCE，因此得AE⊥CE，同理，BE⊥DE，A，B正确； 点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若DE⊥平面BCE，因为AE⊥平面BCE，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，C不正确； 因为AE⊥平面BCE，而AE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCE，D正确． 5．(★★)(2023·郑州模拟)已知三棱锥A－BCD的外接球为球O，△BCD是边长为3的正三角形，若三棱锥A－BCD体积的最大值为，则球O的体积为(　　) A. B. C．100π D．64π 答案　A 解析　设三棱锥A－BCD的高为h，当球心O在三棱锥A－BCD的高线上时，三棱锥A－BCD的体积最大，此时××3×3×h＝，解得h＝9.设球O的半径为R， 如图，AM是三棱锥的高，BM＝××3＝3，OB＝OA＝R， 则(9－R)2＋32＝R2，解得R＝5，所以球O的体积为πR3＝. 6.(★★)(2023·南昌模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动．若PA1∥平面AMN，则PA1的最小值是(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　如图所示，取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF， 因为M，N分别是棱BC，CC1的中点，所以A1E∥AM，EF∥MN， 又因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面A1EF，AM∩MN＝M，AM，MN⊂平面AMN， 所以平面A1EF∥平面AMN，因为PA1∥平面AMN，且点P在平面BCC1B1内， 所以点P的轨迹是EF，且A1E＝A1F＝，EF＝， 所以当P点位于EF的中点O处时，PA1最小， 此时PA1＝A1O＝＝＝. 二、多项选择题 7．(★)(2024·济南模拟)在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则MN∥平面ABC的有(　　) 答案　AB 解析　对于A，如图1，设P为AB的中点，底面为平行四边形BEFC，连接MP，PC， 图1 则PM∥BE，PM＝BE，而CN＝CF，CF∥BE， 故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC，而PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC， 故MN∥平面ABC，A正确； 对于B，如图2，设P为AB的中点，底面为平行四边形BCFE，连接MP，PC， 图2 则PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CF，CN＝CF， 故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形， 故MN∥PC，而PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC， 故MN∥平面ABC，B正确； 对于C，如图3，设底面为平行四边形BEFG，P为AE的中点，连接NP，PB， 图3 设NP交AC于H，连接BH， 则PN∥FE，PN＝FE，而FE∥GB，MB＝GB， 故PN∥MB，PN＝MB，即四边形PNMB为平行四边形，故MN∥PB， 假设MN∥平面ABC，又MN⊂平面PNMB，平面PNMB∩平面ABC＝BH，则MN∥BH， 即在平面PNMB内过点B有两条直线都和MN平行， 这是不可能的，故此时MN∥平面ABC不成立，C错误； 对于D，如图4，设底面为平行四边形ANEF， 图4 连接AE，FN交于点H，FN∩AC＝G， 则H为FN的中点，连接BH，BG， 由于B为MF的中点，故BH∥MN， 假设MN∥平面ABC，又MN⊂平面NMF，平面NMF∩平面ABC＝BG，则MN∥BG， 即在平面NMF内过点B有两条直线都和MN平行，这是不可能的， 故此时MN∥平面ABC不成立，D错误． 8．(★★)(2023·昆明模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．A1E⊥B1C1 B．平面AA1D1D中的任意一条直线都与C1F平行 C．A1E，BB1，C1F三条直线有公共点 D．正方体中的任意一条棱所在直线与直线AB1的夹角都是 答案　AC 解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1，A1E⊂平面ABB1A1， ∴B1C1⊥A1E，故A正确； 显然AD与C1F是异面直线，故B错误； 在平面ABB1A1中，BE∥A1B1，且BE＝A1B1，则A1E与BB1交于点M且MB＝MB1， 同理C1F与BB1交于点N且NB＝NB1，即点M与点N重合， 则A1E，BB1，C1F三条直线有公共点，故C正确； 易知BC⊥平面AA1B1B，又AB1⊂平面AA1B1B，故BC⊥AB1，故D错误． 9．(★★)(2024·厦门模拟)如图是底面半径为1，高为2的圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．DF∥平面PAC B．存在点P，使得OB⊥PC C．当CD与平面PAC所成的角最大时，三棱锥P－ABD的外接球的体积为 D．若M为AA1的中点，则三棱锥M－ACP的体积的最大值为 答案　ABC 解析　对于A，由六边形ABCDEF为正六边形，得DF∥AC， 又AC⊂平面PAC，DF⊄平面PAC， ∴DF∥平面PAC，故A正确； 对于B，当点P与点A1重合时，PA⊥平面ABCDEF， ∵OB⊂平面ABCDEF， ∴PA⊥OB，易知OB⊥AC， 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴OB⊥平面PAC， 又PC⊂平面PAC，∴OB⊥PC，故B正确； 对于C，由六边形ABCDEF是正六边形，易知CD⊥AC， 当PA⊥平面ABCDEF或PC⊥平面ABCDEF时，易得CD⊥平面PAC，此时CD与平面PAC所成的角最大，为90°，将三棱锥P－ABD补形为长方体(图略)，则长方体的长、宽、高分别为，1,2， 设三棱锥P－ABD的外接球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋()2，即4R2＝8， ∴R＝， ∴V三棱锥P－ABD外接球＝πR3＝×π×()3＝，故C正确； 对于D，设点P到平面ACM的距离为h，由题意得VM－ACP＝VP－ACM＝·S△ACM·h＝×××1×h＝h， 过点P作PP′⊥⊙O于点P′(图略)，则点P′到AC的距离即为点P到平面ACM的距离h， 显然，当点P′在点E处时h最大，最大为， ∴(VM－ACP)max＝×＝，故D错误． 10．(★★★)(2023·广州模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点P为正方形A1B1C1D1上的动点，则(　　) A．满足MP∥平面A1BD的点P的轨迹长度为 B．满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为 C．不存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足PA＋PM＝5 答案　ACD 解析　如图1，取B1C1的中点F，C1D1的中点E，连接EF，FM，EM，A1D，BD，A1B， 图1 因为E，F，M分别为C1D1，B1C1，CC1的中点， 所以EF∥BD，FM∥A1D， 因为EF⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD， 所以EF∥平面A1BD，同理可得，MF∥平面A1BD， 因为EF，MF⊂平面EFM，EF∩MF＝F， 所以平面EFM∥平面A1BD， 因为点P为正方形A1B1C1D1上的动点， 所以当P在线段EF上时，MP∥平面A1BD， 故满足MP∥平面A1BD的点P的轨迹长度为EF＝，故A正确； 如图2，连接AM，A1C1，过点M作MQ⊥AM，交A1C1于点Q，可得Rt△ACM∽Rt△MC1Q， 图2 因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点， 所以AC＝2，CM＝C1M＝1，故＝， 即＝，解得C1Q＝，连接B1D1， 过点Q作ST∥B1D1交C1D1于点S，交B1C1于点T，连接AC，SM，TM， 则ST⊥平面ACC1A1，因为AM⊂平面ACC1A1， 所以ST⊥AM，又ST⊂平面MST，MQ⊂平面MST，ST∩MQ＝Q，所以AM⊥平面MST， 当点P位于线段ST上时，满足MP⊥AM， 即满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为线段ST的长度， 又因为ST＝，故B错误； 如图3，连接AM，BM，取DD1的中点H，连接AH，HM，则可知平面ABM截正方体所得的截面为平行四边形ABMH，与正方形A1B1C1D1没有交点， 图3 所以不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C正确； 如图4，连接AC，延长CC1到点O，使得C1O＝MC1，则点M关于平面A1B1C1D1的对称点为O， 图4 连接AO交正方形A1B1C1D1于点P，连接PM，则此时PA＋PM取得最小值， 最小值为AO＝＝＝<5， 当点P与B1重合时，PA＋PM＝2＋>5， 故存在点P满足PA＋PM＝5，故D正确． 三、填空题 11．(★)(2024·唐山模拟)圆台的轴截面上、下底边边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是________． 答案　 解析　如图所示，不妨设圆台的轴截面为ABCD，过点A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，交CD于点E，F， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此DE＝CF＝＝1，∴AE＝＝. 由圆台的体积公式得V＝πh(R2＋r2＋R·r)＝π××(22＋12＋2×1)＝. 12．(★★★)(2023·南通模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为1，则以点A为球心，1为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为________． 答案　 解析　根据题意，如图，以点A为球心，1为半径的球和平面A1B1BA，平面A1C1CA的交线是以A为圆心，1为半径的圆的圆弧， 根据正三棱柱的性质，作BC的中点M，连接AM，易知AM⊥平面B1BCC1， 故球与平面B1BCC1的交线为以M为圆心，BC为直径的半圆， 所以所求长度之和为×2π×1×2＋×2π×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$