精品解析：重庆市第110中学教育集团2024-2025学年九年级上期12月数学定时作业试题

2024-2025学年上期九年级学情调查数学试题 （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称的定义．根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误； B、不是中心对称图形，故选项错误； C、不是中心对称图形，故选项错误； D、是中心对称图形，故选项正确． 故选：D． 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键．根据余弦的定义计算即可． 【分析】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 4. 若点在某一反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，设反比例函数解析式为，且过，先求出反比例函数解析式为，然后逐项代入即可求解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为，且过， ∴， ∴反比例函数解析式为， 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：． 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，与的面积比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为， ∴， ， ∴， 故选：C． 6. 下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（ ）颗． A. 32 B. 37 C. 22 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】设第n个“山”字中有an个棋子，观察图形，根据图形中“山”字中棋子的变化可得出“an=5n+2（n为正整数）”，再代入n=6即可得出结论．（因为只找第⑥个“山”字中棋子颗数，用列举法直接找出a6亦可） 【详解】解：设第n个“山”字中有an个棋子， 观察图形，可知：a1=7，a2=a1+5=12，a3=a1+5×2=17，a4=a1+5×3=22，…，（可直接利用列举法，找出第⑥个“山”字中棋子颗数） ∴an=a1+5（n-1）=5n+2（n为正整数）， ∴a6=5×6+2=32． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中棋子数量的变化找出变化规律“an=5n+2（n为正整数）”是解题的关键． 7. 设，则实数的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减，无理数的估算，由二次根式加减得，用逐步逼近法得，即可求解；掌握逐步逼近法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， 故选：B． 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1），，；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． （1）根据二次函数图象的开口方向，与轴的负半轴的交点和对称轴来求解； （2）根据图象过点得，再结合对称轴得来求解； （3）利用当时，来求解； （4）利用A、B、C到对称轴的距离分别为0,1，4进行判定求解． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，． 对称轴为直线， ， ，故（1）项符合题意； 图象过点， ． 对称轴为直线， ， 即， ，故（2）符合题意； 图象过点，对称轴为直线， 当时，， ， 即，故（3）不符合题意； 点，点、点在该函数图象上， A、B、C到对称轴的距离分别为0,1，4 ，故（4）符合题意. 综上所述，符合题意的有：（1）（2）（4）共3个. 故选：C． 9. 如图，点E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作交于点F，交对角线于点G，且点G为的中点，若正方形的边长为，则的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 如图，过点F作于点H，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，证明，得到，求出（负值舍去），则 ，，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴ ， ∴， ∴． 故选：B． 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“H运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“H运算”，得．下列说法：①对m，进行“H运算”的结果是3，则m的值是2；②对，，5进行“H运算”的结果是16，则n的取值范围是；③对a，a，b，c进行“H运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． ①根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】解：①由题意，，可得或，故①错误； ②由题意， ∴，故②错误； ③对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， ，，的“运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种， 故③错误； ∴①②③都错误，正确的没有． 故选：A． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可求解，掌握负整数指数幂公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 二次函数的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式．根据顶点式的顶点坐标为直接写出即可． 【详解】解：∵二次函数是顶点式， ∴顶点坐标为：， 故答案为：． 13. 某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次下降的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次下降的百分率为，根据题意列方程得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 所以每次下降的百分率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 14. 在一只不透明的袋中，装着标有数字，，，的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于时小明获胜，反之小东获胜．则小东获胜的概率_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案. 【详解】根据题意画图如下： 可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和大于等于9的有8种 ∴P（小东获胜）＝= 故答案为：. 【点睛】此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意画出树状图表示所有情况. 15. 如图，的顶点A在函数的图象上，，过边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交于点P、Q．若四边形的面积为3，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，证明，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出的面积，进而可求出的面积，则k的值也可求出． 【详解】解：过边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交于点P、Q， ． M，N是的三等分点， ，． ． 四边形的面积为3， ． ． ． ， ． 点A在函数的图象上， ． ． 故答案为：． 16. 若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集、解分式方程，首先求出一元一次不等式组的解集，根据不等式组有解可以确定，再解分式方程可得，根据分式方程有非负整数解确定整数的值，注意因为是分式方程的增根，所以要把使的值舍去． 【详解】解：， 解不等式， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式得：， 不等式组有解， ， ， 解关于的分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有非负整数解， 或或或或或， 当时，是分式方程的增根， (舍去)， ． 故答案为： ． 17. 已知正方形的边长为，，和相交于点，连接，点是线段的中点，连接，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证，可得，直角，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一边可得，在中，根据勾股定理可得，连接，作，可证是等腰三角形，可得，根据相似三角形的判定和性质可得，所以有，在中，运用勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是直角三角形， ∵点是的中点， ∴，即 ∵， ∴， ∴， 如图所示，连接，作于点， 在中，， ∴，即是等腰三角形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 18. 如果一个四位自然数，其千位数字等于百位数字加十位数字的和，个位数字等于百位数字减十位数字的差，则我们称这样的四位数为“幸福数”．例如：自然数，因为，，所以5413是“幸福数”．最小的“幸福数”是______；若一个“幸福数”的后三位数字所表示的数与千位数字的7倍之差能被13整除，则满足条件的“幸福数”中，最大的一个是______． 【答案】 ①. 1101 ②. 【解析】 【分析】此题考查了新定义，用到了整式的加减、二元一次方程的解、不等式的性质等知识，设“幸福数”为，且且都是自然数，根据定义进行判断后即可确定最小的“幸福数”；根据题意得到，由题意可得，为整数，即是13的倍数，则或，分两种情况求解，比较后即可得到答案． 【详解】解：设“幸福数”为，且且都是自然数， 当a为最小时，则， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴最小的“幸福数”为， , ∵ ∴ 由题意可得，为整数， 即是13的倍数， ∵，且b、c为整数，且， ∴， ∴或 当时， ∵， ∴可得， 此时“幸福数”为， 当时， ∵， ∴可得或， ∵， ∴ 不合题意，舍去， 此时“幸福数”为， 综上可知，满足条件的“幸福数”是和， ∵， ∴最大的一个是， 故答案为：1101， 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上， 19. （1）解一元二次方程： （2）计算： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查题主要考查解一元二次方程和分式的化简，熟练掌握运用解一元二次方程的方法和分式的化简的方法是解题关键． （1）本题用十字相乘法即可求解． （2）先把括号里的分式进行同分，括号外的提公因式，之后再进行化简即可． 【详解】（1）解：， ，． （2）解：原式， ， ． 20. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81； 八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 90 90 八年级 90 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级学生竞赛成绩更好，理由见解析 （3）780人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是关键． （1）根据中位数，众数定义可得，的值，根据优秀率的定义可得的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及优秀率的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 七年级20名学生的比赛成绩中，94出现的次数最多，故众数； 把八年级20名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是91、92，故中位数， ， ， 故答案为：94，91.5，30； 【小问2详解】 八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均和优秀率高于七年级，所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 （名， 答：估计七年级、八年级学生参加此次征文比赛成绩为优秀的共大约有780人． 21. 如图，在四边中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 【答案】（1）见解析 （2），，，，得到的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法． （1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：∵垂直平分 ∴①， ∵ ∴② ∵在和中， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵④ ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 22. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元 （2）每台A款电器应降价40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据“顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”列出分式方程，解方程即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元； 【小问2详解】 解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽可能减少库存， 取． 答：每台A款电器应降价40元． 23. 如图，正方形是边长为4，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，两动点同时出发，设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积为时的值． 【答案】（1） （2） 如图： 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，掌握函数的解析式求解、函数图象、数形结合的数学思想是解题关键． （1）分类讨论、两种情况时函数表达式； （2）描点、连线即可完成作图； （3）作出直线，确定其与函数图象的交点横坐标即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，动点在上运动，动点在上运动， 作，如图所示： ∵，， ∴， ∴； ②当时，动点在上运动，动点在上运动， 作，如图所示： ∵，， ∴； 综上所述：； 【小问2详解】 解：由（1）中的表达式可知：当时，；当时，；当时，；分别描出三个点，，，然后依次连接， 由图可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：作出直线，如图所示： 可知直线与函数图象的交点横坐标为或， ∴当的面积为时，或． 24. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点A的南偏东方向且米，点在点A的东北方向．（参考数据：） （1）求道路的长度（结果保留根号）； （2）若甲从A点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位） 【答案】（1）道路的长度约为米 （2）乙先到达点E 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答． 【小问1详解】 解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示： 由题意得： ，， 在中，，米， （米， （米， 米， 米， （米， 米， 在中，， （米， 道路的长度约为米； 【小问2详解】 解：米，米， （米， 在中，米， （米， 在中，， （米， 甲的路程（米）， 乙的路程（米， ∵，两人速度相同， ∴乙先到达点E． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件的点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）有最大值，此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交直线于点，交轴于点，过点作交于点，分别求得，，则，设，则，可得，当时，有最大值，此时； （3）平移后的抛物线解析式为，在轴上取点，连接，能推导出，过点作交于点，利用等积法能求，则，可得，过点作轴交于点，设，由方程，求得或． 【小问1详解】 解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交直线于点，交轴于点，过点作交于点，如图1， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵ ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：原抛物线沿射线方向平移个单位长度， 抛物线沿着轴负半轴平移2个单位长度，沿着轴正半轴平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 在轴上取点，连接，过点作交于点，如图2， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， ， 过点作轴交于点，设， ， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 26. 是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点， （1）如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接，若，，求的长； （2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线一点，且，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）， 理由为： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于F，根据等边三角形的性质得到，，利用锐角三角函数求得、、，进而求得，然后利用勾股定理求解即可； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别证明和得到即可得出结论； （3）在上截取，连接，则是等边三角形，证明得到，，进而，则点N在过点G且垂直于的直线l上运动，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，此时的值最小，设直线l与相交于K，连接，利用锐角三角函数求得，，，证明是等边三角形和 ，进而求得，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：过点E作于F，如图， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，点D为中点， ∴，， ∴，，， 在中，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上截取，连接，交于 ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴点N在过点G且垂直于的直线l上运动， 作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，则，，，此时的值最小， 设直线l与相交于K，连接， ∵，，， ∴，，， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、旋转性质、等腰三角形的性质、利用轴对称求最短路径问题等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识与联系，并添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上期九年级学情调查数学试题 （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在某一反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，与的面积比为，则为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（ ）颗． A. 32 B. 37 C. 22 D. 42 7. 设，则实数的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1），，；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，点E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作交于点F，交对角线于点G，且点G为的中点，若正方形的边长为，则的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“H运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“H运算”，得．下列说法：①对m，进行“H运算”的结果是3，则m的值是2；②对，，5进行“H运算”的结果是16，则n的取值范围是；③对a，a，b，c进行“H运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 二次函数的顶点坐标是_____． 13. 某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是_________． 14. 在一只不透明的袋中，装着标有数字，，，的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于时小明获胜，反之小东获胜．则小东获胜的概率_______． 15. 如图，的顶点A在函数的图象上，，过边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交于点P、Q．若四边形的面积为3，则k的值为_______． 16. 若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为_______． 17. 已知正方形的边长为，，和相交于点，连接，点是线段的中点，连接，若，则__________． 18. 如果一个四位自然数，其千位数字等于百位数字加十位数字的和，个位数字等于百位数字减十位数字的差，则我们称这样的四位数为“幸福数”．例如：自然数，因为，，所以5413是“幸福数”．最小的“幸福数”是______；若一个“幸福数”的后三位数字所表示的数与千位数字的7倍之差能被13整除，则满足条件的“幸福数”中，最大的一个是______． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上， 19. （1）解一元二次方程： （2）计算： 20. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81； 八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 90 90 八年级 90 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 21. 如图，在四边中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 22. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 23. 如图，正方形是边长为4，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，两动点同时出发，设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的面积为时的值． 24. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点A的南偏东方向且米，点在点A的东北方向．（参考数据：） （1）求道路的长度（结果保留根号）； （2）若甲从A点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件的点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程． 26. 是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点， （1）如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接，若，，求的长； （2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线一点，且，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $