天津市静海区第六中学2024-2025学年高二上学期第三次质量监测（12月）数学试题

静海六中2024-2025学年度第一学期第三次质量监测 高二年级数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷(选择题) 和第二卷(非选择题) 两部分。总分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共45分) 一、选择题(每题5分，共60分) 1. 已知直线 经过点P(1,0), 且方向向量=(1,2), 则 的方程为( ) 2. 已知点关于轴的对称点为B, 则||等于 ( ) C. 2 3. 圆 与圆 的位置关系为( ) A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 4. 已知空间向量=(1,2,-2), =(3,λ,μ-1),若 则λ+μ= ( ) A. 1 B. - 1 C. 2 D. - 2 5. 在等差数列{}中, 若 则 的值为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 6. 如图,在四面体OABC中, 点M, N分别为棱OC, AB的中点， 则 7. 直线是双曲线 的一条渐近线，则a=( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 8. 若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( ) 9. 已知空间向量则下列结论正确的是( ) A. 向量ā在向量b上的投影向量是 10. 已知数列{}满足 若 则 A. 2 B. - 2 C. - 1 D. 11. 若点 P 在椭圆 上，F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点，且 。 则△F₁PF₂的面积为( ). A. B. 3 C. 4 D. 1 12. 已知椭圆 过点的直线l交C于A、B两点, 且M是AB的中点， 则直线 的斜率为( ) A. B. C. D. 第II卷(非选择题) 二、填空题(每题5分，共30分) 13. 数列 的一个通项公式 = . 14. 已知直线与直线平行, 则实数a的值为 . 15. 已知圆 和点A(3,2), 则过点A的⊙O的切线方程为 . 16.直线l过点(1,1)且被圆 截得的弦长最短，则直线l的方程为 . 17. 如图, 在棱长为2的正四面体ABCD中, E,F分别为棱CD,AD的中点, 则 . 18. 直线与双曲线E: 的一条渐近线平行，过抛物线C： 的焦点， 交C于A，B两点，若 ，则E的离心率为 . 三、解答题(每题15分，共50分) 19. 已知关于的方程 (1)若方程C表示圆，求m的取值范围； (2)若圆C与圆 外切，求m的值； (3)若圆C与直线 相交于M,N两点, 且 求m的值. 20.(1)已知数列 满足 求证： 是等差数列，并求 的通项公式： (2)已知数列 的前n项和为 求 的通项公式： 21. 已知如图, 四边形PDCE为矩形, ABCD为梯形, 平面 (1)若M为PA中点, 求证: AC//平面MDE; (2)求直线PA与平面PBC 所成角的余弦值； (3)在线段PC上是否存在一点Q (除去端点)，使得平面QAD与平面PBC夹角的大小为 若存在，求出 的值； 若不存在，请说明理由。 22. 已知椭圆 的离心率为 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线. 相切. (1)求椭圆C的方程； (2)过定点Q(1，0)斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若 求实数k的值及 △MON的面积。 静海六中2024至2025学年度第一学期第三次质量监测高二年级数学试卷 一.选择题 1-5 BDBAD ； 6-10 DACAC 11-12 AA 二.填空题 13. 14. 2 15. 16. 17. 18. 19.解:(Ⅰ)方程C 可化为 显然时,即时方程C 表示圆; (Ⅱ)由( Ⅰ)知圆 C 的圆心为(1,2),半径为 可化为 故圆心为(4,6),半径为4. 又两圆外切，. +4 即 解得; (Ⅲ)圆C的圆心(1,2)到直线的距离为 由 则 又 所以 解得m=4. 20. （1） 已知 1。 对 两边同时取倒数，得到 即 所以 又 则 根据等差数列定义，数列 是以1为首项，3为公差的等差数列。 由等差数列通项公式 (这里 可得 号即 2, 那么 (2) 求数列 的通项公式 (已知 3n) 当 时， 当 时， 2。 则 当时, 代入 中， 也成立。 所以 21.(1) 证明: 如图, 连接MN, ∵四边形PDCE为矩形, PC与DE交于点N, ∴N为PC的中点,又因为M为PA的中点， 而MN⊂平面MDE, AC⊄平面MDE, (2)如下图, 分别以DA, DC, DP为x, y, z轴建立空间直角坐标系， 根据题意, 则有A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,2,0), 所以 假设平面PBC的一个法向量为 =(x,y,z), 则 ,取, 得 设直线PA与平面PBC所成角的平面角为θ， = ∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 (3)假设存在点Q(x,y,z), 满足题意,设此时 则 即(x, y, 解得Q(0, 则 假设平面DAQ的一个法向量为 则 , 取 得 又∵平面PBC的一个法向量为 ∵平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为 ∴根据题意，则有 解得 ∴在线段PC上存在一点Q(除去端点)，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小 为 22. (1) 已知椭圆C的离心率 所以 即 ① 因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与 直线 相切， 所以 ) 联立①②, 解得 则椭圆C的方程为 (2)不妨设直线MN的方程为 联立 ，消去y并整理得 又韦达定理得 ， 此时 因为 整理得 解得 此时 ， 则 又点O到直线的距离 故△MON的面积 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$