【期末模拟试卷1】适合南通地区精选通州如东2023-2024八年级数学期末试题（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学上提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

【期末模拟试卷1】适合南通地区精选通州如东2023-2024八年级数学期末试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1．汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（　　） A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣9 D．22×10﹣10 3．下列各式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．若把分式中x和y的值都扩大3倍，则分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 5．在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（　　） A． B． C． D． 6．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 7．人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，使两个三角尺的一直角边分别与OA，OB重合，移动三角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直角边相交于点C，作射线OC，可证得△MOC≌△NOC，从而得OC是∠AOB的平分线．在上述过程中，判定两个三角形全等的方法是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 8．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为（　　） A．m＞﹣6且m≠3 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣3 D．m＜6且m≠﹣2 9．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，为“十字分式方程”，其可转化为，则x1＝1，x2＝3．若k＞2时，关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2，且x1＜x2，则的值为（　　） A． B． C．﹣2 D．2 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（　　） A．4 B．2 C．3 D．2 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 12．关于x的分式方程无解，则m的值 　 　 13．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．若（10，m）＝p，（10，n）＝q，p＝3﹣q，则mn＝　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为 　 　． 15．如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝　 　． 16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，△AEF的周长为10，BC＝7，△OBC的面积是7，则△ABC的面积是 　 　． 17．已知m＝a2+ab，n＝5ab﹣4b2，a，b为实数且ab≠0，若m≤n，则的值为 　 　． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C的坐标分别为（﹣3，n﹣2），（0，n）（n为任意实数），∠ACB＝90°，AC＝BC，则OB长的最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算： （1）； （2）． 20．（12分）先化简，再求值： （1）（2x﹣3y）（2x+3y）﹣（2x﹣y）2， （2），其中a2﹣a﹣3＝0． 其中x＝3，y＝1； 21．（10分）已知整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1． （1）若A+B＝（x﹣2）2，求a的值； （2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求a的值． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，3）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1的坐标； （2）请在x轴上找出一点P，连接PA，PB，使得PA＝PB，并写出P的坐标． 23．（10分）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数． 24．（8分）列分式方程解应用题：2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点，连接AD，BD． （1）作△ADE（点A，D，E按逆时针排列），使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． ①如图1，若点D为△ABC内一点，连接CE．请找出图中的一对全等三角形，并给出证明； ②如图2，若∠BAC＝90°，点D为线段BC上一点，判断BD，DC，AD之间的数量关系并证明； （2） 若∠BAC＝90°，∠ADB＝90°，AD＝2，BD＝4，求CD的长． 26．（14分）如图，△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，连接BE． （1）如图1，在边AB上取点D，使AD＝CE，连接CD，交BE于点P．求证：△ACD≌△CBE； （2）如图2，在（1）的条件下，若点E为AC中点，求的值； （3）如图3，∠EBC＝40°，M是△EBC内一点，且∠MBC＝30°，∠MCB＝20°，连接ME，求∠MEC的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【期末模拟试卷1】适合南通地区精选通州如东2023-2024八年级数学期末试题 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B D A A C A B 一．选择题（共10小题） 1．汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（　　） A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣9 D．22×10﹣10 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8． 故选：B． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 3．下列各式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、3，不是最简二次根式，不符合题意； D、2，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 4．若把分式中x和y的值都扩大3倍，则分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【分析】根据题意分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y得，， 可见新分式与原分式相等，分式的值不变， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，是解题的关键． 5．在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图形进行列式表示图形的面积即可． 【解答】解：∵由选项A可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴选项A不符合题意； ∵由选项B可得（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴选项B不符合题意； ∵由选项C可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． ∴选项C不符合题意； ∵由选项D可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴选项D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了乘法公式几何意义的几何意义，关键是能根据图形准确列出整式． 6．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案． 【解答】解：作射线AM， 由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC， ∴AM平分∠BAC， 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键． 7．人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，使两个三角尺的一直角边分别与OA，OB重合，移动三角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直角边相交于点C，作射线OC，可证得△MOC≌△NOC，从而得OC是∠AOB的平分线．在上述过程中，判定两个三角形全等的方法是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 【分析】根据全等三角形的判定定理HL推出Rt△MOC≌Rt△NOC，根据全等三角形的性质得出∠MOC＝∠NOC，再得出答案即可． 【解答】解：由题意知：∠CMO＝∠CNO＝90°， 在Rt△MOC和Rt'△NOC中， ， ∴Rt△MOC≌Rt△NOC（HL）， ∴∠MOC＝∠NOC， ∴OC是∠AOB的角平分线， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 8．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为（　　） A．m＞﹣6且m≠3 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣3 D．m＜6且m≠﹣2 【分析】先解分式方程得x＝6+m，再由题意可得6+m＞0，6+m≠3，求出m的范围即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3，得x﹣2（x﹣3）＝﹣m， 去括号得，x﹣2x+6＝﹣m， 解得x＝6+m， ∵方程的解是正数， ∴6+m＞0， ∴m＞﹣6， ∵6+m≠3， ∴m≠﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏增根的情况是解题的关键． 9．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，为“十字分式方程”，其可转化为，则x1＝1，x2＝3．若k＞2时，关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2，且x1＜x2，则的值为（　　） A． B． C．﹣2 D．2 【分析】类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解． 【解答】解：原方程变为x+1（k+1）+（k﹣1）， ∴x1+1＝k﹣1，x2+1＝k+1， ∴x1＝k﹣2，x2＝k， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的解，理解“十字分式方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（　　） A．4 B．2 C．3 D．2 【分析】过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F．依据轴对称的性质即可得到∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，再根据四边形ADEF是平行四边形，即可得出AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2．当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，利用勾股定理求得A'C的长即可． 【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F， ∴∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E， ∴AE+CE＝A'E+CE， 由题可得，△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∴∠A'FC＝45°×2＝90°， ∵AF∥DE，EF∥AD， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2， 当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，如图所示． 此时，Rt△A'FC中，A'C， ∴AE+CE的最小值为， 故选：B． 【点评】此题主要考查了最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 二．填空题（共8小题） 11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥5　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣5≥0， 解得：x≥5， 故答案为：x≥5． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12．关于x的分式方程无解，则m的值 　﹣2　 【分析】整理分式方程，再令x＝3，代入求值，即可求出m的值． 【解答】解：将方程化简为， m+2＝x﹣3，可得m＝x﹣5，当x＝3时，m＝x﹣5＝3﹣5＝﹣2， ∴当m＝﹣2时，方程无解． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了分式方程的解，综合性较强，难度适中． 13．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．若（10，m）＝p，（10，n）＝q，p＝3﹣q，则mn＝　1000　． 【分析】根据新定义的运算，结合幂的乘方的法则可表示出m与n，再代入所求式子运算即可． 【解答】解：∵（10，m）＝p，（10，n）＝q， ∴10p＝m，10q＝n， ∵p＝3﹣q， ∴p+q＝3， ∴mn ＝10p•10q ＝10p+q ＝103 ＝1000． 故答案为：1000． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为 　　． 【分析】如图，过点D作DT⊥AB于点T．证明DT＝DC，利用面积法求解． 【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于点T． ∵AD平分∠CAB，DT⊥AB，DC⊥AC， ∴DT＝DC， 在Rt△ACB中，AB5， ∵S△ABC•AC•BC•AB•DT•AC•DC， ∴DC． 故答案为：． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，学会利用面积法解决问题． 15．如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝　　． 【分析】根据ASA证明△ABE与△DFE全等，进而利用全等三角形的性质及勾股定理解答即可． 【解答】解：延长BE交CD于点F， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DFE， 在△ABE与△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（ASA）， ∴BE＝EFBF，AB＝DF＝1， ∴CF＝2， ∴BF2， ∴BEBF， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，△AEF的周长为10，BC＝7，△OBC的面积是7，则△ABC的面积是 　17　． 【分析】过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，OD⊥AC于D，连接OA， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∵BC＝7，△OBC的面积是7， ∴ON＝2， ∴ON＝OD＝OM＝2， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF， ∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC， ∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF， ∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝10， ∵AB+BC+AC＝10+7＝17， ∴△ABC的面积＝S△AOB+S△BOC+S△AOC2×17＝17． 故答案为：17． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．已知m＝a2+ab，n＝5ab﹣4b2，a，b为实数且ab≠0，若m≤n，则的值为 　　． 【分析】根据m＝a2+ab，n＝5ab﹣4b2，计算m﹣n得出a和b之间的关系，即可得出的值． 【解答】解：∵m＝a2+ab，n＝5ab﹣4b2， ∴m﹣n＝a2+ab﹣5ab+4b2 ＝a2﹣4ab+4b2 ＝（a﹣2b）2≥0， ∵m≤n， ∴a﹣2b＝0， 即a＝2b， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查因式分解的应用，根据m﹣n的计算得出a和b之间的关系是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C的坐标分别为（﹣3，n﹣2），（0，n）（n为任意实数），∠ACB＝90°，AC＝BC，则OB长的最小值为 　2　． 【分析】作AE⊥y轴于点E，BF⊥y轴于点F，则E（0，n﹣2），先推导出∠EAC＝∠FCB＝90°﹣∠OCA，再证明△EAC≌△FCB，则EC＝FB＝n﹣（n﹣2）＝2，作直线BG⊥x轴于点G，则G（2，0），可知点B在直线x＝2上运动，由OB≥OG，得OB≥2，则OB长的最小值为2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AE⊥y轴于点E，BF⊥y轴于点F，则∠AEC＝∠CFB＝90°， ∵A（﹣3，n﹣2），C（0，n）， ∴E（0，n﹣2）， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EAC＝∠FCB＝90°﹣∠OCA， 在△EAC和△FCB中， ， ∴△EAC≌△FCB（AAS）， ∴EC＝FB＝n﹣（n﹣2）＝2， ∴点B的横坐标为2， 作直线BG⊥x轴于点G，则G（2，0）， ∴点B在直线x＝2上运动， ∵OB≥OG， ∴OB≥2， ∴OB长的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查图形与坐标、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 19．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先利用绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后把化简后进行有理数的加减运算； （2）先进行二次根式的乘法和除法运算，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝2023+1﹣6+4 ＝2022； （2）原式＝3﹣22 ＝3﹣22+2 ＝3﹣3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键． 20．先化简，再求值： （1）（2x﹣3y）（2x+3y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝3，y＝1； （2），其中a2﹣a﹣3＝0． 【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式将式子化简，再代入x＝3，y＝1，求出值即可； （2）先通分和利用完全平方公式将式子化简，再由a2﹣a﹣3＝0得出a2＝a+3，整体代入进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）（2x﹣3y）（2x+3y）﹣（2x﹣y）2 ＝4x2﹣9y2﹣（4x2﹣4xy+y2） ＝4x2﹣9y2﹣4x2+4xy﹣y2 ＝4xy﹣10y2， 将x＝3，y＝1代入得， 原式＝4×3×1﹣10×12 ＝12﹣10 ＝2； （2） ， ∵a2﹣a﹣3＝0， ∴a2＝a+3， ∴原式＝1． 【点评】本题考查了整式的化简求值以及分式的化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式将式子进行化简是关键． 21．已知整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1． （1）若A+B＝（x﹣2）2，求a的值； （2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求a的值． 【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答． 【解答】解：（1）∵A＝x（x+3）+5 ＝x2+3x+5， ∴A+B ＝x2+3x+5+ax﹣1 ＝x2+（3+a）x+4， ∵A+B＝（x﹣2）2， ∴x2+（3+a）x+4 ＝x2﹣4x+4， ∴3+a＝﹣4， ∴a＝﹣7； （2）∵A＝x2+3x+5，B＝ax﹣1， ∴A﹣B ＝x2+3x+5﹣（ax﹣1） ＝x2+（3﹣a）x+6， ∵A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3）， ∴x2+（3﹣a）x+6 ＝（x﹣2）（x﹣3） ＝x2﹣5x+6， ∴3﹣a＝﹣5， ∴a＝8． 【点评】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，3）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1的坐标； （2）请在x轴上找出一点P，连接PA，PB，使得PA＝PB，并写出P的坐标． 【分析】（1）利用关于y轴的对称的点的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点连线，即可； （2）设点P的坐标为（x，0），根据勾股定理中已知两点坐标求两点的距离，列式计算即可． 【解答】解：（1）根据题意画出图如图所示： 点B1的坐标为（﹣3，2）； （2）∵A（0，1），B（3，2），点P在x轴上， ∴设点P的坐标为（x，0）， ∵PA＝PB， ∴， 解得：x＝2， ∴点P的坐标为（2，0）． 【点评】本题考查了作图—轴对称变换，勾股定理的应用—已知两点坐标求两点间的距离，作轴对称图形掌握其基本做法：先确定图形的关键点，利用轴对称性质作出关键点的对称点，按原图形中的方式顺次连接对称点，是解题的关键． 23．如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数． 【分析】（1）直接根据ASA可证明△ABE≌△CAD； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出∠BAC＝40°，从而得到∠BAD＝65°，再根据平行线的性质即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵CD∥AB， ∴∠BAE＝∠ACD， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（ASA）； （2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠ACB＝∠ABC＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵∠ABE＝25°， ∴∠CAD＝∠ABE＝25°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+25°＝65°， ∵CD∥AB， ∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣65°＝115°． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点是解题的关键． 24．列分式方程解应用题：2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 【分析】设B种机器人每小时搬运x kg原料，则A种机器人每小时搬运（x+30）kg原料，由题意：A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设B种机器人每小时搬运x kg原料，则A种机器人每小时搬运（x+30）kg原料， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60为原方程的解，且符合题意， 则x+30＝90， 答：A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点，连接AD，BD． （1）作△ADE（点A，D，E按逆时针排列），使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． ①如图1，若点D为△ABC内一点，连接CE．请找出图中的一对全等三角形，并给出证明； ②如图2，若∠BAC＝90°，点D为线段BC上一点，判断BD，DC，AD之间的数量关系并证明； （2） 若∠BAC＝90°，∠ADB＝90°，AD＝2，BD＝4，求CD的长． 【分析】（1）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE； ②由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABC＝∠ACE＝45°，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，由勾股定理可求AB的长，由面积法可求DH的长，由勾股定理可求CD的长． 【解答】解：（1）①△ABD≌△ACE，理由如下： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； ②2AD2＝DC2+BD2；理由如下： 如图2，连接CE， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°＝∠ACB，DEAD， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABC＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∴DE2＝DC2+CE2， ∴2AD2＝DC2+BD2； （2）解：当点D在AB下方时，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N， ∵∠ADB＝90°，AD＝2，BD＝4， ∴AB2AC， ∵S△ABDAB•HDAD•BD， ∴2×4＝2DH， ∴DH， ∴AH， ∵DH⊥AB，DN⊥AC，∠BAC＝90°， ∴四边形ANDH是矩形， ∴AH＝DN，AN＝HD， ∴CN， ∴CD2， 当点D在AB的上方时，同理可求：CD'＝2， 综上所述：CD的长为2或2． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．如图，△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，连接BE． （1）如图1，在边AB上取点D，使AD＝CE，连接CD，交BE于点P．求证：△ACD≌△CBE； （2）如图2，在（1）的条件下，若点E为AC中点，求的值； （3）如图3，∠EBC＝40°，M是△EBC内一点，且∠MBC＝30°，∠MCB＝20°，连接ME，求∠MEC的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠CAD＝∠BCE＝60°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到CD＝BE，AD＝CE，得到AD＝AE＝CE＝BD，根据全等三角形的性质得到PB＝PC，PD＝PE，于是得到结论； （3）延长BM交AC于H，推出BH垂直平分AC，连接AM并延长交BC于G，得到AM＝CM，根据全等三角形的性质得到∠BAG＝∠BCM＝20°，AE＝BG，得到CE＝CG，推出CM＝CE，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠CAD＝∠BCE＝60°， 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE； （2）解：∵点E为AC中点， ∴AE＝CE， 由（1）知，△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE＝CE＝BD， ∴BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠CBE＝∠ABE60°＝30°，∠BDP＝∠CEP＝90°， ∴△BPD≌△CPE（ASA）， ∴PB＝PC，PD＝PE， ∵∠PBD＝30°，∠BDP＝90°， ∴PB＝PC＝2PD， ∴CD＝3PD， ∴； （3）解：延长BM交AC于H， ∵∠ABC＝60°，∠CBM＝30°， ∴∠ABH＝∠CBH＝30°， ∴BH垂直平分AC， 连接AM并延长交BC于G， ∴AM＝CM， ∵AB＝BC，BM＝BM， ∴△ABM≌△CBM（SSS）， ∴∠BAG＝∠BCM＝20°， ∵∠ABE＝∠ABC﹣∠EBM﹣∠CBM＝20°， ∵AB＝AB，∠BAE＝∠ABG， ∴△ABE≌△BAG（ASA）， ∴AE＝BG， ∴CE＝CG， ∵∠CGM＝∠ABG+∠ABG＝20°+60°＝80°， ∴∠CMG＝180°﹣80°﹣20°＝80°， ∴∠CMG＝∠CGM， ∴CM＝CG， ∴CM＝CE， ∴∠CME＝∠CEM， ∵∠ACM＝∠ACB﹣∠BCM＝60°﹣20°＝40°， ∴∠CEM． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$