第1章 二次函数全章考点题型综合复习（33个必考点71题）-2024-2025学年浙教版数学九年级上册题型专项训练

二次函数全章考点题型综合复习(33个必考点71题) 题型目录 【类型1 二次函数的辨别】 2 【类型2 根据二次函数的定义求参数】 3 【类型3 二次函数基本图象性质】 6 【类型4 根据图象性质识别和判断函数图象】 7 【类型5 二次函数图象与系数的关系】 8 【类型6 利用二次函数图象的增减性比较大小】 8 【类型7 二次函数图象的几何变换】 9 【类型8 由二次函数的最值求字母的值】 9 【类型9 由二次函数的性质求代数式最值】 9 【类型10 由二次函数的性质求几何最值】 9 【类型11 定轴定区间】 10 【类型12 定轴动区间】 10 【类型13 动轴定区间】 10 【类型14 待定系数法求解析式】 10 【类型15 二次函数与方程不等式】 12 【类型16 面积最值问题】 13 【类型17 路径与边界问题】 14 【类型18 过桥与边界问题】 14 【类型19 利润最值问题】 14 【类型20 点的运动与变速滑行】 15 【类型21 分段函数】 15 【类型22 二次函数与线段问题】 16 【类型23 二次函数与面积问题】 17 【类型24 二次函数与角度问题】 18 【类型25 二次函数与等腰三角形问题】 19 【类型26 二次函数与直角三角形问题】 20 【类型27 二次函数与平行四边形问题】 21 【类型28 二次函数与矩形问题】 22 【类型29 二次函数与菱形问题】 24 【类型30 二次函数与正方形问题】 25 【类型31 二次函数中的定值问题】 26 【考点32 二次函数中的新定义问题】 28 知识点1 二次函数的定义 定义:一般地,形如(a,b,c是常数,)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意:二次函数的二次项系数,而b、c可以为零. 【类型1 二次函数的辨别】 1.观察:①;②;③;④;⑤;⑥.这六个式子中,二次函数有 .(只填序号) 2.在函数①,②,③,④中,y关于x的二次函数是 .(填写序号) 3.下列函数①;②;③;④;⑤.其中是二次函数的是 . 【类型2 根据二次函数的定义求参数】 1.若函数是关于的二次函数,则的值为 . 2.若函数是二次函数,则的值是 . 3.若是关于x的二次函数,则m的值为 . 知识点2 二次函数的图象和性质 1.二次函数)的性质: (1)函数的图象与a的符号关系. ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点; ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点; ③决定抛物线的开口大小:越大,抛物线开口越小;越小,抛物线开口越大. (2)抛物线的顶点是坐标原点(0, 0),对称轴是(y轴). a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, 0) y轴 时,y随x的增大而增大;时,y随x的增大而减小;时,y有最小值0. 向下 (0, 0) y轴 时,y随x的增大而减小;时,y随x的增大而增大;时,y有最大值0. 2.二次函数)的性质: a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, c) y轴 时,y随x的增大而增大;时,y随x的增大而减小;时,y有最小值c. 向下 (0, c) y轴 时,y随x的增大而减小;时,y随x的增大而增大;时,y有最大值c. 3.二次函数)的性质: a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (h,k) x=h 时,y随x的增大而增大;时,y随x的增大而减小;时,y有最小值k. 向下 (h,k) x=h 时,y随x的增大而减小;时,y随x的增大而增大;时,y有最大值k. 4.二次函数)的性质: 配方:二次函数 a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 向上 (,) 时,y随x的增大而增大; 时,y随x的增大而减小; 时,y有最小值. 向下 (,) 时,y随x的增大而减小; 时,y随x的增大而增大; 时,y有最大值. 注意:二次函数与坐标轴的交点: (1)与y轴的交点:; (2)与x轴的交点:使方程成立的x值. 知识点3 二次函数的解析式 1.一般式: 已知图象上三点、、,可用一般式求解二次函数解析式. 2.顶点式: 已知抛物线的顶点或对称轴,可用顶点式求解二次函数解析式. 3.交点式: 已知抛物线与轴的两个交点坐标,可用交点式求解二次函数解析式. 4.对称式: 已知抛物线经过点、时,可以用对称式来求二次函数的解析式. 注意:(1)二次函数的解析式求解,最后结果一般写成一般式或顶点式,不写成交点式; (2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点4 二次函数的图象判断 1.二次函数图象与系数的关系 (1)a决定抛物线的开口方向 当时,抛物线开口向上;当时,抛物线开口向下.反之亦然. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置:“左同右异” 当时,抛物线的对称轴为y轴;当a、b同号时,对称轴在y轴的左侧;当a、b异号时,对称轴在y轴的右侧. (3)的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当时,抛物线与y轴的交点为原点;当时,交点在y轴的正半轴;当时,交点在y轴的负半轴. 2.二次函数的图象信息 (1)根据抛物线的开口方向判断a的正负性. (2)根据抛物线的对称轴判断b的正负性. (3)根据抛物线与y轴的交点,判断c的正负性. (4)根据抛物线与x轴有无交点,判断的正负性. (5)根据抛物线的对称轴可得与的大小关系,可得的正负性. (6)根据抛物线所经过的已知坐标的点,可得到关于a,b,c的等式. (7)根据抛物线的顶点,判断的大小. 知识点5 二次函数的几何变换 1.二次函数图象的平移 平移规律:在原有函数的基础上“左加右减”,“上加下减”. 2.二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达. (1)关于x轴对称 关于x轴对称后,得到的解析式是. 关于x轴对称后,得到的解析式是. (2)关于轴对称 关于y轴对称后,得到的解析式是. 关于y轴对称后,得到的解析式是. (3)关于原点对称 关于原点对称后,得到的解析式是. 关于原点对称后,得到的解析式是. (4)关于顶点对称 关于顶点对称后,得到的解析式是. 关于顶点对称后,得到的解析式是 (5)关于点对称 关于点对称后,得到的解析式是 3.二次函数图象的翻折 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到. 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变,在x轴下方的部分翻折到x轴上方. 【类型3 二次函数基本图象性质】 1.已知抛物线 (1)开口向_ (2)顶点坐标是_ (3)对称轴是_ (4)当_时,的最小值是_ (5)当时,随的增大而_ (6)若时,的取值范围为_ 2.操作与探究: (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象; (2)仔细观察图象,结合所学知识解答下列问题: ①当函数值时,自变量x的取值范围是_; ②当时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是_; ③当时,函数值,直接写出n的取值范围_. 3.已知函数. (1)该函数图象的开口方向是 ; (2)抛物线与y轴的交点坐标是 ; (3)当时,则函数y的最小值是 ; (4)当时,则自变量x的取值范围是 . 【类型4 根据图象性质识别和判断函数图象】 1.(2024春•九龙坡区校级期末)函数y=mx2+nx(m≠0)与y=mx+n的图象可能是( ) A.B. C. D. 2.(2024•胶州市校级二模)一次函数y=bx﹣a和二次函数y=ax2+x+b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A.B. C.D. 【类型5 二次函数图象与系数的关系】 1.(2023秋•禹城市期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,则以下五个结论①abc>0,②2a+b=0,③b2>4ac,④4a+2b+c>0,⑤3a+c<0中,正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2024春•天府新区校级月考)对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)如图所示,小明同学得出了以下结论: ①abc<0,②a2>4ac,③4a+2b+c>0,④当x<﹣1时,y随x的增大而增大,⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数).其中结论正确的个数为( ) A.3 B.2 C.5 D.6 【类型6 利用二次函数图象的增减性比较大小】 1.(2023秋•义乌市期末)已知二次函数y=﹣mx2+2mx+4(m>0)经过点A(﹣2,y1),点B(1,y2),点C(3,y3),那么y1,y2,y3的大小关系为( ) A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y3<y1 D.y3<y1<y2 2.(2024春•鼓楼区校级期末)已知二次函数y=(x﹣1)2+2的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当﹣1<x1<0,1<x2<2,x3>3时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.不能确定 【类型7 二次函数图象的几何变换】 1.(2024春•北碚区校级月考)将抛物线C1:y=3x2+ax+b向左平移1个单位,向上平移1个单位后得到新抛物线C2:y=3x2+3x﹣17,则a﹣b的值为( ) A.12 B.15 C.18 D.21 2.(2024•阎良区三模)将二次函数y=x2﹣6x+m2+6(m为常数)的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点(1,5),则m的值为( ) A.0 B.1或﹣1 C.2或﹣2 D.3或﹣3 【类型8 由二次函数的最值求字母的值】 1.(2023秋•榆林期末)二次函数y=﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5,则c的值( ) A.3或﹣1 B.﹣1 C.﹣3或1 D.3 2.(2024春•鄞州区校级期末)若当﹣4≤x≤2时,二次函数的最小值为0,则m=( ) A. B. C. D.或 【类型9 由二次函数的性质求代数式最值】 1.(2023•江都区一模)已知y2﹣2x+4=0,则x2+y2+2x的最小值是( ) A.8 B.﹣8 C.﹣9 D.9 2.(2023秋•如皋市校级月考)已知实数a、b满足a﹣b2=2,则代数式a2﹣3b2+a﹣9的最小值是( ) A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣9 【类型10 由二次函数的性质求几何最值】 1.(2024•雁塔区校级四模)在平面直角坐标系xOy中,M是抛物线y=x2+x﹣2在第三象限上的一点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为P,Q,则四边形OPMQ的周长的最大值为( ) A.1 B.2 C.4 D.6 2.(2023秋•贵池区期末)正方形ABCD中,AB=4,P为对角线BD上一动点,F为射线AD上一点,若AP=PF,则 APF的面积最大值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 【类型11 定轴定区间】 1.(2023秋•内黄县校级月考)已知二次函数y=x2﹣2x﹣3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0,﹣4 B.0,﹣3 C.﹣3,﹣4 D.1,﹣4 2.(2023秋•扶绥县校级月考)已知,那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是( ) A.﹣6 B.﹣2.5 C.2 D.无最大值 【类型12 定轴动区间】 1.(2024春•九龙坡区校级期末)当a﹣2≤x≤a时,二次函数y=x2﹣4x+3的最小值为15,则a的值为( ) A.﹣2或8 B.8 C.6 D.﹣2或6 2.(2023秋•龙马潭区期末)已知抛物线y=﹣x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时,与其对应的函数值y的最小值为﹣7,求此时t的值为( ) A.1或﹣2 B.2或﹣2 C.3或﹣1 D.﹣1或﹣2 【类型13 动轴定区间】 1.(2023•旌阳区二模)函数y=x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6,则实数a的值是 . 2.(2024•阳新县一模)已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a,当x,y有最大值为﹣3,则a的值为 . 【类型14 待定系数法求解析式】 1.根据下列条件,求二次函数的解析式 (1)图象经过点(﹣1,3),(1,3),(2,6); (2)抛物线顶点坐标为(﹣1,9),并且与y轴交于(0,﹣8); (3)抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为(﹣2,0),与y轴交于点(0,12); (4)图象顶点坐标是(2,﹣5),且过原点; (5)图象与x轴的交点坐标是(﹣1,0),(﹣3,0)且函数有最小值﹣5; (6)当x=2时,函数的最大值是1,且图象与x轴两个交点之间的距离为2. 2.已知二次函数y=ax2﹣(b﹣1)x﹣3a的图象经过点(4,10),交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点.(x1<x2),且3OA=OB,求二次函数的解析式. 3.已知二次函数的图象经过点. (1)求二次函数的表达式; (2)确定二次函数的对称轴和顶点坐标. 4.把二次函数变形为的形式,则k的值为 . 5.二次函数,若恒成立,则的取值范围是 . 6.把二次函数化成的形式是 . 【类型15 二次函数图象变化】 1.(2024•平房区三模)已知二次函数y=x2向左平移h个单位,再向下平移k个单位,得到二次函数y=(x+2)2﹣3;则h和k的值分别为( ) A.﹣2,3 B.﹣2,﹣3 C.2,﹣3 D.2,3 2.(2024春•登封市校级月考)将抛物线y=﹣3x2平移,得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2,下列平移方式中,正确的是( ) A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位 B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位 C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位 D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位 3.(2024•榆次区一模)抛物线y=x2﹣2x经过平移后的表达式为y=(x﹣2)2+3,则平移的方式可以是( ) A.先沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向上平移4个单位长度 B.先沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度 C.先沿x轴向左平移1个单位长度,再沿y轴向上平移4个单位长度 D.先沿x轴向左平移1个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度 4.(2024•西安校级模拟)在平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(n﹣2m)x+m﹣n与抛物线y=x2+(4m﹣6)x+2m﹣3关于y轴对称,则符合条件的m,n的值为( ) A.m,n B.m,n C.m=0,n=3 D.m=3,n=0 5.(2024秋•金东区期末)将抛物线y=x2﹣4x+3绕原点O顺时针旋转180 ,则旋转后的函数表达式为( ) A.y=x2+4x﹣3 B.y=﹣x2+4x+3 C.y=﹣x2﹣4x﹣3 D.y=﹣x2+4x﹣3 知识点6 二次函数与一元二次方程 (1)一般地,从二次函数y=a+bx+c(a≠0)的图象可知:如果抛物线y=a+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当x=,时,函数的值是0,因此x=是方程a+bx+c=0(a≠0)的一个根. (2)一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=a+bx+c(a≠0)二者之间的联系与区别,列表如下: 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 >0 抛物线与x轴交于,两点,且, 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 =0 抛物线与x轴交切于这一点,此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 <0 抛物线与x轴无交点,此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 【类型16 二次函数与方程不等式】 1.(2023秋•剑阁县期末)如图,以(1,﹣4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点,则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是( ) A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 2.(2023•曲江区校级三模)函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是( ) A.x<﹣4或x>2 B.﹣4<x<2 C.x<0或x>2 D.0<x<2 3.(2023秋•临沭县期末)如图,点A(2.18,﹣0.51),B(2.68,0.54),在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似值可能是( ) A.2.18 B.2.68 C.﹣0.51 D.2.45 4.已知二次函数y=﹣x2+(m﹣2)x+m+1. (1)试说明:不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点. (2)当m为何值时,这两个交点都在原点的左侧? (3)当m为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是y轴? 【类型17 面积最值问题】 1.(2024•洪山区模拟)根据以下素材,完成探索任务. 问题提出根据以下提供的素材,在总费用(新墙的建筑费用与门的价格之和)不高于5900元的情况下,如何设计最大饲养室面积的方案? 素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室,饲养室的一面靠现有16m长的墙,中间用一道墙隔开,计划中建筑材料可建围墙的总长为22m,开两个门,且门宽均为1m. 素材二 每个门的价格为250元. 素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米,与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米. 问题解决 任务1 设AB=x m,矩形ABCD的面积为S,求S关于x的函数表达式. 任务2 探究自变量x的取值范围. 任务3 确定设计方案.当AB= m,BC= m时,S的最大值为 m2.(直接填写结果) 【类型18 路径与边界问题】 1.(2024秋•交口县期末)某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直),(如图)如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流下落点B离墙距离OB是( ) A.3米 B.2米 C.5米 D.4米 【类型19 过桥与边界问题】 1.(2023秋•高邑县期末)一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m时,拱顶距离水面是2m.当水面下降1m后,水面宽度是 m.(结果保留根号) 【类型20 利润最值问题】 1.(2023秋•龙安区期中)某公司经过市场调查,整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表: 第x天 售价(元/件) 日销售量(件) 1≤x≤30 x+60 300﹣10x 已知该商品的进价为40元/件,设销售该商品的日销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,日销售利润最大?最大日销售利润为多少元? (3)问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元,请直接写出结果. 【类型21 点的运动与变速滑行】 1.(2024•沂南县二模)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(米)与小球的运动时间t(秒)之间 的关系式是h=30t﹣5t2(0≤t≤6),若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛 出 秒时,两个小球在空中的高度相同. 【类型22 分段函数】 1.(2023秋•硚口区期末)有一款自动热水壶,其工作方式是:常规模式下,热水壶自动加热到100 时,自动停止加热,随后转入冷却阶段,当水温降至60 时,热水壶又自动加热,…,重复上述过程;若在冷却过程中,按下“再沸腾”键,则马上开始加热,加热到100 后,又重复上述程序,如图是常规模式下,冷却、加热过程中水温y( )与时间x(min)之间的函数图象,其中AB段是抛物线的一部分(B是该抛物线的顶点),表示冷却过程;线段BC表示加热过程. (1)直接写出抛物线AB段,线段BC分别对应的函数解析式; (2)从100 开始冷却,其间按下“再沸腾”键,马上加热到100 , ①若按下“再沸腾”键时,水温是82.5 ,求该冷却、加热过程一共所用时间; ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min,直接写出按下“再沸腾”键时的水温. 【类型23 二次函数与线段问题】 1.已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点,点C是线段AB上一动点,点D是抛物线上一动点,且CD平行于y轴,在移动过程中CD最大值为 . 2.抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(A在B的左边),C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P. (1)求A,B两点的坐标; (2)如图,当OP=OA时,在抛物线上存在点D(异于点B),使B,D两点到AC的距离相等,求出所有满足条件的点D的横坐标. 【类型24 二次函数与面积问题】 1.如图,抛物线y=﹣2x2+bx+c与直线l交于点A(﹣1,0)、B(2,6)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点P在抛物线上,且在直线l上方,若 PAB的面积为,求点P的坐标. 2.如图,抛物线与x轴相交于B,C两点(点B在点C的左边),与y轴相交于点A,直线AC的函数解析式为. (1)求点A,C的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标. 【类型25 二次函数与角度问题】 1.如图,抛物线yx2与x轴交于A,B两点,顶点为C,点P(1,﹣3)在抛物线上,D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标. 2.如图,抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,在第四象限的抛物线上求点P,使∠PCB=∠CAB,求出点P的坐标. 【类型26 二次函数与等腰三角形问题】 1.综合与探究 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC,直线l与抛物线交于B,D两点,与y轴交于点E,点D的横坐标为. (1)求抛物线的函数解析式; (2)求 BCD的面积; (3)若抛物线的对称轴与直线l的交点为N,则在抛物线的对称轴上是否存在点M,使 BMN是以MN为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点M的坐标;如果不存在,请说明理由. 2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣4x+c(a≠0)与x轴分别交于点A(1,0)、点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC,点P在线段BC上,设点P的横坐标为m. (1)求直线BC的解析式; (2)如果以P为顶点的新抛物线经过原点,且与x轴的另一个交点为D,若 PAB是以PA为腰的等腰三角形,求新抛物线的解析式. 【类型27 二次函数与直角三角形问题】 1.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3经过A(﹣1,0),与y轴交于点C,过点C作BC∥x轴,交抛物线于点B,连接AC、AB,AB交y轴于点D,且BC=2OA. (1)求该抛物线的解析式; (2)若点Q是抛物线上一点,其横坐标是m,当点Q到直线CB的距离是7时,求m的值; (3)点P为抛物线对称轴上一点,连接PA、PC,若 PAC是以AC为直角边的直角三角形,求点P的坐标. 2.在平面直角坐标系中,把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图,抛物线L1:交x轴于点A,B(点A在点B左侧),交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”,其顶点为P. (1)若抛物线L2经过点(1,﹣5),求抛物线L2对应的函数关系式; (2)当 BPC的周长最小时,求抛物线L2对应的函数关系式; (3)是否存在以点A,C,P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出抛物线L2对应的函数关系式;若不存在,请说明理由. 【类型28 二次函数与平行四边形问题】 1.如图,抛物线y=ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点,直线y=﹣x+4过点B和点C. (1)求抛物线的解析式; (2)E是直线BC上方抛物线上一动点,连接BE、CE,求 BCE面积的最大值及此时点E的坐标; (3)Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点P坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,抛物线y=x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线顶点,已知A(﹣1,0),连接BC,抛物线对称轴与BC交于点E. (1)求b的值及顶点D的坐标; (2)点P是抛物线上的动点,点Q是直线BC上的动点,是否存在以DE为边,且以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【类型29 二次函数与矩形问题】 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),直线l经过B,C两点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F,求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标; (3)点P是在直线l上方的抛物线上一动点,点M是坐标平面内一动点,是否存在动点P,M,使得以C,B,P,M为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点,点Q的横坐标比点P的横坐标大1,过点P作PM∥y轴交BC于点M,过点Q作QN∥y轴交BC于点N,求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标; (3)如图3,将抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′,在y′的对称轴上有一点D,坐标平面内有一点E,使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的点E的坐标. 【类型30 二次函数与菱形问题】 1.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,与y轴负半轴交于点C,A(﹣4,0),B(1,0),C(0,﹣2). (1)求抛物线的解析式; (2)点D是线段OA上一点(不与点A、O重合),过点D作x轴的垂线,交抛物线于点E,交AC于点F,当时,求点E的坐标; (3)在(2)的条件下,点M是抛物线对称轴l上一点,点N是坐标平面内一点,是否存在点M、N,使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(4,0),B(﹣2,0)两点,与y轴交于点C(0,4). (1)求抛物线的函数解析式; (2)P是抛物线上位于直线AC上方一动点,且在抛物线的对称轴右侧,过点P作y轴的平行线交直线AC于点E,过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F,求PE+PF的最大值及此时点P的坐标; (3)在(2)中PE+PF取得最大值的条件下,将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度,平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H,M为平移前抛物线对称轴上一点.在平面直角坐标系中确定一点N,使得以点H,P,M,N为顶点的四边形是菱形,求出所有符合条件的点N的坐标. 【类型31 二次函数与正方形问题】 1.如图,直线y=﹣x+4与x轴相交于点B,与y轴相交于C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过两点B,C,与x轴另一交点为A. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,点E以每秒1个单位长度的速度在线段OB上由点O向点B运动(点E不与点O和点B重合),设运动时间为t秒,过点E作EF⊥x轴交CD于点F,作EH⊥BC于点H,交y轴右侧的抛物线于点G,连接FG,当S EFG=4时,求t的值; (3)如图2,正方形MNPQ,边MQ在x轴上,点Q与点B重合,边长MN为1个单位长度,将正方形MNPQ沿射线BC方向,以每秒个单位长度的速度平移,时间为t秒,在平移过程中,请写出正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围. 【类型32 二次函数中的定值问题】 1.如图1,抛物线与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C,连接AC,点D为AC上方抛物线上的一个动点,连接AD,DC. (1)求抛物线C1的解析式; (2)求 ADC面积的最大值; (3)如图2,将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2,抛物线C2的顶点为F,对称轴与x轴交于点G,过点H(1,2)的直线与抛物线交于J,I两点,直线FJ,FI分别交x轴于点M,N.试探究GM•GN是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 2.如图1,抛物线y=x2+bx+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M是抛物线上的动点,当A、C两点到直线BM的距离相等时,求直线BM的解析式; (3)已知点D、F在抛物线上,点D的横坐标为m(﹣3<m<﹣1),点F的横坐标为m+1.过点D作x轴的垂线交直线AC于点M,过点F作x轴的垂线交直线AC于点N. ①如图2,连接DF,求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标; ②如图3连接AD和FC,试探究 ADM与 CFN的面积之和是否为定值吗?若是,请求出来;若不是,请说明理由. 【考点33 二次函数中的新定义问题】 1.(2024•南通一模)定义:若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点,则称该点为这个函数图象的“平衡点”.例如,点(﹣1,1)是函数y=x+2的图象的“平衡点”. (1)在函数①y=﹣x+3,②y,③y=﹣x2+2x+1,④y=x2+x+7的图象上,存在“平衡点”的函数是 ;(填序号) (2)设函数y(x>0)与y=2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B,过点A作AC⊥y轴,垂足为C.当 ABC为等腰三角形时,求b的值; (3)若将函数y=x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180 ,M在(0,﹣1)下方,旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时,求M的坐标. 2.(2024•长沙模拟)定义:对于已知的两个函数,任取自变量x的一个值,当x≥0时,它们对应的函数值相等;当x<0时,它们对应的函数值互为相反数,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:正比例函数y=x,它的相关函数为y. (1)已知点A(﹣5,10)在一次函数y=ax﹣5的相关函数的图象上,求a的值; (2)已知二次函数y=﹣x2+4x. ①当点B(m,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值; ②当﹣3≤x≤3时,求函数y=﹣x2+4x的相关函数的最大值和最小值. (3)在平面直角坐标系中,点M、N的坐标分别为(,1)、(,1),连接MN.直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围. 个 第 1 页 共 20 页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 二次函数全章考点题型综合复习（33个必考点71题） 知识点1 二次函数的定义 定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零． 【类型1 二次函数的辨别】 1．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 2．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 3．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤ 函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键． 【类型2 根据二次函数的定义求参数】 1．若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，列出关于m的方程和不等式是解题的关键． 根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，列出关于m的方程和不等式，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 2．若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法．首先根据二次函数的定义可得：、，首先解方程可以得到或，再根据，可得． 【详解】解：函数是二次函数， ， 解一元二次方程， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 又， ， ． 故答案为： ． 3．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数，利用二次函数的概念是解题关键，注意二次项的系数不等于零．根据是不为0的常数）是二次函数，可得答案． 【详解】 解：由题意，得 ，且， 解得， 故答案为：3． 知识点2 二次函数的图象和性质 1．二次函数)的性质： （1）函数的图象与a的符号关系． ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点； ③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大． （2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴）． a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0． 向下 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0． 2．二次函数)的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, c) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c． 向下 (0, c) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c． 3．二次函数)的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 （h，k） x=h 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k． 向下 （h，k） x=h 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k． 4．二次函数)的性质： 配方：二次函数 a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 向上 （，） 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小； 时，y有最小值． 向下 （，） 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大； 时，y有最大值． 注意：二次函数与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点：； （2）与x轴的交点：使方程成立的x值． 知识点3 二次函数的解析式 1．一般式： 已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式． 2．顶点式： 已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式． 3．交点式： 已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． 4．对称式： 已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意：（1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 知识点4 二次函数的图象判断 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧． （3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴． 2．二次函数的图象信息 （1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性． （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性． （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式． （7）根据抛物线的顶点，判断的大小． 知识点5 二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”． 2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x轴对称 关于x轴对称后，得到的解析式是． 关于x轴对称后，得到的解析式是． （2）关于轴对称 关于y轴对称后，得到的解析式是． 关于y轴对称后，得到的解析式是． （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是． 关于原点对称后，得到的解析式是． （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是． 关于顶点对称后，得到的解析式是 （5）关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 3．二次函数图象的翻折 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到． 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方． 【类型3 二次函数基本图象性质】 1．已知抛物线 (1)开口向______ (2)顶点坐标是______ (3)对称轴是______ (4)当______时，的最小值是______ (5)当时，随的增大而______ (6)若时，的取值范围为______ 【答案】(1)上；(2)；(3)直线；(4)1，2；(5)减小；(6) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 抛物线，的正负确定开口方向，对称轴是直线，顶点坐标是，结合二次函数的最值与增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上； （2）解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：； （3）解：抛物线的对称轴是：直线， 故答案为：直线； （4）解：∵抛物线开口向上， ∴顶点是最低点， 当时，的最小值是2； （5）解：当时，随的增大而减小， 故答案为：减小； （6）解：当时，， 当时，， ∵时，的最小值是2； ∴若时，的取值范围为， 故答案为：． 2．操作与探究： (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是___________； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围___________． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象． （1）按照列表，描点，连线的步骤即可画出函数图象； （2）根据画出的函数图象，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意列出表格如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 画出函数图象如图所示： （2）解：由图可知： ①当函数值时，自变量x的取值范围是； ②当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是； ③当时，函数值，直接写出n的取值范围． 3．已知函数． (1)该函数图象的开口方向是 ； (2)抛物线与y轴的交点坐标是 ； (3)当时，则函数y的最小值是 ； (4)当时，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】(1)向上 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，与坐标轴的交点，二次函数与不等式的关系，，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想． （1）由即可确定开口向上； （2）当，即可求解； （3）可得对称轴为直线：，而，开口向上，故当时，； （4）当时，则，解得：，故与抛物线的两个交点的横坐标分别为，那么转化为在直线上方的抛物线所对应横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴开口向上， 故答案为：向上； （2）解：当时，， ∴与y轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：对于， 可得对称轴为直线：， ∵，开口向上 ∴当时，， 故答案为：； （4）解：当时，则， 解得：， ∴与抛物线的两个交点的横坐标分别为 如图： ∴当，自变量x的取值范围为或． 【类型4 根据图象性质识别和判断函数图象】 1．（2024春•九龙坡区校级期末）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断． 【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（，0），函数y＝mx+n与x轴的交点坐标为（，0）， ∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意； 若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0， ∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上， ∵对称轴x0， ∴在y轴的右侧，故选项B符合题意； 故选：B． 2．（2024•胶州市校级二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【解答】解：A．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a过二，三，四象限，故本选项符合题意； B．∵二次函数图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第一、二、三象限，抛物线的对称轴为，故本选项不符合题意； C．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； D．∵二次函数图象开口向下，与在y轴交点在正半轴， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过一、二，三象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 【类型5 二次函数图象与系数的关系】 1．（2023秋•禹城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象的对称轴、与x轴交点个数、与y轴交点位置进行判断即可． 【解答】解：如图： ∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵图象交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故②对； ∵图象与x轴两个交点， ∴Δb2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对； 根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0）， 故图象与x轴交点在﹣1和3之间，且开口向下， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤对；共四个对， 故选：D． 2．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论： ①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①；根据a＞0，c＜0可判断②；根据对称性求得x＝2时的函数值小于0，判断③；根据二次函数的性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线：x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴a2＞4ac，故②正确； ③∵对称轴为直线x＝1，则x＝0与x＝2的函数值相等， ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故④错误； ⑤当x＝1时，y取到最小值，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c≤am2+bm+c， 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确， 故选：B． 【类型6 二次函数图象上点的坐标特征】 1．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，y3），那么y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】根据函数解析式求出抛物线对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质求判断即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣mx2+2mx+4的对称轴为直线x1， ∵m＞0， ∴抛物线开口向下， ∴x＝1时，y2最大， ∵1﹣（﹣2）＝3＞3﹣1＝2， ∴y3＞y1， ∴y1，y2，y3的大小关y1＜y3＜y2． 故选：B． 2．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．不能确定 【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2， ∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，2）， ∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时， 观察图象可知：y2＜y1＜y3， 故选：B． 【类型7 二次函数图象的几何变换】 1．（2024春•北碚区校级月考）将抛物线C1：y＝3x2+ax+b向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线C2：y＝3x2+3x﹣17，则a﹣b的值为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解答】解：依题意，y＝3x2+ax+b向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到：y＝3（x+1）2+a（x+1）+b+1 ＝3x2+6x+3+ax+a+b+1 ＝3x2+（6+a）x+a+b+4， ∴6+a＝3，a+b+4＝﹣17， 解得：a＝﹣3，b＝﹣18， ∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣18）＝15， 故选：B． 2．（2024•阎良区三模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3 【分析】先求出平移后的解析式，再把（1，5）代入解析式求值即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+m2+6＝（x﹣3）2+m2﹣3， ∴将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到y＝（x﹣3+1）2+m2﹣3﹣2，即y＝（x﹣2）2+m2﹣5， ∵经过点（1，5）， ∴5＝1+m2﹣5， 解得m＝±3， 故选：D． 【类型8 由二次函数的最值求字母的值】 1．（2023秋•榆林期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值时x的值，进而求解． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m2，即可求得m． 【解答】解：∵yx2﹣mx+1（x﹣m）2+（m2+1）， ∴图象f的对称轴为直线x＝m， 当m≤2时，抛物线开口向上， ∴当x＝m时，y有最小值，y最小m2+1＝0， 解得m， 当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y有最小值，y最小（2﹣m）2+（m2+1）＝0， 解得m（不合题意，舍去）， 综上，m． 故选：B． 【类型9 由二次函数的性质求代数式最值】 1．（2023•江都区一模）已知y2﹣2x+4＝0，则x2+y2+2x的最小值是（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9 【分析】由已知得y2＝2x﹣4≥0，代入x2+y2+2x再配方，利用非负数的性质即可求解． 【解答】解：∵y2﹣2x+4＝0， ∴y2＝2x﹣4≥0， ∴2x﹣4≥0， ∴x≥2， ∴x2+y2+2x＝x2+2x﹣4+2x＝x2+4x+4﹣8＝（x+2）2﹣8， ∵（x+2）2≥0，x≥2， ∴x＝2时最小值是8． 故选：A． 2．（2023秋•如皋市校级月考）已知实数a、b满足a﹣b2＝2，则代数式a2﹣3b2+a﹣9的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣9 【分析】由a﹣b2＝2可得a与b2的数量关系，将代数式a2﹣3b2+a﹣9化为只含a的代数式并配方求解． 【解答】解：∵a﹣b2＝2， ∴b2＝a﹣2， ∴a2﹣3b2+a﹣9＝a2﹣3（a﹣2）+a﹣9＝a2﹣2a﹣3＝（a﹣1）2﹣4，， ∵b2＝a﹣2≥0， ∴a≥2， ∴a＝2时，代数式（a﹣1）2﹣4的最小值为﹣3， 故选：B． 【类型10 由二次函数的性质求几何最值】 1．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y＝x2+x﹣2在第三象限上的一点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】设M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2，于是四边形OPMQ的周长L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6，根据二次函数性质求解． 【解答】解：令y＝0，则x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（1，0）， 设M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2， ∴令四边形OPMQ的周长为L，L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6， ∵﹣2＜0， ∴m＝﹣1时，L取最大值，为6． 故选：D． 2．（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4﹣x， ∴AF＝2（4﹣x）， ∵S△APFAF•PM， ∴S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4， 故选：C． 【类型11 定轴定区间】 1．（2023秋•内黄县校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．1，﹣4 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，即可求得y的最大值和最小值． 【解答】解：将y＝x2﹣2x﹣3配方，得y＝（x﹣1）2﹣4， 由二次项系数1＞0可知抛物线开口向上，对称轴为x＝1． 由二次函数图象的性质可得，当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当1≤x≤3时，y随x的增大而增大． 故当x＝1时，存在最小值且最小值为﹣4，当x＝3时，存在最大值且最大值为0． 故选：A． 2．（2023秋•扶绥县校级月考）已知，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　） A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．无最大值 【分析】先求解抛物线的对称轴，再结合a＝﹣2＜0，可得当x＜2时，函数y的值随x的增大而增大，从而可得答案． 【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6， ∴抛物线的对称轴是直线，而a＝﹣2＜0， ∴当x＜2时，函数y的值随x的增大而增大， ∴当，当时，函数值最大， ∴此时，函数y＝﹣2x2+8x﹣6没有最大值． 故选：D． 【类型12 定轴动区间】 1．（2024春•九龙坡区校级期末）当a﹣2≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为15，则a的值为（　　） A．﹣2或8 B．8 C．6 D．﹣2或6 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝15时x的值，结合当a﹣2≤x≤a时函数有最小值15，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当y＝15时，有x2﹣4x+3＝15， 解得：x1＝﹣2，x2＝6． ∵当a﹣2≤x≤a时，函数有最小值15， ∴a﹣2＝6或a＝﹣2， ∴a＝8或a＝﹣2， 故选：A． 2．（2023秋•龙马潭区期末）已知抛物线y＝﹣x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣7，求此时t的值为（　　） A．1或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣1或﹣2 【分析】①当t≤﹣1时，抛物线在x＝t时，取得最小值，即可求解；②当﹣1＜t＜1时，再分﹣1＜t＜0、0≤t＜1两种情况分别求解；③当t≥1时，同理可解． 【解答】解：对于y＝﹣x2+2x+1， 当x＝t时，y＝﹣t2+2t+1， 当x＝t+2时，y＝﹣（t+2）2+2（t+2）+1＝﹣t2﹣2t+1； ①当t≤﹣1时， 抛物线在x＝t时，取得最小值， 即y＝﹣t2+2t+＝﹣7， 解得：t＝4（舍去）或﹣2， 故t＝﹣2； ②当﹣1＜t＜1时， 当﹣1＜t＜0时， 抛物线在x＝t时，取得最小值， 即y＝﹣t2+2t+1＝﹣7， 解得：t＝﹣4（舍去）或2（舍去）， 当0≤t＜1时， 抛物线在x＝t+2时，取得最小值， 即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7， 解得：t＝4或﹣2（舍去）； ③当t≥1时， 抛物线在x＝t+2时，取得最小值， 即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7， 解得：t＝﹣4（舍去）或2， 即t＝2， 综上，t＝2或﹣2． 故选：B． 【类型13 动轴定区间】 1．（2023•旌阳区二模）函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　 　． 【分析】先求出而二次函数的对称轴，再分a≤﹣1，﹣1＜a＜2，a≥2三种情况讨论，根据函数最大值时列方程求出a的值． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为xa， 由题意，分以下三种情况： （1）当a≤﹣1时， 在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大， 则当x＝2时，y取得最大值，最大值为4﹣4a﹣2＝2﹣4a， ∴2﹣4a＝6， 解得：a＝﹣1，符合题设； （2）当﹣1＜a＜2时， 在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小， 当a＜x≤2时，y随x的增大而增大， 则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值， 因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6， 解得：a或a＝﹣1 （均不符题设，舍去）； （3）当a≥2时， 在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小， 则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1， 因此有2a﹣1＝6，解得a，符合题设； 综上，a＝﹣1或a． 故答案为：﹣1或． 2．（2024•阳新县一模）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，当x，y有最大值为﹣3，则a的值为　 　． 【分析】先计算二次函数的对称轴，再分三种情况进行讨论： ①当时，即a≥1，如图1，确定当x，y随x的增大而减小，得当x时，y＝﹣3，代入可得a的值； ②当时，即﹣1＜a＜1，如图2，同理可得a的值； ③当时，即a≤﹣1，如图3，同理可得a的值． 【解答】解：对称轴：x， 分三种情况： ①当时，即a≥1，如图1， 当x，y随x的增大而减小， ∴当x时，y＝﹣3， 代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣1+2a﹣a2+2a， 解得：a1＝2，a2＝2（舍）； ②当时，即﹣1＜a＜1，如图2， 当x时，y＝﹣3， 代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣a2+2a2﹣a2+2a， 解得：a（舍）， ③当时，即a≤﹣1，如图3， 当x，y随x的增大而增大， ∴当x时，y＝﹣3， 代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣1﹣2a﹣a2+2a， 解得：a1，a2（舍）； 故答案为：2或． 【类型14 待定系数法求解析式】 1．根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）； （2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）； （3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）； （4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点； （5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5； （6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2． 【分析】（1）设y＝ax2+bx+c；（2）、（4）设y＝a（x+1）2+9；（3）、（5）、（6）设y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．然后把已知点的坐标代入解方程，求出未知系数，最后确定解析式． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 把（﹣1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得， 3＝a﹣b+c①， 3＝a+b+c②， 6＝4a+2b+c③， 解由①②③组成的方程组得，a＝1，b＝0，c＝2． 所以二次函数的解析式为y＝x2+2． （2）设y＝a（x+1）2+9， 把（0，﹣8）代入解析式得，a＝﹣17， ∴y＝﹣17（x+1）2+9＝﹣17x2﹣34x﹣8， 所以二次函数的解析式为y＝﹣17x2﹣34x﹣8． （3）∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0）， ∴与x轴的另一个交点为（4，0）， 设y＝a（x+2）（x﹣4）， 把（0，12）代入解析式得，a， ∴y（x+2）（x﹣4）x2+3x+12， 所以二次函数的解析式为yx2+3x+12． （4）设y＝a（x﹣2）2﹣5， 把（0，0）代入解析式得，a， ∴y（x﹣2）2﹣5x2﹣5x， 所以二次函数的解析式为yx2﹣5x． （5）设y＝a（x+1）（x+3）， 根据题意可得对称轴为直线x＝﹣2，又函数有最小值﹣5， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣5），代入解析式得，a＝5． ∴y＝5（x+1）（x+3）＝5x2+20x+15， 所以二次函数的解析式为y＝5x2+20x+15． （6）∵当x＝2时，函数的最大值是1，即顶点坐标为（2，1）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，而图象与x轴两个交点之间的距离为2，则交点坐标分别为（1，0），（3，0）， 设y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把（2，1）代入解析式得，a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3． 2．已知二次函数y＝ax2﹣（b﹣1）x﹣3a的图象经过点（4，10），交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点．（x1＜x2），且3OA＝OB，求二次函数的解析式． 【分析】利用根系数的关系求出x1，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答． 【解答】解：∵令y＝0，则ax2﹣（b﹣1）x﹣3a＝0， ∴x1•x23， ∵x1＜x2，30A＝OB， ∴x1＝﹣1， ∴点A（﹣1，0）， ∵函数图象经过点（4，10），（﹣1，0）， ∴， 解得． 所以二次函数的解析式y＝2x2﹣4x﹣6． 3．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)确定二次函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；二次函数的性质； （1）设该二次函数的表达式为 ，将A、B、C的坐标代入，待定系数法求二次函数的解析式； （2）配方法化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为 ， 把代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解： ， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标． 4．把二次函数变形为的形式，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键；将转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：， ∴，， 故答案为：3． 5．二次函数，若恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数化为顶点式，根据恒成立，得到关于m的不等式，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数，且， ∴二次函数的图象开口向上，时，函数有最小值，且最小值为， ， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．把二次函数化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，把化为，再进一步解答即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【类型15 二次函数图象变化】 1．（2024•平房区三模）已知二次函数y＝x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+2）2﹣3；则h和k的值分别为（　　） A．﹣2，3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3 D．2，3 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【解答】解：二次函数y＝x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到的函数解析式为y＝（x+h）2﹣k． 又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3， ∴h＝2，k＝3， 故选：D． 2．（2024春•登封市校级月考）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2． 故选：D． 3．（2024•榆次区一模）抛物线y＝x2﹣2x经过平移后的表达式为y＝（x﹣2）2+3，则平移的方式可以是（　　） A．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1的顶点坐标为（1，﹣1），抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3）， ∴顶点由（1，﹣1）到（2，3）需要先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度． 故选：A． 4．（2024•西安校级模拟）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　） A．m，n B．m，n C．m＝0，n＝3 D．m＝3，n＝0 【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称， ∴， 解得， 故选：D． 5．（2024秋•金东区期末）将抛物线y＝x2﹣4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x+3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x﹣3 【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可． 【解答】解：旋转后的函数表达式为：﹣y＝（﹣x）2+4x+3，化简为y＝﹣x2﹣4x﹣3． 故选：C． 知识点6 二次函数与一元二次方程 （1）一般地,从二次函数y=a+bx+c(a≠0)的图象可知:如果抛物线y=a+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当x=,时,函数的值是0,因此x=是方程a+bx+c=0(a≠0)的一个根. （2）一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=a+bx+c(a≠0)二者之间的联系与区别，列表如下： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【类型16 二次函数与方程不等式】 1．（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 2．（2023•曲江区校级三模）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线： x ＝﹣1． 抛物线与x轴的一个交点坐标为：（2，0）， 由二次函数图象性质可知，x轴的另一个交点与（2，0）关于x＝﹣1对称， 所以另外一个交点的坐标为：（﹣4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0． 故选：A． 3．（2023秋•临沭县期末）如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54， ∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合， 故选：D． 4．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+m+1． （1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点． （2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？ 【分析】（1）先计算方程﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的判别式得到△＝m2+8，根据非负数的性质有Δ＞0，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论； （2）设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2为关于x的方程﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的两不等实数根，且x1＜0，x2＜0，然后利用根与系数的关系得到x1+x2＝m﹣2＜0，x1•x2＝﹣（m+1）＞0，再求出两个不等式的公共部分即可； （3）根据二次函数的性质得到0，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×（m+1） ＝m2+8， ∵m2≥0， ∴m2+8＞0，即Δ＞0， ∴不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点； （2）解：设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），则x1和x2为关于x的方程﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的两不等实数根，且x1＜0，x2＜0， ∴x1+x2＝m﹣2＜0，x1•x2＝﹣（m+1）＞0， ∴m＜﹣1； 即m＜﹣1时，这两个交点都在原点的左侧； （3）根据题意得x0， 解得m＝2， 即m＝2时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴． 【类型17 面积最值问题】 1．（2024•洪山区模拟）根据以下素材，完成探索任务． 问题提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于5900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m． 素材二 每个门的价格为250元． 素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题解决 任务1 设AB＝x m，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案．当AB＝　　m，BC＝　　m时，S的最大值为 　　m2．（直接填写结果） 【分析】任务一：先根据题中条件写BC的长，即可求出S关于x的函数表达式； 任务二：先根据1＜BC≤16，解出2≤x＜7，写出新墙建筑费用的代数式，然后分选用型号A门和型号C门两种情况，利用总费用不高于6400元，分别求出x的取值范围即可； 任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据x的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值． 【解答】解：任务1：根据题意可得BC＝22+2﹣3x＝（24﹣3x）m， ∴S＝AB•BC ＝x（24﹣3x） ＝﹣3x2+24x； 任务2：由题意得，1＜BC≤16， 即1＜24﹣3x≤16， 解得：x， 根据题意可得：新墙建筑费用＝200（3x﹣1）+300（23﹣3x）＝（6700﹣300x）元， 则总费用＝6700﹣300x+500＝（7200﹣300x）元， ∵总费用不高于5900元， ∴7200﹣300x≤5900，解得：x， ∴x． 任务3：由任务1知S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0，图象开口向下，且4， ∴当x时，面积S有最大值，最大值为47， 此时BC＝24﹣311（m）， ∴设计方案是ABm，BC＝11m，S的最大值为47m2． 故答案为：，11，47． 【类型18 路径与边界问题】 1．（2024秋•交口县期末）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　） A．3米 B．2米 C．5米 D．4米 【分析】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y＝0，即可解答． 【解答】解：以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 如图， 设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2， 把点A（0，10）代入抛物线解析式得： a， ∴抛物线解析式：y（x﹣1）2． 当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3． ∴OB＝3米． 故选：A． 【类型19 过桥与边界问题】 1．（2023秋•高邑县期末）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　 　m．（结果保留根号） 【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将y＝﹣3代入函数解析式，求出x的值，然后即可求得水面下降1m后，水面宽度． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设该抛物线的解析式为y＝ax2， 由题意可知：点（2，﹣2）在该函数图象上， ∴﹣2＝a×22， 解得a， ∴该抛物线的解析式为yx2， 当y＝﹣3时，﹣3x2， 解得x1，x2， ∴当水面下降1m后，水面宽度是：（）2（m）， 故答案为：2． 【类型20 利润最值问题】 1．（2023秋•龙安区期中）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表： 第x天 售价（元/件） 日销售量（件） 1≤x≤30 x+60 300﹣10x 已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？ （3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果． 【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解； （2）由y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，即可求解； （3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5400，解得x＝﹣4或x＝14，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+60﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000； （2）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250， ∵﹣10＜0，故抛物线开口向下， 当x＝5（天）时，y取得最大值为6250（元）． ∴销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润6250元； （3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5440，解得x＝﹣4或x＝14， 故当月有14天的日销售利润不低于5440元． 【类型21 点的运动与变速滑行】 1．（2024•沂南县二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间 的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛 出 　 　秒时，两个小球在空中的高度相同． 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同． 【解答】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴该函数的对称轴是直线t＝3， ∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同， ∴第二个小球抛出3﹣0.5＝2.5秒时，两个小球在空中的高度相同， 故答案为：2.5． 【类型22 分段函数】 1．（2023秋•硚口区期末）有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到100℃时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至60℃时，热水壶又自动加热，…，重复上述过程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到100℃后，又重复上述程序，如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温y（℃）与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段BC表示加热过程． （1）直接写出抛物线AB段，线段BC分别对应的函数解析式； （2）从100℃开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到100℃， ①若按下“再沸腾”键时，水温是82.5℃，求该冷却、加热过程一共所用时间； ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温． 【分析】（1）依据题意，运用待定系数法即可得解； （2）①依据题意，结合（1）函数解析式分别求出从100℃冷却到82.5℃所用时间、从82.5℃加热到100℃所用时间进而计算可以得解； ②依据题意，设按下“再沸腾”键时已冷却了a（min）（0＜a＜40），从而再加热到100℃用了（26﹣a）min，则按下“再沸腾”键时的水温可以表示为[（a﹣40）2+60]℃，也可以表示为{5[48﹣（26﹣a）]﹣140}℃，故可得方程（a﹣40）2+60＝5[48﹣（26﹣a）]﹣140，最后计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，AB段抛物线的顶点为B（40，60）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣40）2+60． 又抛物线过点A（0，100）， ∴1600a+60＝100． ∴a． ∴抛物线AB为y（x﹣40）2+60（0≤x≤40）． 由题意，设BC为y＝kx+b， 又B（40，60），C（48，100）， ∴． ∴． ∴BC为y＝5x﹣140（40＜x≤48）． （2）①若按下“再沸腾”键时，水温是82.5℃， ∴82.5（x﹣40）2+60． ∴x1＝10，x2＝70（不合题意，舍去）． ∴冷却过程所用时间为10min． 又对于函数y＝5x﹣140， 令y＝82.5， ∴x＝44.5． ∴48﹣44.5＝3.5（min）． ∴加热过程所用时间为3.5min． ∴该冷却、加热过程一共所用时间为：10+3.5＝13.5（min）． ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min， ∴该冷却、加热过程一共所用时间为：48﹣22＝26（min）． 设按下“再沸腾”键时已冷却了a（min）（0＜a＜40）， ∴再加热到100℃用了（26﹣a）min． ∴按下“再沸腾”键时的水温可以表示为[（a﹣40）2+60]℃，也可以表示为{5[48﹣（26﹣a）]﹣140}℃． ∴（a﹣40）2+60＝5[48﹣（26﹣a）]﹣140． ∴a1＝20，a2＝260（不合题意，舍去）． ∴（20﹣40）2+60＝70． ∴按下“再沸腾”键时的水温为70℃． 【类型23 二次函数与线段问题】 1．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为　 　． 【分析】CD的最大值即为点C的纵坐标减去点D的纵坐标，据此列出CD的表达式，为关于x的二次函数，求出二次函数的最大值即可． 【解答】解：根据题意得，CD＝2x+1﹣x2＝﹣x2+2x+1＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣（x2﹣2x+1）+2＝﹣（x﹣1）2+2， 可见CD的最大值为2． 故答案为2． 2．抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标． 【分析】（1）根据题意，令y＝0，得出x2﹣2x﹣3＝0，解出即可得出A，B两点的坐标； （2）分两种情况：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1；②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2、D3，D2、D3符合条件，然后构建方程组分别求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边）， ∴令y＝0，可得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）解：∵OP＝OA＝1， ∴P（0，1）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把A（﹣1，0），P（0，1）代入，可得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+1， ①如图，若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线的交点，即为D1， ∵BD1∥AC， ∴设直线BD1的解析式为y＝x+m， 又∵B（3，0）， ∴可得：0＝3+m， 解得：m＝﹣3， ∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3， ∵直线BD1与抛物线相交于点D1， ∴可得：， 解得：或， ∴D1（0，﹣3）， ∴点D的横坐标为0； ②如图，若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2、D3，D2、D3符合条件， ∵直线l平行于直线AC， ∴设直线l的解析式为y＝x+n， 又∵G（0，5）， ∴n＝5， ∴直线l的解析式为y＝x+5， 又∵直线l与抛物线相交于点D2、D3， ∴可得：， 整理，可得：x2﹣3x﹣8＝0， 解得：或， ∴D2、D3的横坐标为或， 综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，． 【类型24 二次函数与面积问题】 1．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0）、B（2，6）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若△PAB的面积为，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E，设E（m，2m+2），P（m，﹣2m2+4m+6），然后根据可求解． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，6）代入二次函数解析式y＝﹣2x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6； （2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+n（k≠0）， 将A（﹣1，0）、B（2，6）代入得， 解得， ∴直线AB的函数解析式为y＝2x+2； 如图，过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E． 设E（m，2m+2），P（m，﹣2m2+4m+6）， PE＝﹣2m2+4m+6﹣（2m+2）＝﹣2m2+2m+4， ∴ ， ∵△PAB的面积为， ∴，整理得（2m﹣1）2＝0， 解得． ∴， ∴点P坐标为． 2．如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线AC的函数解析式为． （1）求点A，C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 【分析】（1）在直线yx+2中分别令x＝0和y＝0，可得A和C的坐标； （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式； （3）方法一：过M点作MH⊥x轴，与AC交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 方法二：连接OM，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标． 【解答】解：（1）对于一次函数． 令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝4， ∴A（0，2），C（4，0）； （2）将A（0，2），C（4，0）代入得： ， 解得， ∴； （3）方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线x＝1， ∴B（﹣2，0）， ∴S△ABC2×6＝6， 如图1，过点M作直线l∥y轴交直线AC于点N， 设则， ∴， ∴， ∵0＜a＜4， ∴当a＝2时，四边形ABCN最大值为8且M（2，2）； 方法二：由（1）知：， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1， ∵C（4，0），∴B（﹣2，0）， 如图2，连接OM，设， ∴S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△COM 2×22a4（a+2） 2a+6 8， ∴当a＝2时，四边形ABCM的面积有最大值，最大值为8，此时M（2，2）． 【类型25 二次函数与角度问题】 1．如图，抛物线yx2与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P（1，﹣3）在抛物线上，D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标． 【分析】根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标． 【解答】解：如图， 抛物线yx2与x轴交于A，B两点， 令y＝0，0x2， x1＝﹣4，x2＝4． ∴A（﹣4，0），B（4，0）， 当点D在OP左侧时，如图： 由∠D1PO＝∠POB，得D1P∥OB， ∴D1与P关于y轴对称，且P（1，﹣3）， ∴D1（﹣1，﹣3）； 当点D在OP右侧时，延长PD2交x轴于点G． 作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3． ∵∠D2PO＝∠POB， ∴PG＝OG． 设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1． 在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5． ∴点G（5，0）． ∴直线PG的解析式为yx， 解方程组得或． ∵P（1，﹣3）， ∴D2（，）． ∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，）． 2．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第四象限的抛物线上求点P，使∠PCB＝∠CAB，求出点P的坐标． 【分析】证明△GKA≌△AOC（AAS），得到点G（﹣3，﹣1），C（0，﹣2），求出直线CG的解析式为yx﹣2，即可求解． 【解答】解：对于y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， 令y＝0，即x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝2， ∴A（﹣1，0），B（2，0）； 如图，延长PC交x轴负半轴于点H，过点A作AG⊥AC交CH于点G，过点G作GK⊥x轴于点K． ∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，∠PCB+∠ACG+∠ACB＝180° 又∵∠CAB＝∠PCB， ∴∠ACG＝∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠AGC＝45°， ∴AG＝AC， 又∠GAK+∠OAC＝∠OAC+∠ACO＝90°， ∴∠GAK＝∠ACO， ∴△GKA≌△AOC（AAS）， ∴AK＝OC＝2，KG＝OA＝1， ∴OK＝3， ∴G（﹣3，﹣1）， ∵点G（﹣3，﹣1），C（0，﹣2）， ∴直线CG的解析式为yx﹣2， 联立，解得：（不合题意的值已舍去）， ∴P（，）． 【类型26 二次函数与等腰三角形问题】 1．综合与探究 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，直线l与抛物线交于B，D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求△BCD的面积； （3）若抛物线的对称轴与直线l的交点为N，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BMN是以MN为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设直线l的解析式为：y＝px+q，利用待定系数法求出直线l的解析式为，进而得到，根据抛物线的解析式求出点C坐标，得到，最后根据，即可求解； （3）设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，得到P（1，0），N（1，1），设M（1，a），分两种情况讨论：当BN＝MN时，当BM＝MN时，结合勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）解：将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）将代入y＝﹣x2+2x+3得：， ∴， 设直线l的解析式为：y＝px+q， 将点，B（3，0）代入得： ，解得： ，∴直线l的解析式为：， 在中，令x＝0，则， ∴， 在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∴， ∵，B（3，0）， ∴； （3）存在，点M的坐标为或或，理由如下： 设抛物线的对称轴与x轴的交点为P， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线， ∴P（1，0）， 把x＝1代入直线中得：， ∴N（1，1）， ∴PN＝1，BP＝3﹣1＝2， ∴， 设M（1，a）， 当BN＝MN时，， 解得：或， ∴或， 当BM＝MN时， 在Rt△PBM3中，由勾股定理可得： BP2， 即（1﹣a）2＝a2+22， 解得：， ∴， 综上所述，存在，点M的坐标为或或，使△BMN是以MN为腰的等腰三角形． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m． （1）求直线BC的解析式； （2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 【分析】（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线BC的解析式即可； （2）利用等腰三角形定义分类求解即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， ∴﹣4a＝﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3， 令x＝0得y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+3， 将点B（3，0）代入得：0＝3k+3， 解得：k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3； （2）∵点P的横坐标为m，点P在线段BC上， ∴P（m，﹣m+3），（0≤m≤3）， ∴设新抛物线的解析式为y＝s（x﹣m）2﹣m+3， ∵点A（1，0）、点B（3，0）， ∴PA2＝（m﹣1）2+（﹣m+3）2，PB2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，AB2＝4． 分情况讨论： （1）当PA＝PB时，则（m﹣1）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2， 解得m＝2， 此时，P（2，1）， ∴新抛物线的解析式为y＝s（x﹣2）2+1， ∵新抛物线经过原点， ∴0＝4s+1， 解得， ∴新抛物线的解析式为； （2）当PA＝AB时，（m﹣1）2+（﹣m+3）2＝4， 解得m1＝1，m2＝3（此时P与B重合，舍去）， ∴P（1，2）， ∴新抛物线的解析式为y＝s（x﹣1）2+2， ∵新抛物线经过原点， ∴0＝s+2， 解得s＝﹣2， ∴新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2． 综上所述，新抛物线的解析式为或y＝﹣2（x﹣1）2+2． 【类型27 二次函数与直角三角形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线CB的距离是7时，求m的值； （3）点P为抛物线对称轴上一点，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【分析】（1）根据A（﹣1，0），BC＝2OA，得到OA＝1，BC＝2，对y＝ax2+bx﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，得到C（0，﹣3），则OC＝3，根据BC∥x轴，得到B（2，﹣3），把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，求得 a，b的值，即可求得到抛物线解析式； （2）由题意得，Q（m，m2﹣2m﹣3），则点Q到直线CB的距离为|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，故|m2﹣2m|＝7，解方程即可； （3）抛物线解析式并配方为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的对称轴是直线 x＝1，设P（1，m），则PA2＝m2+22＝m2+4，PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1，AC2＝12+32＝10，根据△PAC是以AC为直角边的直角三角形，分两种情况：当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2，当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AC2，分别列方程即可求解． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），BC＝2OA， ∴OA＝1，BC＝2， 在y＝ax2+bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3），则OC＝3， ∵BC∥x轴， ∴B（2，﹣3）； 把点A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由题意得Q（m，m2﹣2m﹣3），则点Q到直线CB的距离为|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|， ∴|m2﹣2m|＝7，则m2﹣2m＝7①或m2﹣2m＝﹣7②， 解①得：或； 解②无解， ∴或； （3）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴是直线 x＝1， 设P（1，m），则PA2＝m2+22＝m2+4，PC2＝（m+3）2+12，AC2＝12+32＝10， ∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形， ∴当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2， ∴m2+4+10＝（m+3）2+1， 解得： ∴； 当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝PA2， ∴（m+3）2+12+10＝m2+4， 解得：， ∴， 综上： 或 ． 2．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（1，﹣5），求抛物线L2对应的函数关系式； （2）当△BPC的周长最小时，求抛物线L2对应的函数关系式； （3）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线L2对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线L1：求出点A，B的坐标，由抛物线L2与L1是“共根抛物线”，可设出抛物线L2的解析式，最后把点（1，﹣5）代入即可求解； （2）连接AC交对称轴直线x＝﹣1于点P，连接BP，交y轴于点E，此时△BPC的周长最小，先求出直线AC的解析式，从而求出点P的坐标，据此即可求解； （3）设点P的坐标为（﹣1，m），求得，，，分点P在x轴上方和点P在x轴下方，利用勾股定理列式，求得点P的坐标，据此即可求解． 【解答】解：（1）在抛物线L1：中，令y＝0，则， 解得：x＝﹣4或x＝2， 即点A（﹣4，0），点B（2，0）， 根据题意，设抛物线L2的函数关系式为：y＝a（x+4）（x﹣2）， 将点（1，﹣5）代入得：﹣5＝a（1+4）（1﹣2）， 解得：a＝1， ∴抛物线L2的函数关系式为：y＝（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8； （2）连接AC交对称轴直线于点P，连接BP，交y轴于点E，此时△BPC的周长最小． 令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A（﹣4，0）代入得，0＝﹣4k+2， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 当x＝﹣1时，， ∴点P的坐标为， 将点代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； （3）假设存在，设点P的坐标为（﹣1，m）， ∵A（﹣4，0），C（0，2）， ∴，，， 当点P在x轴上方时， 由题意得AC2+PC2＝AP2，即， 解得m＝4， 即点P的坐标为（﹣1，4）， 将点（﹣1，4）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：4＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2）， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； 当点P在x轴下方时， 由题意得AC2+AP2＝PC2，即， 解得m＝﹣6， 即点P的坐标为（﹣1，﹣6）， 将点（﹣1，﹣6）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：﹣6＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2）， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； 综上，抛物线L2的函数关系式为：或． 【类型28 二次函数与平行四边形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过E点作EG∥y轴交BC于点G，设E（t，t2+t+4），则G（t，﹣t+4），可得S△BCE＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）； （3）设Q（1，m），P（n，n2+n+4），B（0，4），C（4，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x＝4， ∴C（4，0）， 将B、C点代入y＝ax2+x+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2+x+4； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+4， ∴4k+4＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 过E点作EG∥y轴交BC于点G， 设E（t，t2+t+4），则G（t，﹣t+4）， ∴EGt2+2t， ∴S△BCE（t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， 当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）； （3）存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵yx2+x+4（x﹣1）2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 设Q（1，m），P（n，n2+n+4），B（0，4），C（4，0）， ①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n＝4， 解得n＝3， ∴P（3，）； ②当PB为平行四边形的对角线时，n＝4+1＝5， ∴P（5，）； ③当PC为平行四边形的对角线时，4+n＝1， 解得n＝﹣3， ∴P（﹣3，）； 综上所述：P点坐标为（3，）或（5，）或（﹣3，）． 2．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，已知A（﹣1，0），连接BC，抛物线对称轴与BC交于点E． （1）求b的值及顶点D的坐标； （2）点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知b及顶点D的坐标； （2）结合第一问求得直线BC解析式，可求得DE的长．根据题意设P（a，a2﹣2a﹣3）和Q（a，a﹣3）分类讨论即可求得答案． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得： 0＝（﹣1）2+b×（﹣1）﹣3， 解得：b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∴y＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）． （2）存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC解析式为y＝mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3， 当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2， ∴E（1，﹣2）， 则DE＝2． 设P（a，a2﹣2a﹣3）、Q（a，a﹣3）分类讨论： ①当点P在点Q下方时， （a2﹣2a﹣3）﹣（a﹣3）＝2， 解得：，， ②当点P在点Q上方时， （a﹣3）﹣（a2﹣2a﹣3）＝2， 解得：a1＝1（舍去），a2＝2， 综上所述，点P的坐标为（2，﹣3）或或． 【类型29 二次函数与矩形问题】 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解析式； （2）求出BC的直线解析式为y＝﹣x+3，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），所以S四ECFD＝S△CDE+S△CDF＝﹣m2+3m，即可求面积的最大值； （3）设P（n，﹣n2+2n+3），①当CP⊥PB时，根据PJ构建方程求解；②当CP⊥CB时，P（1，4），可求P点横坐标． 【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中， 则有， ∴， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3， ∴对称轴为x＝1， ∵CD∥x轴， ∴D（2，3）， ∴CD＝2， ∵点B（3，0），点C（0，3）， ∴BC的直线解析式为y＝﹣x+3， 设E（m，﹣m2+2m+3）， ∵EF⊥CD交线段BC于点F， ∴F（m，﹣m+3）， ∴S四边形ECFD＝S△CDE+S△CDF2×（﹣m2+2m）2×m＝﹣m2+3m， 当m时，四边形ECFD的面积最大，最大值为； 此时E（，）； （3）设P（n，﹣n2+2n+3）， ①当CP⊥PB时，设BC的中点为J（，）， 则有PJBC， ∴（n）2+（﹣n2+2n+3）2＝（）2， 整理得n（n﹣3）（n2﹣n﹣1）＝0， ∴n＝0或3或， ∵P在第一象限， ∴P点横坐标为； ②当CP⊥CB时，P（1，4）． ∴P点横坐标为1； 综上所述：P点横坐标为或1． 2．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4），进而得到M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）；再表示出PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C点的坐标为（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B、C点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4）． ∴M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）， ∴PM＝﹣a2+3a，QN＝﹣a2+a+2， ∴PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4， 当a＝1时，（PM+QN）max＝4， ∴Q（2，﹣3）； （3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， ∴y′的对称轴为x＝2 ∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C． ∴C（0，﹣3）， ∵B（3，0）， ∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°； 如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴， ∵D在y′的对称轴为x＝2， ∴FD＝2， ∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5）， ∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到E（5，﹣3）； 如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于F， ∵D在y′的对称轴为x＝2， ∴FO＝2， ∴BF＝3﹣2＝1， ∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°， ∴BF＝FD＝3﹣2＝1，即点D（2，1）， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）； 如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D（2，d），E（m，n）， ∴BC的中点F的坐标为（，），依题意得： ， 解得：， 又∵DE＝BC， ∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32， 解得：d﹣n＝±， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在E（﹣1，﹣2）或（5，﹣2）或或使以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形． 【类型30 二次函数与菱形问题】 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解； （2）待定系数法求出直线AC的解析式，设D（m，0），分别表示出E和F的坐标，进而得到DF和EF，利用，列式计算即可； （3）分AE是边和AE是对角线两种情况，进行讨论求解． 【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+d，将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为， 设D（m，0），则，， ∴，， ∵， ∴， 解得m＝﹣3或﹣4（不合题意，舍去）， 将m＝﹣3代入得： ， ∴E（﹣3，﹣2）； （3）存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： 当以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，△AEM是等腰三角形， ∵E（﹣3，﹣2），A（﹣4，0）， ∴AD＝﹣3﹣（﹣4）＝1，DE＝2， ∵， ∴对称轴为：直线， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， ①当AE是边时， 当时，点A到直线l的距离为， ∴此时点M不存在； 当时，如图，此时菱形为AM1EN或AM2EN， 过点E作EH⊥l于点H， 则yH＝yE＝﹣2，， 在Rt△EMH中，由勾股定理得， ∴或， ∴，， 当点时，由EM＝AN得xM﹣xE＝xN﹣xA，yM﹣yE＝yN﹣yA， 即，， 解得，， ∴， 同理，可得； ②当AE是对角线时，MA＝ME，此时菱形为AM3EN，设对称轴与x轴交于点G， ∵MA2＝ME2， ∴MG2+AG2＝MH2+EH2， 设，则， 解得n＝0， ∴，点M3在x轴上， 则， 解得，yN＝yE＝﹣2， ∴， 综上：，，． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中PE+PF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使得以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【分析】（1）设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），利代入点C的坐标即可求出函数解析式； （2）先求出直线AC的函数解析式为y＝﹣x+4和抛物线的对称轴为直线x＝1．设，则，E（p，﹣p+4），得到．进一步即可求出答案； （3）求出点H（4，0）．设M（1，m）．求出，，MH2＝9+m2．设N（x′，y′）．分三种情况分别进行求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点， ∴可设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣4）（x+2）． ∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，4），则﹣8a＝4， 解得． ∴抛物线的函数解析式为． （2）设直线AC的解析式为y＝mx+n，把点A（4，0），C（0，4）代入得， ， 解得 ∴直线AC的函数解析式为y＝﹣x+4． 由，可得抛物线的对称轴为直线． 设，则，E（p，﹣p+4）， ∴，PF＝p﹣1， ∴． ∵， ∴当p＝3时，PE+PF有最大值，最大值为， 当p＝3时，， 此时点P的坐标为． （3）∵抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点， ∴平移后的抛物线与x轴交于（10，0），（4，0）两点，即点H（4，0）． ∵M为平移前抛物线对称轴上一点，平移前抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴设M（1，m）． ∵， ∴，，MH2＝（4﹣1）2+m2＝9+m2． 设N（x′，y′）． ①如图1，当MH为对角线时，PH＝PM， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或． ∵H（4，0），， ∴MH的中点的坐标为或， 即PN的中点的坐标为或， ∴，，或，， 解得x′＝2，，或x′＝2，， ∴点N的坐标为或； ②当MP为对角线时，PH＝MH， ∴，此方程无解．故此种情况不存在； ③如图2，当PH为对角线时，PM＝MH， ∴， 解得，即． ∵H（4，0），， ∴PH的中点的坐标为， 同理可得，，， 解得x′＝6，， ∴点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或或． 【类型31 二次函数与正方形问题】 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过两点B，C，与x轴另一交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段OB上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作EF⊥x轴交CD于点F，作EH⊥BC于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接FG，当S△EFG＝4时，求t的值； （3）如图2，正方形MNPQ，边MQ在x轴上，点Q与点B重合，边长MN为1个单位长度，将正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围． 【分析】（1）求出B（4，0），C（0，4），代入抛物线解析式即可； （2）过点G作GM⊥EF于M，点G的坐标为（t+2，2），由点G在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，得到﹣（t+2）2+3（t+2）+4＝2，则当S△EFG＝4时，t的值为秒； （3）由题意可知当正方形运动t时，正方形上各点的横坐标向左平移t个单位，纵坐标向上平移t个单位，平移后M（5﹣t，t），N（5﹣t，1+t），P（4﹣t，1+t），Q（4﹣t，t），①当N点移动后在抛物线上时1+t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，0＜t＜3时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点；②当P点在抛物线上时，1+t＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4，t＝2，当M点在抛物线上时，t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，t＝3，所以时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点． 【解答】（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴B（4，0），C（0，4）， ∵抛物线y＝x2+bx+c经过B，C两点， 解得： ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+3x+4； （2）过点G作GM⊥EF于M， ∵OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝45°， ∵EH⊥BC， ∴∠BEH＝45°， ∴EF⊥x轴， ∴∠MEG＝90°﹣45°＝45°， ∴MG＝ME， ∵CD∥x轴，EF⊥x轴， ∴EF＝OC＝4， ∴， ∴GM＝ME＝2， ∵点E从O点运动，时间为t， ∴OE＝t， ∴点E，M的横坐标都为t，点G的横坐标都为t+2， ∴点G的坐标为（t+2，2）， ∵点G在抛物线y＝﹣x2+3x+4上， ∴﹣（t+2）2+3（t+2）+4＝2， 解得：（舍去）， ∴当S△EFG＝4时，t的值为秒； （3）∵B（4，0），C（0，4）， ∴∠CBO＝45°， ∵正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒， ∴当正方形运动t时，正方形上各点的横坐标向左平移t个单位，纵坐标向上平移t个单位， ∵M（5，0），N（5，1），P（4，1），Q（4，0）， ∴平移后M（5﹣t，t），N（5﹣t，1+t），P（4﹣t，1+t），Q（4﹣t，t）， ①当N点移动后在抛物线上时 1+t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4， 解得t＝3或t＝3， ∵此时N点在对称轴的右侧， ∴t＝3， ∴0＜t＜3时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点； ②当P点在抛物线上时， 1+t＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4， 解得t＝2或t＝2， ∵此时N点在对称轴的左侧， ∴t＝2， 当M点在抛物线上时， t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4， 解得t＝3或t＝3， ∵此时N点在对称轴的左侧， ∴t＝3， ∴时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点； 综上所述：或 时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点． 【类型32 二次函数中的定值问题】 1．如图1，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，连接AD，DC． （1）求抛物线C1的解析式； （2）求△ADC面积的最大值； （3）如图2，将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点H（1，2）的直线与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM•GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）过点D作DE⊥x轴，交直线AC于点E，结合抛物线，直线AC解析式，设D（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），则DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，表示出，利用二次函数的最值解答即可． （3）先根据y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定对称后的解析式，根据题意，不妨设J（m，﹣m2+2m+3），I（n，﹣n2+2n+3），连接解析式构成方程组，转化根与系数关系定理应用，确定解析式后求得交点坐标，计算线段长度，再计算积即可． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3， ∴C（0，3）， 过点D作DE⊥x轴，交直线AC于点E，如图1， 设直线AC的解析式为y＝kx+p， 将A（﹣3，0），C（0，3）代入直线AC的解析式得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为：y＝x+3． 设D（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），则DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m， ∴， ∴当，△ACD的面积最大，且最大值为． 故当，△ACD的面积取得最大值，且最大值为． （3）GM•GN为定值；理由如下： ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F， ∴y＝﹣（﹣x+1）2+4＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3， 故F（1，4）， 设直线JI的解析式为y＝kx+b， ∴2＝k+b， 解得b＝2﹣k， ∴y＝k（x﹣1）+2， 设J（m，﹣m2+2m+3），I（n，﹣n2+2n+3）， 根据题意，得， 整理，得x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0， ∴m，n是x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0的两个根， ∴， 同理可证，直线JF的解析式为y＝a（x﹣1）+4， 把J（m，﹣m2+2m+3）代入解析式y＝a（x﹣1）+4， 解得a＝﹣（m﹣1）， 故直线JF的解析式为y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4， 令y＝0，得﹣（m﹣1）（x﹣1）+4＝0， 解得， ∴， ∵F（1，4）， ∴G（1，0）， ∴， 同理可证，， ∴ ． 2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式； （3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m（﹣3＜m＜﹣1），点F的横坐标为m+1．过点D作x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N． ①如图2，连接DF，求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由题意知，C（0，﹣3），将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，计算求解b，c的值，进而可得解析式； （2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，①当BM∥AC时，A（﹣3，0），待定系数法求直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，则直线BM的解析式为y＝﹣x+d，待定系数法求解即可；②当BM过A、C中点时，由题意知，A、C中点坐标为，设直线BM的解析式为y＝ex+f，待定系数法求解即可； （3）①由题意知，D（m，m2+2m﹣3），M（m，﹣m﹣3），F（m+1，（m+1）2+2（m+1）﹣3），N（m+1，﹣（m+1）﹣3），则DM＝﹣m2﹣3m，FN＝﹣（m+1）2﹣3（m+1），则，根据二次函数的性质求最值，然后求D点坐标即可； ②由题意知，2，然后作答即可． 【解答】解：（1）由题意知，OC＝3OB＝3， ∴C（0，﹣3）， 将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等， ①当BM∥AC时， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， 解得：x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 设直线BM的解析式为y＝﹣x+d， 将B（1，0）代入得：﹣1+d＝0， 解得：d＝1， ∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1； ②当BM过A、C中点时， 由题意知，A、C中点坐标为， 设直线BM的解析式为y＝ex+f， 将，B（1，0）代入得： ， 解得：， ∴直线BM的解析式为， 综上所述，直线BM的解析式为y＝﹣x+1或； （3）①由题意知，D（m，m2+2m﹣3），M（m，﹣m﹣3），F（m+1，（m+1）2+2（m+1）﹣3），N（m+1，﹣（m+1）﹣3）， ∴DM＝﹣m2﹣3m，FN＝﹣（m+1）2﹣3（m+1）， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当m＝﹣2时，四边形DFNM的面积最大，最大值为2， ∴D（﹣2，﹣3）； ②△ADM与△CFN的面积之和为定值；理由如下： 由题意知， ＝2， ∴△ADM与△CFN的面积之和是定值，且定值为2． 【考点33 二次函数中的新定义问题】 1．（2024•南通一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　 　；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； （2）在y中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得B（，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案； （3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，故9+8m＝0，m，从而得M的坐标为（0，）． 【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解， ∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”； 同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； 故答案为：③； （2）在y中，令y＝﹣x得﹣x， 解得x＝2或x＝﹣2， ∵x＞0， ∴A（2，﹣2）； 在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b， 解得x， ∴B（，）， 当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2）， ∴AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4， 若AB＝BC，则2（2）2（2）2， 解得b＝﹣3； 若AB＝AC，则2（2）2＝4， 解得b＝﹣36或b＝36； 若BC＝AC，则（2）2＝4， 解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为﹣3或﹣36或36或0； （3）设M（0，m），m＜﹣1， ∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1）， 点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1）， ∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m， 在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得： ﹣x＝﹣x2+2x+2m， ∴x2﹣3x﹣2m＝0， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即9+8m＝0， ∴m， ∴M的坐标为（0，）． 2．（2024•长沙模拟）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y． （1）已知点A（﹣5，10）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值； （2）已知二次函数y＝﹣x2+4x． ①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值和最小值． （3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（，1）、（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围． 【分析】（1）先求出y＝ax﹣5的相关函数，然后代入求解，即可得到答案； （2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x，然后可求得此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y＝x2+4x，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意， 一次函数y＝ax﹣5的相关函数为， ∴把点A（﹣5，10）代入y＝﹣ax+5，则﹣a×（﹣5）+5＝10， ∴a＝1； （2）根据题意，二次函数y＝﹣x2+4x的相关函数为y， ①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x得m2﹣4m， 解得：m＝2（舍去）或m＝2， 当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x得：﹣m2+4m， 解得：m＝2或m＝2， 综上所述：m＝2或m＝2或m＝2． ②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣3时，有最大值，即 y＝（﹣3）2﹣4×（﹣3）， ∴此时y的最大值为． 当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x，抛物线的对称轴为x＝2， 当x＝0有最小值，最小值为， 当x＝2时，有最大值，最大值为y， 综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值为，最小值为； （3）如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点， ∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3， 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1， 解得：n＝﹣1； ∴当﹣3＜n＜﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点， 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1， 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（，1）， ∴2﹣n＝1，解得：n， ∴1＜n时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n＜﹣1或1＜n， 学科网（北京）股份有限公司 $$