专题02 二次函数的应用 7大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数的应用 7大高频考点概览 考点01 图形面积与图形运动相关的应用问题 考点02 经营销售与增长率等问题 考点03 拱桥等抛物线形问题 考点04 抛球、喷水等抛物问题 考点05 三角形面积、与一次函数图象等问题 考点06 与几何图形结合的综合运用 考点07 其他问题 地 城 考点01 图形面积与图形运动相关的应用问题 一、单选题 1．（24-25·浙江台州·期中）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（    ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 二、填空题 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x（m），面积为S（），则所围成的花圃的面积S的最大值是 ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为 cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是 ． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务． 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为，开2个门，且门宽均为． 素材2：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题的解决 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案 当 m， m， S的最大值为 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： (1)若为，求此时窗户的透光面积？ (2)与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x． (1)求y关于x的表达式及自变量x的取值范围． (2)求y的最小值． 12．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图1，一块矩形电子屏中，为上一感应点，，动点为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点以每秒1个单位的速度从点出发，沿匀速运动，到达点时停止．设光点的运动时间为秒，照亮的正方形区域的面积为．图2为点在运动过程中与的函数图象，其中点表示点运动到点时情形． (1)图2中______________；当时，照亮的区域面积___________． (2)当点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时是的二次函数．求出点在整个运动过程中关于的函数解析式； (3)若存在三个时刻、、对应的正方形的面积均相等． ①_____________； ②当时，则正方形的面积为________________． 地 城 考点02 经营销售与增长率等问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 三、解答题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元，每日销售量y（）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于20元．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元） 7 8 9 y（） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 8．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3)在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）利用以下素材解决问题 超市饮料定价问题 素材1 大华超市降价销售某种饮料，每箱成本为40元，每日销售量（箱）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如右图所示． 素材2 该饮料定价范围为45元至65元（包含45和65）． 素材3 为增加销量，超市每天有10箱饮料用来试喝． 任务1 求关于的函数关系式． 任务2 当单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 任务3 扣除赠饮成本后，要保证每天利润不少于1200元，求售价的取值范围． 10．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，． (1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； (2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； (3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 11．（24-25九年级上·浙江金华·期中）某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图甲），一件商品的成本（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图乙）． 根据图象提供的信息解答下面问题： (1)一件商品在6月份出售时的利润是多少元？（利润售价成本） (2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式； (3)请求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式．若该公司能在一个月内售出此种商品6万件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？ 地 城 考点03 拱桥等抛物线形问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（   ） A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B．直线的解析式为 C．点到杯口的距离为 D．点到点的距离为 二、填空题 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内． 5．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液体最大深度为 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）阅读材料 某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用根立柱将横杆六等分加固，相邻两根立柱间距米，的长为米． 问题解决 (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． (2)现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到根（将横杆八等分），并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 7．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 地 城 考点04 抛球、喷水等抛物问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上册·浙江杭州·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 二、填空题 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是 ． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若排球运动员本次练习发球过程中球会超过球网但不会出界（可以压线），则的取值范围是 ． 7．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），为小斜坡，且为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为，当发射口抬高1米即时，刚好击中点E，则的长是 ；若要击中目标区域，则的取值范围是 ．（参考数据：） 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线的对称轴的右侧，则抛物线的对称轴为直线 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，回答下列问题： (1)小球最高离地面多少米？ (2)小球从飞出到落地需要多少时间？ 10．（24-25九年级上·浙江台州·期中）市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题： (1)求出水柱最高点P到地面的距离． (2)若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由． 12．（24-25九年级上·浙江·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 13．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 ... y 0 6 8 n ... (1)①，； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系，求v的值． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为．    (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 16．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某市女生双手排球垫球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为．如图所示，某次模拟测试中，某同学在离地面水平距离的处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线在同一平面内），最终正好在处垫住．以为坐标原点，与地面平行的水平直线为轴，为单位长度建立直角坐标系，已知点，点的横坐标为，抛物线和的表达式分别为和． (1)求抛物线的函数表达式． (2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由． (3)若第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达到要求，求该女生第三次垫球处离地面的高度为多少米？ 17．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中） 主题 探究滑雪运动员起跳后飞行路线的函数关系 素材1 研究步骤： （1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置； （2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； （3）数据分析，形成结论． 实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如表所示： 0 2 4 6 8 10 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 23.00 素材2 根据上述表格绘制图表：从起跳点到最后着陆点的示意图如图所示： 根据提供的素材，解决问题： 任务1： 定函数 根据表中信息，求起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式． 任务2： 求最值 通过分析实验数据，你认为运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是________m； 任务3： 算距离 若运动员最后着陆点的竖直高度为，求运动员最后着陆点与起跳点的水平距离． 地 城 考点05 三角形面积、与一次函数图象等问题 一、单选题 1．（24-25·浙江金华·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 二、填空题 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求此抛物线的解析式， (2)设该抛物线与x轴交点为A，B（A在B的左边），若P在此抛物线上且的面积为4，试求出P的坐标． 5．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连结． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若在x轴上方的二次函数的图象上有一点D（不与点C重合），使，求点D的坐标． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)结合图象，当时，求出的取值范围； (3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点．    (1)求、的值； (2)求三角形的面积； (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点06 与几何图形结合的综合运用 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，抛物线经过点，，并交x轴于点E，F（点F在点E的右边）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图2，为y轴上一动点，点D的坐标为，过三点P，E，F作抛物线，连接． ①当抛物线的顶点落在线段上时，求此时t的值． ②当抛物线与线段只有一个交点时，直接写出t的取值范围． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 地 城 考点07 其他问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（   ） A．20秒 B．25秒 C．30秒 D．40秒 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，若记张溟鲲起跳后时间为t秒，他所处的高度为h米，则可用函数来描述他起跳后高度的变化，当，，时；所对应的高度记为，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（    ） A．5：2 B． C．3：2 D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间 秒时，篮球距离地面最高． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为 米． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）综合与实践 素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离（单位：）与相对应的飞行高度（单位：）的数据（如表） 飞行水平距离（单位：） 0 20 40 60 80 100 … 飞行高度（单位：） 0 40 64 72 64 40 … 素材2：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度（单位：）与水平飞行距离（单位：）满足二次函数关系． 任务1：请求出关于的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离； 任务2：在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）综合与实践：探究对比两种水杯装水情况 【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积与高度之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度，2号杯的水面高度（其中近似关于V的二次函数）． 【项目解决】 (1)目标1：确定2号杯水的高度． 求关于V的函数关系式． (2)目标2：比较水杯的装水高度． 在相同体积下，当两个杯中水在时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的应用 5大高频考点概览 考点01 图形面积与图形运动相关的应用问题 考点02 经营销售与增长率等问题 考点03 拱桥等抛物线形问题 考点04 抛球、喷水等抛物问题 考点05 三角形面积、与一次函数图象等问题 考点06 与几何图形结合的综合运用 考点07 其他问题 地 城 考点01 图形面积与图形运动相关的应用问题 一、单选题 1．（24-25·浙江台州·期中）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心， ∴直线EO垂直BC， ∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t， ∴S=； 当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心， ∴直线OF∥BC， ∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t， ∴S=； 故选D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像．理解拐点在图形中表示的意义是解题的关键． 第二个图形中点再结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在的中点，那么的面积为．所以横轴表示的长，故A错误；当P为的中点时，作于点D，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，H为的四等分点，那么B错误；根据P在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同；把代入点P在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确． 【详解】解：∵在两段函数中， ∴点P点C重合． ∵等边的边长为1，， ∴． ∴， ∴． ∵符合所给点． ∴横轴表示的长，故A错误； 如图：作于点D． 又∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵P为中点， ∴． ∴． ∴． ∴点H为的四等分点，故B错误； 当P在上时，为x，则， ∴． 当P在上时，为x，则， ∴， ∴． ∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等， ∴形状相同，故C错误； 当时，点P在上， ∴，故D正确． 故选D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x（m），面积为S（），则所围成的花圃的面积S的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的综合应用，可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积＝长宽，得出S与x的函数关式． 【详解】解：由题可知，花圃的宽为x米，则为米． 这时面积， ∵， ∴ ∵， 当时，S的最大值为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ． 【答案】 【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为 cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是 ． 【答案】 40 1200 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，读懂题意解不等式确定的长，再根据二次函数的性质计算出最大面积即可． 【详解】解：设，根据题意得， ， 解得：， 四边形的面积 ， ， ， 根据二次函数的图象的性质可知，二次函数图象 开口向下，抛物线的对称轴 当时， ∴时，S值最大， ∴． 故答案为：40，1200． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 【答案】192 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式．分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，设该饲养室的宽为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为192． 故答案为：192． 三、解答题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【分析】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为，从而养殖场的总面积为，再结合墙的长度为10，可得，进而可得自变量的取值范围； （2）依据题意，由，从而当时，随的增大而增大，又，进而由二次函数的性质可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形， ∴较大矩形的宽为． ∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为． ∴养殖场的总面积为． ∵墙的长度为10米， ∴， ∴． ∴关于的函数关系式为． （2）解：由题意，∵， ∴当时，随的增大而增大． 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为：． 答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为； （2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为， 根据题意得，， 小明围成的养鸡场的最大面积为， ∴， 答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务． 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为，开2个门，且门宽均为． 素材2：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题的解决 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案 当 m， m， S的最大值为 ． 【答案】（1）；（2）；（3），， 【分析】本题主要考查的是二次函数的实际应用，解题关键：一是列出S关于x的函数表达式，二是配成顶点式． 任务一：先根据题中条件写的长，即可求出S关于x的函数表达式； 任务二：先根据的长和总费用不高于5800元，列出关于x的不等式组求解即可； 任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据𝑥的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值． 【详解】解：（1）． （2）， ∴． （3）， ∵不在范围内，且， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，． 即，，． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： (1)若为，求此时窗户的透光面积？ (2)与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)当时，窗户透光面积最大，与例题相比透光的最大面积变大 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及矩形和正方形的性质，二次函数的性质，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据矩形和正方形的性质求解即可； （2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，利用二次函数的性质求得最大面积为，进而通过比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴， ∴此时窗户的透光面积为； （2）解：设，则， ∵， ∴， 则窗户的透光面积， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大； ∵， ∴与例题相比透光的最大面积变大． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x． (1)求y关于x的表达式及自变量x的取值范围． (2)求y的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关雄． （1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系； （2）通过对函数配方，结合自变量取值范围取得最值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵边长为x， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 在范围内．当时，函数有最小值，为 12．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图1，一块矩形电子屏中，为上一感应点，，动点为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点以每秒1个单位的速度从点出发，沿匀速运动，到达点时停止．设光点的运动时间为秒，照亮的正方形区域的面积为．图2为点在运动过程中与的函数图象，其中点表示点运动到点时情形． (1)图2中______________；当时，照亮的区域面积___________． (2)当点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时是的二次函数．求出点在整个运动过程中关于的函数解析式； (3)若存在三个时刻、、对应的正方形的面积均相等． ①_____________； ②当时，则正方形的面积为________________． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确提取函数图象中的信息并分类讨论是解题关键； （1）先得出，利用勾股定理求出的长即可得出；根据及图象得出点运动到点时，由勾股定理求出即可得值； （2）分两种情况：当时，时，分别计算与的解析式即可; （3）①根据图象内的图象与内的图象关于直线对称，即可得解； ②由题意可知，函数的图象向右平移个单位与函数的图象重合，推导出，结合，解得，代入即可得解； 【详解】（1）解：，点的速度为每秒个单位， ， ∵四边形为矩形，，， ， ， 由图2可知，时， ， 时，点运动到点， ， . 故答案为：；； （2）当时， ； 当时，如图，连接， 点经过点又运动秒时，照亮区域的面积达到了最小； 此时，； 在和中， ， ， ， 时，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为设， 由（1）知图象经过，代入得：， 解得：， ， 综上， （3）①根据图象可知，内的图象与内的图象关于直线对称， ， 故答案为：； ②由题意可知，函数的图象向右平移个单位与函数的图象重合， 当和时，的值相等， ， 又， ， 解得； 此时正方形的面积； 故答案为： 地 城 考点02 经营销售与增长率等问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式．由“每天的利润每日销售量每盒利润”可列出y与x之间的函数表达式． 【详解】解：由题知：日销售量为盒， 每盒利润为元， ， 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，由题意可得销售每件的利润为，每星期的销售量为，再根据每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量即可得解． 【详解】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件． ∴销售每件的利润为，每星期的销售量为， 由题意可得， 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解决利润问题，解题的关键是找到等量关系列出函数及配方． 根据利润利润单价数量即可得到利润关于销售单价的函数关系式，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：设销售单价为x元，月销售利润为y元，由题意可得， ， 且， ∴， ∵， ∴当时，y最大． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值． 【详解】解：设每顶头盔的售价为元，获得的利润为元， ， 当时，取得最大值，此时， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元． 答：每顶头盔降了5元， 故答案为：5． 三、解答题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元，每日销售量y（）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于20元．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元） 7 8 9 y（） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为42000元 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得： ，解得：， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：由题意得： ， ， ， ∵，对称轴为直线， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴当时，w有最大值为42000元． ∴当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为42000元． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元 【分析】本题考查了一次函数解析式的确定，二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可列出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式． （2）解：设销售这种跳绳每天获利（元）， 根据题意，得 ， ， ∴有最大值， ∵，且点与对称轴的距离越小，函数值越大，且， 故当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元． 8．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商要想每天获得600元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3)在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为40元或60元 (3)销售单价为50元时，利润最大，最大利润为800元 【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可，设y与x之间的函数关系式为，将点，代入，求出k，b的值，即可解答； （2）由题意，利润，将代入，求解即可解答； （3）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵该函数的图象过，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意，设利润为w，则， ∴当时，， 解得，， ∴销售单价为40元或60元． （3）解：由（2）得到， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）利用以下素材解决问题 超市饮料定价问题 素材1 大华超市降价销售某种饮料，每箱成本为40元，每日销售量（箱）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如右图所示． 素材2 该饮料定价范围为45元至65元（包含45和65）． 素材3 为增加销量，超市每天有10箱饮料用来试喝． 任务1 求关于的函数关系式． 任务2 当单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 任务3 扣除赠饮成本后，要保证每天利润不少于1200元，求售价的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：当单价定为65元时，每天获利最大，最大利润为1750元；任务三： 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题）等知识点，根据题中的数量关系正确列出函数表达式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每日利润为元，根据“总利润单件利润每日销量”列出二次函数解析式，求最值即可； （3）先求出时的的值，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：任务一：设关于的函数解析式为， 将，代入解析式，得： ， 解得：， 关于的函数解析式为：； 任务二：设每日利润为元，根据题意得： ， ∵不在之内， 且在时，随的增大而增大， ∴当时，每天获得的利润最大，， 答：当单价定为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1750元； 任务三：由题意可得：， 整理，得：， 解得：，， ∵函数图象开口向下， ∴． 10．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，． (1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； (2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； (3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 【答案】(1)； (2)该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12万元资金才能使企业获利 (3)该企业至少要筹集到80万元资金 【分析】本题考查了正比例函数、二次函数的应用； （1）由待定系数法即可求解； （2）当时，解方程，即可求解； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元，进而求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设甲产品的利润为：， ∵ 在函数图象上， ∴，解得：， ∴甲产品的利润与投资之间的关系式为； 设乙产品的利润与投资金额的函数关系为： 将代入得， 解得： ∴， （2）当时，， 解得：． ∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过万元资金才能使企业获利； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元， ∴ 函数y的对称轴为直线， 当时，， ∴， 解得：， 答：该企业至少要筹集到80万元资金． 11．（24-25九年级上·浙江金华·期中）某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图甲），一件商品的成本（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图乙）． 根据图象提供的信息解答下面问题： (1)一件商品在6月份出售时的利润是多少元？（利润售价成本） (2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式； (3)请求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式．若该公司能在一个月内售出此种商品6万件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？ 【答案】(1)4 (2)（，t为整数） (3)W，获利220000元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）用6月份的售价减去成本计算即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）利用利润等于售价减成本，列出函数解析式，根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由图可知，这件商品六月份出售时的利润（元）； （2）由题意和图可知，抛物线的顶点坐标为， 设Q与t之间的关系式为， 把代入，得：， 解得a， ∴（，t为整数）； （3）由题意得，，设， ∵点满足此式， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴在5月份时出售这件商品的最低利润为元， 一个月内售出60000件这种商品的最少利润（元）， 答：一个月内售出6万件这种商品的最少利润是220000元． 地 城 考点03 拱桥等抛物线形问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（   ） A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B．直线的解析式为 C．点到杯口的距离为 D．点到点的距离为 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，直线与抛物线的交点问题，难度较大，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论． 【详解】解：由题意得，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴，故A说法正确； ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线：，故B说法正确； 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确； ，故D说法正确； 故选：C． 二、填空题 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长． 【详解】解：由题意得、两点纵坐标为8， 把代入得：， 解得， ∴ ∴米． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内． 【答案】5 【分析】本题考查了抛物线的问题，解题的关键是需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础． 以抛物线的对称轴为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定的范围，根据为正整数，得出的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图）， ，，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点和点， ∴ ∴，， 抛物线解析式为：； 当时，； 当时，． ，在抛物线上； 设竖直摆放圆柱形桶个时网球可以落入桶内， 由题意，得，， 解得：， 为整数， 的最小整数值为：5， 竖直摆放圆柱形桶至少5个时，网球可以落入桶内． 故答案为：5． 5．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液体最大深度为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于，再利用勾股定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，点所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，记与轴的交点为， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵碗口宽，此时面汤最大深度， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 把直线向下平移个单位可得：， 当与抛物线有1个交点时，两直线之间的距离为最大深度， ∴，即， ∴， 解得：， ∴平移后的直线为：， 如图，记平移后的直线与轴交于点，过作平移后的直线于， 同理可得：，， ∴，， ∴碗中液体最大深度为． 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）阅读材料 某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用根立柱将横杆六等分加固，相邻两根立柱间距米，的长为米． 问题解决 (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． (2)现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到根（将横杆八等分），并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的方法．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）先建立平面直角坐标系，得到，根据待定系数法，设，代入即可得解； （2）设增加立柱后原，，三点移动到，，， 由题意可知，，即的横坐标为， 继而得到，计算横向和纵向变化，进而得到至少还需要准备的钢筋长度． 【详解】（1）以为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向， 建立平面直角坐标系，如图所示． ∵相邻两根立柱间距米，的长为米， ∴． 设，则，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）设增加立柱后原，，三点移动到，，， 由题意可知，，即的横坐标为，       代入中得，       ∴， ∴，       ∴，       ∴至少还需要准备的钢筋长度为米． 7．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 【答案】(1)3， (2)点到地面的距离为2.25米 (3) 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，则， 解得：； 抛物线的表达式为，则点，即（米）； （2）解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得，解得， 抛物线的表达式为， 当时，（米， 点到地面的距离为2.25米； （3）解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称， 抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 整理得． 地 城 考点04 抛球、喷水等抛物问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解，求出点的坐标是解此题的关键． 【详解】解：在中，令，则， 解得：，（不符合题，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上册·浙江杭州·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断 【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=+3 将（0，0）代入解析式得a＝， ∴抛物线解析式为y=， 当x＝10时，y＝， ∵＜2.44，满足题意， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题实际作出取舍，然后加上3即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，当时，有： 整理得：， 解得：（舍），， ∴他与篮底的距离（米）， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由图可知，要求的长实际是需要点的横坐标，已知点的纵坐标为，将代入函数的解析式，求出的值，再舍去不符合实际的一个的值即可，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：当时，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴点， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若排球运动员本次练习发球过程中球会超过球网但不会出界（可以压线），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意构造不等式进行解答即可． 【详解】解：球会超过球网， 当时，， 解得 ∵球不会出界网， 当时，， 解得 ． 故答案为： 7．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），为小斜坡，且为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为，当发射口抬高1米即时，刚好击中点E，则的长是 ；若要击中目标区域，则的取值范围是 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数应用，建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解题的关键．待定系数法求出函数表达式：；当时，；而点F、G的坐标分别为：，将点F的坐标代入得：，解得：；将点G的坐标代入，同理可解． 【详解】解：以点B为原点，建立如下直角坐标系， 由题意得，点，函数的顶点为：， 设抛物线的表达式为：， 将点代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，即上述抛物线向上平移1个单位，则抛物线的表达式为：， 当时，， 设抛物线的表达式为：， 而点F、G的坐标分别为：， 将点F的坐标代入得：， 解得：； 将点G的坐标代入得：， 解得：， 即， 故答案为：0.599，． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线的对称轴的右侧，则抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意设出抛物线顶点式是解题关键．根据已知得抛物线L的顶点是，设抛物线L为，把代入解析式可求出a，把代入抛物线L的解析式求出点A坐标，再根据题意设抛物线解析式为，把点A坐标代入抛物线解析式求出m即可． 【详解】解：根据已知得抛物线L的顶点是， 设抛物线L为， 把代入解析式得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为． ∵点A在抛物线L上， ∴当时，即， 解得：， ∴． ∵开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高度的， ∴抛物线顶点纵坐标为2， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得：或（舍去）， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，回答下列问题： (1)小球最高离地面多少米？ (2)小球从飞出到落地需要多少时间？ 【答案】(1)小球飞行的最大高度是； (2)小球从飞出到落地需要． 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式是解题关键． （1）把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值； （2）当时，求得，即可得到小球从飞出到落地需要的时间 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为20， ∴小球飞行的最大高度是； （2）解：当时，得， 解得：或0， 答：小球从飞出到落地需要． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期中）市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 【答案】(1)雕塑为 (2)水柱喷水的半径为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设水柱抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）依据同意，结合（1）所求解析式，由当时，，可得或，进一步计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意，设水柱抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴水柱抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴． ∴雕塑为； （2）解：由题意，结合（1）， ∴令时，， ∴或(舍去)， ∴， ∴， ∴水柱喷水的半径为． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题： (1)求出水柱最高点P到地面的距离． (2)若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)雕塑的高度应小于米 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，二次函数的性质，正确得出函数解析式是解题关键． （1）依据题意，可得，，又水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米，则可设，再将，代入解析式求出，后，得出顶点，然后可以判断得解； （2）依据题意，当时，，进而得解． 【详解】（1）解：由题意，，． 水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米， 可设． 将，代入上面的解析式可得， ， ． 水流所在抛物线为． 顶点为． 水柱最高点到地面的距离为米． （2）解：雕塑的高度应小于1.25米．理由如下： 当时，． 答：雕塑的高度应小于米． 12．（24-25九年级上·浙江·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】(1)； (2)m． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得：， 解得：， ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：． （2）在中， 当时，（）， 答：这个装饰物的设计高度（）． 13．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 【答案】(1)排球不能打过网 (2)当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高 (3)排球落在界内 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的值与排球的高度的关系及二次函数的性质是解题的关键． （1）计算当时的函数值，将函数值与比较即可解答； （2）将二次函数解析式化成成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）计算当时的函数值，当时，排球将落在界内；当时，排球落在边界上；当时，排球落在界外，据此判定即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 故排球不能打过网． （2）解：∵， ∴当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高． （3）解：当时，， ∴排球落在界内． 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 ... y 0 6 8 n ... (1)①，； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系，求v的值． 【答案】(1)①3，6；②； (2)的值为． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式等知识，从图象和表格中获取数据是解题的关键． （1）由抛物线的顶点坐标为可建立过于，的二元一次方程组，求出，的值即可； ②联立两函数解析式求解，可求出交点的坐标； （2）根据题意可知最大高度为米，将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得值． 【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离(米)与小球飞行的高度(米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为： 当时， 解得：或(舍去)， 当时， 故答案为：，； ②联立得： ， 解得：或， ∴点的坐标是； （2）解：由题意可知小球飞行最大高度为米， ∴ ∴ 解得：， (负值舍去)， ∴的值为． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为．    (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 【答案】(1)50米 (2) (3)；31.25米 【分析】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． （1）过作于，于，根据题意得出，即可求解； （2）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论； （3）作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为． 【详解】（1）解：过作于，于，如图所示：   ， 着陆坡的坡角为，即， ， 在中，， 则， ∴垂直下降了50米； （2） ， ，即，， 将，代入得， 解得， ∴； （3）作轴交抛物线于，交于，如图所示：    设直线的表达式为，将，代入得，解得， 即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， ， 运动员离着陆坡的竖直距离， 由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为． 16．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某市女生双手排球垫球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为．如图所示，某次模拟测试中，某同学在离地面水平距离的处将球垫偏，之后又在A，B两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线在同一平面内），最终正好在处垫住．以为坐标原点，与地面平行的水平直线为轴，为单位长度建立直角坐标系，已知点，点的横坐标为，抛物线和的表达式分别为和． (1)求抛物线的函数表达式． (2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由． (3)若第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度恰好达到要求，求该女生第三次垫球处离地面的高度为多少米？ 【答案】(1) (2)未达到要求，理由见解析 (3)该女生第三次垫球处离地面的高度为米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式； （2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案； （3）根据的解析式，求出顶点坐标，根据球在运动中离地面的最大高度恰好达到要求，结合（1）中，求出的值，再根据点的横坐标为，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，将代入，得：， 解得： ； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点为， 处距离地面1米， 最大高度为 未达到要求； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点， 最大距离恰好达到要求， 由（1）知， ， 解得：或， 同号，则 的横坐标为， 米 该女生第三次垫球处离地面的高度为米． 17．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中） 主题 探究滑雪运动员起跳后飞行路线的函数关系 素材1 研究步骤： （1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置； （2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； （3）数据分析，形成结论． 实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如表所示： 0 2 4 6 8 10 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 23.00 素材2 根据上述表格绘制图表：从起跳点到最后着陆点的示意图如图所示： 根据提供的素材，解决问题： 任务1： 定函数 根据表中信息，求起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式． 任务2： 求最值 通过分析实验数据，你认为运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是________m； 任务3： 算距离 若运动员最后着陆点的竖直高度为，求运动员最后着陆点与起跳点的水平距离． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的性质．正确求出二次函数的解析式是解题关键． 任务1：由表格可知该抛物线对称轴为直线，即为该抛物线顶点，从而可设顶点式，再将，代入求解即可； 任务2：结合（1）可知，即得出答案； 任务3：令，求出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：任务1：根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数，且当时，；当时，， ∴该抛物线对称轴为直线， ∴为该抛物线顶点， ∴可设抛物线解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 任务2：由（1）可知当时，y取最大值，即， ∴运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是 任务3：令，则， 解得：，（舍）， ∴运动员最后着陆点与起跳点的水平距离为． 地 城 考点05 三角形面积、与一次函数图象等问题 一、单选题 1．（24-25·浙江金华·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】与关于y轴对称 抛物线的对称轴为y轴， 因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称 设与交点为，则 ， 即在点之间的函数图像满足题意 的解集为： 故选D． 二、填空题 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交点C， ∴， ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， ∵二次函数与一次函数的图象经过点和点， ∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，灵活运用二次函数顶点式，图象和性质及分类讨论的方法是解题的关键． 画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域(包括边界)恰有4个整点的边界，易知抛物线的顶点坐标为，当时，过点， ， ，显然，“整点”，，符合题意，再将和代入即可，当时，过点， ，，，显然，“整点”，，符合题意，再将，代入即可得a的取值范围． 【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有， ，，，，，共6个， 的取值范围是； Ⅱ抛物线的顶点坐标为， 过点， ，，， 当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶ ①当拋物线经过时，，解得，此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个， ②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，，共5个， 的取值范围是； 故答案为：或 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求此抛物线的解析式， (2)设该抛物线与x轴交点为A，B（A在B的左边），若P在此抛物线上且的面积为4，试求出P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为和 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、利用待定系数法求二次函数的解析式及函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法以及二次函数图象上点的坐标特征是关键. （1）根据抛物线的对称轴为直线，且过点可以求得和的值，从而可以解答本题； （2）根据解析式求得、的坐标，即可求得，利用三角形面积公式求得点的纵坐标，进一步求得横坐标. 【详解】（1）解：由抛物线的对称轴为直线，得，     ∴，把代入得，     ∴此抛物线的解析式； （2）解：如图，当时解得或， ∴，，， 设抛物线上的点，由题意得：， ，     当时，得， 解得，，    当时，得，此方程无解，   ∴符合题意的点P的坐标为和． 5．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连结． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若在x轴上方的二次函数的图象上有一点D（不与点C重合），使，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数的解析式，令可求出B的坐标； （2）因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得：，解得． 二次函数解析式为：． 当时，， 解得：． 点B的坐标为． （2）解：和有公共底，所以只需要高相等，面积就相等． 当时，， ∴， 解得：． 点D的坐标为． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)结合图象，当时，求出的取值范围； (3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识． （1）利用配方法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，利用图象法判断即可； （3）利用轴对称解决最短问题即可． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为； （2）当时，， 解得或， 抛物线的顶点坐标为， 观察图象可知，当时，； （3）如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接． 抛物线的对称轴是直线 又，关于直线对称， ，此时，此时的值最小，即的周长最小， ，， 设的解析式为， 则 解得： 直线的解析式为， 当时，， ． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点．    (1)求、的值； (2)求三角形的面积； (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 【答案】(1)1,3 (2)3 (3) 【分析】对于（1），令求出点A的坐标，再代入一次函数关系式可求出k的值，然后将两个函数关系式联立可求出m的值； 对于（2），先求出点D的坐标，可得点B的坐标，即可解答； 对于（3），设点，再表示出，然后讨论极值即可． 【详解】（1）当时，， 解得， ∴点. ∵直线经过点A， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点. 所以； （2）二次函数， ∴点. 当时，， ∴点. 所以； （3）设点，则点， ∴，， ∴ ， 当时，的面积最大值为．    8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5；2； (2)； (3)，或，或，或． 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得b的值； （2）设，则，由，可得，解出t的值可得P的坐标为； （3）过M作轴交直线于K，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：5；2； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为，设，则，， ∵， ∴， 解得或（此时P不在直线上方，舍去）； ∴P的坐标为； （3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；理由如下： 过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 解得或 ∴M的坐标为，或，或，或． 地 城 考点06 与几何图形结合的综合运用 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，得出 ，进而根据四边形的邻边之比为：，分类讨论，设点A横坐标为m表示出的坐标，进而即可求解． 【详解】解：依题意是矩形； 把点代入中得， 解得， ∴， ∵点， ∴， ∴ ， ∵四边形的邻边之比为：时， 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 综上所述线段的长为或 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为： 将代入得： ∴直线的表达式为： 解方程组得：或 ∵点在第三象限 ∴点的坐标为 故选：B． 二、解答题 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）过点P作轴于点Q，交于点M，求出直线解析式为．设，则，可求出，再根据，结合二次函数的性质求解即可； （3）由（2）同理可得，，即可求出，，结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点Q，交于点M， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为8； （3）解：同（2）可知，， ∴，． ∵， ∴． 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为； 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为． 综上可知存在点，使，点的坐标为或． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为 (3)存在，点的横坐标为，或 【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）解方程得到，，即可得到答案； （2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：令，代入得：， 解得，， ∴； （2）设直线的表达式为，把、代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴当时，的最大值为． （3）①当为平行四边形的边时，． ∴，关于直线对称 ∵ 点的横坐标为或． ②当为平行四边形的对角线时，设点，则点， ∵点在抛物线上 ∴ 解得， ∵点在第三象限 ∴点在第一象限 ∴点的横坐标为 综上所述：点的横坐标为，或． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，抛物线经过点，，并交x轴于点E，F（点F在点E的右边）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图2，为y轴上一动点，点D的坐标为，过三点P，E，F作抛物线，连接． ①当抛物线的顶点落在线段上时，求此时t的值． ②当抛物线与线段只有一个交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②t的取值范围为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得点，，再求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求得的函数表达式，即可求解； ②分情况讨论，当，且抛物线在点D的上方时，抛物线与线段只有一个交点；当抛物线与线段相切时；当，且抛物线在点B的下方时，抛物线与线段只有一个交点，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴； （2）解：①在中， 令，解得，， ∴点，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 把，代入得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴抛物线的顶点坐标为， 设的函数表达式为， 把，代入，解得， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴把代入，得； ②设的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴的函数表达式为， 当，且抛物线在点D的上方时，抛物线与线段只有一个交点， 此时，； 当抛物线与线段相切时， 联立得， 整理得， ， 解得或（舍去）， 当，且抛物线在点B的下方时，抛物线与线段只有一个交点， 把代入，得，解得 此时，； 综上，t的取值范围为或或． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【答案】（）见解析；（）或；（）． 【分析】（）由中是斜边的中线可得，由抛物线对称性可得 ，即证得是等边三角形； （）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求坐标，即能求点坐标，由于不确定点纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式； （）根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出的坐标，得到等边 ，所以即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，能被整除，代入即能求此时点坐标； 本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）证明：∵， 点是的中点， ∴， ∵抛物线以为顶点与轴交于两点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； （）∵且，点在轴上且在的左边， ∴ ∵一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，设抛物线解析式为把点代入得：， ∴， ∴， 当时，设抛物线解析式为， 把点代入得： ∴， ∴， 综上所述，这条抛物线的解析式为或 ； （）∵抛物线， ∴向下平移个单位后得抛物线， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与 相同，第三次翻滚得 ， 即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为： ， ∵ ∴， ∴第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 地 城 考点07 其他问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（   ） A．20秒 B．25秒 C．30秒 D．40秒 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握当飞机停止时，取得最大值．先将函数关系表达式化为，由飞机停止时，取得最大值，即可得到答案． 【详解】解： 当时，取得最大值，即此时飞机滑行停止 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，若记张溟鲲起跳后时间为t秒，他所处的高度为h米，则可用函数来描述他起跳后高度的变化，当，，时；所对应的高度记为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得抛物线开口向下，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（    ） A．5：2 B． C．3：2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求得和，结合比值进行二次根式的化简即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间 秒时，篮球距离地面最高． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，篮球距离地面最高，则此时篮球处于二次函数的顶点处，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高， ∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为 米． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数的应用，根据二次函数图象与x轴的交点问题，由求得x值，进而可求解． 【详解】解：对于， 令，由得，， ∴足球从离地到落地的水平距离为米， 故答案为：12． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了 ． 【答案】3秒/ 【分析】本题考查了抛物线的最值与刹车距离的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】， 当时，是最大时间， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）综合与实践 素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离（单位：）与相对应的飞行高度（单位：）的数据（如表） 飞行水平距离（单位：） 0 20 40 60 80 100 … 飞行高度（单位：） 0 40 64 72 64 40 … 素材2：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度（单位：）与水平飞行距离（单位：）满足二次函数关系． 任务1：请求出关于的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离； 任务2：在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 【答案】任务1：，航模的最远飞行距离为；任务2：发射平台相对于安全线的最低高度为 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用： 任务1：根据题意可得顶点为．故可设抛物线为，再把代入解答，即可求解； 任务1：设发射平台相对于安全线的高度为，可得飞机相对于安全线的飞行高度为：，再由当时，，即可求解． 【详解】任务一：解：由题意，根据所给表格数据，可得抛物线的对称轴是直线， ∴顶点为． 故可设抛物线为， 又抛物线过， ∴， ∴， ∴所求抛物线为， 又令， ∴， ∴（舍去）或， 故航模的最远飞行距离为； 任务2：设发射平台相对于安全线的高度为， 飞机相对于安全线的飞行高度为：， 当时，， ∴，解得， ∴发射平台相对于安全线的最低高度为． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）综合与实践：探究对比两种水杯装水情况 【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积与高度之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度，2号杯的水面高度（其中近似关于V的二次函数）． 【项目解决】 (1)目标1：确定2号杯水的高度． 求关于V的函数关系式． (2)目标2：比较水杯的装水高度． 在相同体积下，当两个杯中水在时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）根据待定系数法求关于V的函数关系式． （2）求出，再计算的值，求出在范围内最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得关于V的函数关系式过，，， ∴设，代入，，得， 解得，， ∴； （2）解：设，代入得， 解得， ∴， ∴， ∴在范围内，当时，的值最大，其最大值为0.2． ∴2号杯水面与1号杯水面的最大高度差为． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【答案】(1)图像见解析；；； (2)①；②能相遇，相遇点到点． 【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式； （2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离． 【详解】（1） 由图像猜测是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； 由图像猜测是的二次函数，且过原点， 设，表中取点，代入得： 解得：，， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）①由（1）可知，， ，即， 又的对称轴为，且开口向下， 当时，取最大值为：， 黑球在水平木板上滚动的最大距离为； ②由题意可知，时，白球从处出发， 当时，设表示白球在木板上滑行的距离， 则， ， 令，即， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 将代入， 相遇点到点的距离为． 试卷第1页，共3页 3 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $