第四章 提分微专题 相似三角形的五大常考模型-2025年中考数学一轮复习（江西）

提分微专题　相似三角形的五大常考模型 类型1 平行线型(“A”型, “X”型相似) 模型分析　如图1、图2,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图1为“A”型,图2为“X”型,故称之为平行线型相似三角形. 1.如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连接DE交AC于点G,交BC于点F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有 对.  2.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,∠ABE=∠AED,且AB=6,AC=9,则CE的长为 .  3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E在CD上,连接AE并延长,交BC的延长线于点F. (1)求证:△ADE∽△FCE. (2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的长. 类型2 不平行型(斜交型相似) 模型分析　如图1、图2,若∠AED=∠B,则△AED∽△ABC,称之为斜交型相似三角形. 4.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC. (1)求证:△ADE∽△ABC. (2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的长. 5.如图,小明画了一个锐角△ABC,并作出了它的两条高AD和BE,两高相交于点P.请你判断图形中共有几对相似三角形,并就其中的一对进行证明. 类型3 子母型 模型分析　如图,已知∠1=∠2,结论:△ACD ∽△ABC. 我们不仅要熟悉模型,还要熟记模型的结论,有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系,我们要能快速判断题中的相似三角形,模型中由△ACD ∽△ABC进而可以得到AC2=AD·AB. 6.如图,在△ABC中,P为AB上一点,则在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③∠CAP=∠BAC;④=.其中能确定△APC和△ACB相似的是 (只填写序号).  7.如图,在△ABC中,AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2. (1)求证:△ABD∽△CBA. (2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长. 类型4 一线三等角型 模型分析　已知:如图1,2,3,∠B=∠ACE=∠D. 结论:△ABC∽△CDE. 如图1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,又∵∠B=∠ACE,∴∠DCE=∠A, ∴△ABC∽△CDE.图2,3同理可证△ABC∽△CDE. 在一线三等角的模型中,难点在于当已知三个相等的角的时候,容易忽略隐含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似应用较多,当看见该模型的时候,应立刻能看出相应的相似三角形. 8.在▱ABCD中,AB=6,BC=8,E为BC上一点. (1)如图1,F为AB上一点,∠DEF=∠B=90°,=2.当BE>CE时,求证:DE=EF. (2)如图2,F为AB上一点,∠DEF=∠B=60°.当△DEF为直角三角形时,求AF的长. 9.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,DE⊥DF,∠DEF=45°,DF的延长线与BC的延长线交于点G. (1)求证:△BDE∽△CEF. (2)若AD=1,AF=2,求EC的长. (3)若tan∠BDE=,求的值. 类型5 旋转型 模型分析　条件:如图1,CD∥AB(△OCD∽△OAB),将△OCD 旋转至如图2,3所示的位置. 结论:图2,3中①△OCD∽△OAB;△OAC∽△OBD;②AC交BD于点E,必有∠AEB=∠AOB;③点 E 在△OAB 的外接圆上. 10.如图,△ABC和△DBE的顶点B重合,∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠BDE=30°,BC=3,BE=2. (1)特例发现:如图1,当点D,E分别在AB,BC上时,可以得出结论:=　　　　,直线AD与直线CE的位置关系是　　　　.  (2)探究证明:如图2,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转,使点D恰好落在线段AC上,连接EC,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 11.已知点E在正方形ABCD的对角线AC上,正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A. (1)如图1,当点G在AD上,点F在AB上,求的值. (2)将正方形AFEG绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),如图2,求的值. (3)若AB=8,AG=AD,将正方形AFEG绕点A逆时针旋转α(0°<α<360°),当C,G,E三点共线时,请直接写出DG的长度. 参考答案 1.5　2.5　3.(1)略　(2)3　4.(1)略　(2)　5.略 6.①②④　7.略　8.(1)略　(2)　9.(1)略　(2)3　(3)5　10.(1);垂直　(2)结论成立.证明略 11.(1)∵正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A,点G在AD上,点F在AB上, ∴GE∥DC, ∴=,∴=. ∵四边形AFEG是正方形, ∴AE=AG, ∴===×=2. (2)如图1,连接AE. ∵正方形AFEG绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°), ∴∠DAG=∠CAE. ∵==, ∴△GAD∽△EAC, ∴==. (3)4-4或4+4. 提示:①如图2, ∵AB=8,AG=AD, ∴AD=AB=8,AG=×8=8,AC=AB=16. ∵G,E,C三点共线, 在Rt△AGC中,GC===8, ∴CE=GC-GE=8-8. 由(2)可知△GAD∽△EAC, ∴==, ∴DG===4-4. ②如图3. 由(2)知△ADG∽△ACE, ∴==, ∴DG=CE. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=BC=8,AC==16. ∵AG=AD,∴AG=AD=8. ∵四边形AFEG是正方形, ∴∠AGE=90°,GE=AG=8. ∵C,G,E三点共线,∴∠AGC=90°, ∴CG===8, ∴CE=CG+EG=8+8, ∴DG=CE=4+4. 综上所述,当C,G,E三点共线时,DG的长度为4-4或4+4. 学科网（北京）股份有限公司 $$