精品解析：天津市蓟州区擂鼓台中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷

天津市蓟州区擂鼓台中学2024-2025学年度第一学期 第二次月考试卷 一、选择题 1. （ ） A. B. 1 C. D. 2. “”是“”（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在的区间是（　　） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，且，则等于（ ） A. B. 10 C. 20 D. 100 8. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 10. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题 11. 函数的零点的集合为____ 12. 若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是______. 13. 已知函数的图象恒过定点P，若幂函数的图象经过点P，则的值为______． 14. 若函数，且，在上的最大值比最小值大，则__________. 15. 已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 16. 已知函数，当方程有两解时， 的取值范围是__________. 三、解答题 17. 已知，且是第三象限角，求的值. 18. 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求. 19. 已知函数，，其中且，设. （1）求函数的定义域； （2）若，求使成立的的集合. （3）判断函数的奇偶性，并说明理由. 20. 已知奇函数. （1）求的值. （2）利用函数定义证明函数单调递增. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市蓟州区擂鼓台中学2024-2025学年度第一学期 第二次月考试卷 一、选择题 1. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算可得答案. 【详解】由对数的运算可得： ， 故选：B. 2. “”是“”（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性，结合充要条件推出结果即可． 【详解】指数函数，是增函数，所以“”“”，“”“”， 可得“”是“”的充要条件． 故选C． 【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用，是基础题． 3. 函数的零点所在的区间是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可． 【详解】解：函数，因为是增函数，是增函数， 所以函数是增函数． ． ． . ．． 函数的零点所在的区间是：（1，2）． 故选：C． 【点睛】一是严格把握零点存在性定理的条件； 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件； 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性解不等式分别求出集合，再求交集即可. 【详解】集合， 集合， 则. 故选：A. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别限定a，b，c的取值范围即可比较出大小. 【详解】由指数函数在R上单调递增可知，，即； 由对数函数在上单调递增可知，，即; 由对数函数在上单调递减可知，，即 所以，可得 故选：C 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式的运算性质及指数，对数的运算性质即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 7. 设，且，则等于（ ） A. B. 10 C. 20 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】利用指对数转化得到，，进而得到，再利用对数性质求解即可. 【详解】因为，所以，，所以， 所以，所以. 故选：A. 8. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解，注意函数的定义域. 【详解】解：由，得， 所以函数定义域为， 令， 则函数在上递减，在上递增， 又因外函数为增函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B. 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简求解即可. 【详解】. 故选：C. 10. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】设至少需要过滤次，则，结合指数与对数的互化解不等式，由此可得结论． 【详解】设至少需要过滤次，则， 即, 所以， 即， 又，所以， 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D． 【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 二、填空题 11. 函数的零点的集合为____ 【答案】 【解析】 【分析】令，解方程求解即可. 【详解】令，解得或， 所以函数的零点的集合为. 故答案为：. 12. 若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接求解即可. 【详解】根据题意得，该扇形的面积为. 故答案为：. 13. 已知函数的图象恒过定点P，若幂函数的图象经过点P，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求解出定点坐标，代入幂函数解析式求解出，从而得到. 【详解】令，则恒成立 故函数恒过，即 幂函数的图象经过点 则，解得 故 本题正确结果： 【点睛】本题考查定点问题、利用解析式求解函数值问题，属于基础题. 14. 若函数，且，在上的最大值比最小值大，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，由已知得到关于实数的方程求解即得. 【详解】若，则函数在区间上单调递减， 所以， 由题意得，又，故； 若，则函数在区间上单调递增， 所以， 由题意得，又，故. 所以的值为或. 故答案为：或. 15. 已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由于，且，由图象可知，且， 则，，， 对于双勾函数，任取、，且，即， ， ，则，，， 所以，双勾函数在区间上单调递减，当时，. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】解本题的关键在于分析出，并将问题转化为利用双勾函数的单调性求值域，考查学生的计算能力. 16. 已知函数，当方程有两解时， 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，观察直线与函数的图象的交点，由此可得出实数的取值范围. 【详解】，作出函数与函数的图象如下图所示： 由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，所求的的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 17. 已知，且是第三象限角，求的值. 【答案】， 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. 【详解】因为，且是第三象限角， 所以， 故. 18. 已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求. 【答案】 当a＞0时，sin α＝，cos α＝，tan α＝；当a＜0时，sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. 【解析】 【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解. 【详解】r＝＝5|a|. 当a＞0时，r＝5a， ∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝， tan α＝＝＝； 当a＜0时，r＝－5a， ∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. 综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝. 【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos=, tan= . 19. 已知函数，，其中且，设. （1）求函数的定义域； （2）若，求使成立的的集合. （3）判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）奇函数，理由如下： 由（1）可知定义域关于原点对称， ∴， ∴， ∴函数是奇函数. 【解析】 【分析】（1）分别求出和定义域，然后求交集得到的定义域； （2）由求出的值，由此知道解析式，建立不等式解得的范围； （3）用定义法得到函数的奇偶性. 【小问1详解】 的定义域为， 的定义域为， 的定义域为. 【小问2详解】 ，又，∴， ∴， 等价于， ，解得， 故使成立的的集合为. 【小问3详解】 略 20. 已知奇函数. （1）求的值. （2）利用函数定义证明函数单调递增. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 由(1)可知，定义域为， 设，且，则 ， 因为，所以，即， 而，所以，即， 所以函数单调递增； （3） 【解析】 【分析】(1)利用奇函数的定义，列式化简即可求的值； (2)利用单调性的定义进行证明； (3)利用函数的单调性与奇偶性将不等式进行变形，转化为对恒成立问题进行求解. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是奇函数且在上单调递增，所以不等式 ，对恒成立， 当时，不等式化简为，符合题意； 当时，，即. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $