河南省郑州市第四十七初级中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

2024-2025学年河南省郑州四十七中八年级（上）月考 数学试卷（12月份） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）在实数2，0，，，，（每两个1之间依次多1个中，无理数的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）下列命题是真命题的是　　 A．面积相等的两个三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，，则 3．（3分）点关于轴的对称点坐标是，则点关于轴的对称点坐标是　　 A． B． C． D． 4．（3分）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 5．（3分）将两个完全相同的三角板斜边重合如图放置，其中．若直线，则图中的度数为　　 A． B． C． D． 6．（3分）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房间，房客人，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 7．（3分）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解是　　 A． B． C． D． 8．（3分）函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 9．（3分）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为△的斜边，直角边，．△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 10．（3分）如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边交于点，的长度与点的运动时间（秒的函数图象如图②所示．当点运动3秒时，的长是　　 A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）4的平方根是 　　． 12．（3分）某水果店销售11元，18元，24元三种价格的水果，根据水果店一个月这三种水果销售量的统计图（如图），可计算出该店当月销售出水果的平均价格是 　　元． 13．（3分）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为 　　． 14．（3分）如图，下列推理：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是 　　．（填序号） 15．（3分）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将△沿折叠，使点落在点处，当△是直角三角形时，的长为 　　． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（10分）计算： （1）； （2）解方程组：． 17．（9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： ．七年级成绩频数分布直方图： ．七年级成绩在这一组的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 ．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　　人； （2）表中的值为　　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数． 18．（9分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出△关于轴对称的△，并写出点为 　　，　　； （2）求出△的面积为 　　； （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点为 　　，　　． 19．（9分）为更好地开展第二课堂，丰富学校兴趣社团活动内容，某校增设了篆刻兴趣社团．现计划购进一批篆刻石料，已知两个商家的标价相同，但甲商家提出：若购买一张会员卡，则每块石料打七折；乙商家提出：每块石料按标价的九折出售．设购买篆刻石料的数量为（块，甲商家所需费用；乙商家所需费用．其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． （1）甲商家一张会员卡的价格为 　　元，篆刻石料的标价为 　　元，　　． （2）两个函数图象交于点，则点的坐标为 　　，该点所表示的实际意义是 　　． （3）若学校准备买40块石料，则选择哪个商家比较合算？请说明理由． （4）若本次购买石料的经费有800元，则选择哪个商家购买的石料数量会更多？ 20．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？，结果保留1位小数） 21．（9分）近日，我校正在创建“绿色校园”，为了进一步美化校园，我校计划购买、两种花卉装点校道，学校采购人员去花卉基地调查发现：购买2盆种花和1盆种花需要13元，购买3盆种花和2盆种花需要22元． （1）求、两种花的单价各为多少元？ （2）学校若购买、两种花共1000盆，且购买的种花不少于500盆，但不多于700盆． ①设购买的种花盆，总费用为元，求关于的函数关系式； ②请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 22．（9分）同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象与性质． （1）列表： 0 1 2 3 3 表格中　　，　　； （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论　　； 结论　　； （4）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，函数的图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 　　； （5）写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 23．（12分）已知：点在射线上，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 2024-2025学年河南省郑州四十七中八年级（上）月考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C C A C D D A 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）在实数2，0，，，，（每两个1之间依次多1个中，无理数的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：是无理数； 是无理数， 2，0，是整数，属于有理数， （每2个1之间依次多一个是无限不循环小数，属于无理数， 无理数有，，（每2个1之间依次多一个，共3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 2．（3分）下列命题是真命题的是　　 A．面积相等的两个三角形全等 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，，则 【分析】由对顶角的定义，全等三角形的判定，平行线的性质，即可判断． 【解答】解：、面积相等的两个三角形不一定全等，故不符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，故不符合题意； ，两直线平行，内错角相等，正确，故符合题意； 、若，，则和可能相等，例如：，，，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查对顶角，全等三角形的判定，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（3分）点关于轴的对称点坐标是，则点关于轴的对称点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于轴、轴对称的点坐标之间的关系进行判断即可． 【解答】解：点关于轴的对称点坐标是， 点， 关于轴的对称点坐标是， 故选：． 【点评】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，掌握关于轴、轴对称的点的坐标的特征，即关于轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于轴对称的两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，是正确解答的前提． 4．（3分）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据开方运算，可得算术平方根、立方根． 【解答】解；、9的算术平方根是3，故错误； 、的立方根是，故错误； 、，4的算术平方根是2，故正确； 、算术平方根都是非负数，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了立方根和算术平方根，负数的立方根是负数． 5．（3分）将两个完全相同的三角板斜边重合如图放置，其中．若直线，则图中的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知易得：，然后利用两直线平行，同位角相等可得，即可解答． 【解答】解：， ， 直线， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（3分）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房间，房客人，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ； 如果每一间客房住9人，那么就空出一间房， ． 根据题意可列方程组． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．（3分）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：一次函数与的图象的交点坐标为， 关于，的方程组的解是． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 8．（3分）函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据正比例函数和一次函数图象的特点进行选择正确答案． 【解答】解：、由的图象知，则，所以的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． 、由的图象知，则，所以的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． 、由的图象知，则，所以的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意． 、由的图象知，则，所以的图象经过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 9．（3分）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为△的斜边，直角边，．△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形可知：整个图形的面积减去以为直径的半圆的面积就是阴影部分的面积，然后计算即可． 【解答】解：在△中， ． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．（3分）如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边交于点，的长度与点的运动时间（秒的函数图象如图②所示．当点运动3秒时，的长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据运动速度乘以时间求得路程，可得点的位置，根据线段的和差，可得的长，最后根据勾股定理，可得的长度． 【解答】解：由题可得：点运动3秒时，点运动了， 此时，点在上， ， △中，由勾股定理，得 ， 故选：． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，依据点的位置，利用勾股定理进行计算是解题关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）4的平方根是 　　． 【分析】一个数的平方等于，那么这个数即为的平方根，据此即可求得答案． 【解答】解：，， 的平方根是， 故答案为：． 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 12．（3分）某水果店销售11元，18元，24元三种价格的水果，根据水果店一个月这三种水果销售量的统计图（如图），可计算出该店当月销售出水果的平均价格是 　15.3　元． 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【解答】解：该店当月销售出水果的平均价格是（元， 故答案为：15.3． 【点评】本题考查扇形统计图及加权平均数，解题的关键是掌握扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小及加权平均数的计算公式． 13．（3分）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为 　　． 【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数． 【解答】解：， 则， 点表示， 点表示的数为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 14．（3分）如图，下列推理：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的是 　①　．（填序号） 【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可． 【解答】解：， ，故①正确； 根据不能推出，故②错误； 根据能推出，不能推出，故③错误； 根据不能推出，故④错误； 即正确的是①， 故答案为：①． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 15．（3分）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将△沿折叠，使点落在点处，当△是直角三角形时，的长为 　6或　． 【分析】根据勾股定理得到，根据已知条件得到当△是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，推出点在上，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在△中，，， ， ， ， 点是边上的一点， ， 当△是直角三角形时，或， ①当时，则， 将△沿折叠，使点落在点处， ， ， ②当时， 将△沿折叠，使点落在点处， ，，， ， 点在上，如图， ，，， ， ， ， ， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（10分）计算： （1）； （2）解方程组：． 【分析】（1）先计算绝对值，开方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）， ①②得，， ， 把代入②得，， ， 原方程组的解为：． 【点评】此题考查的是实数的运算，解二元一次方程组，掌握绝对值，开方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解决此题的关键． 17．（9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： ．七年级成绩频数分布直方图： ．七年级成绩在这一组的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 ．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　23　人； （2）表中的值为　　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数． 【分析】（1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得． 【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人， 故答案为：23； （2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78， ， 故答案为：77.5； （3）甲学生在该年级的排名更靠前， 七年级学生甲的成绩大于中位数77.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后， 甲学生在该年级的排名更靠前． （4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为（人． 【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 18．（9分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出△关于轴对称的△，并写出点为 　　，　　； （2）求出△的面积为 　　； （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点为 　　，　　． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接，交轴于点，则点即为所求，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：；2． （2）△的面积为． 故答案为：． （3）如图，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：0；2． 【点评】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 19．（9分）为更好地开展第二课堂，丰富学校兴趣社团活动内容，某校增设了篆刻兴趣社团．现计划购进一批篆刻石料，已知两个商家的标价相同，但甲商家提出：若购买一张会员卡，则每块石料打七折；乙商家提出：每块石料按标价的九折出售．设购买篆刻石料的数量为（块，甲商家所需费用；乙商家所需费用．其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． （1）甲商家一张会员卡的价格为 　100　元，篆刻石料的标价为 　　元，　　． （2）两个函数图象交于点，则点的坐标为 　　，该点所表示的实际意义是 　　． （3）若学校准备买40块石料，则选择哪个商家比较合算？请说明理由． （4）若本次购买石料的经费有800元，则选择哪个商家购买的石料数量会更多？ 【分析】（1）根据题意和图象，当时，的值即为甲商家一张会员卡的价格；设石料标价为元，根据题意得出，求出的值，再求出即可； （2）设点的坐标为，分别代入两个函数，构成二元一次方程组，求解即可；两个函数在交点处的横坐标和纵坐标分别相等，点的实际意义据此作答即可； （3）当时，分别计算和的值，结果较小的比较合算； （4）分别计算当和时对应的值并比较大小，据此作答即可． 【解答】解：（1）根据图象可知，会员卡的价格100元， 设石料标价为元， 根据题意得：， 解得 ， ． 故答案为：100，10，9； （2）设，则， 解得， 点的坐标为，该点所表示的实际意义是当购买50块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均为450元． 故答案为：，当购买50块石料时，甲、乙两个商家所需费用相同，均为450元； （3）学校选择乙商家比较合适，理由： 当时，，， ， 学校选择乙商家比较合适； （4）当时，，解得； 当时，，解得， ， 选择甲商家购买的石料数量会更多． 【点评】本题考查一次函数的应用，写出函数表达式是本题的关键． 20．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？，结果保留1位小数） 【分析】（1）设旗杆的高度为米，则为米，在△中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）过作于点，则四边形是矩形，得米，，再由勾股定理得（米，即可解决问题． 【解答】解：（1）设旗杆的高度为米，则为米， 在△中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为12米； （2）如图，过作于点， 则四边形是矩形， 米，， （米， 由（1）可知，（米， 在△中，由勾股定理得：（米， 米， 米米， 答：小明需要后退约2.2米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21．（9分）近日，我校正在创建“绿色校园”，为了进一步美化校园，我校计划购买、两种花卉装点校道，学校采购人员去花卉基地调查发现：购买2盆种花和1盆种花需要13元，购买3盆种花和2盆种花需要22元． （1）求、两种花的单价各为多少元？ （2）学校若购买、两种花共1000盆，且购买的种花不少于500盆，但不多于700盆． ①设购买的种花盆，总费用为元，求关于的函数关系式； ②请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 【分析】（1）设种花的单价为元，种花的单价为元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）①根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；②根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设种花的单价为元，种花的单价为元； 根据题意得解得 答：种花的单价为4元，种花的单价为5元； （2）①根据题意得，， 即； ②， 随的增大而增大， ， 当时，取最小值，此时， 此时种花500盆，种花500盆，最少费用4500元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键． 22．（9分）同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象与性质． （1）列表： 0 1 2 3 3 表格中　1　，　　； （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论　　； 结论　　； （4）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，函数的图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 　　； （5）写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【分析】（1）对于，当时，，当时，，由此可出，的值； （2）根据表格中的对应值，选取，点作射线，选取，点作射线，则射线，为函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象可从最小值，对称性，增减性，与坐标轴的交点方面总结即可（答案不唯一）； （4）画出函数和函数的图象，观察函数图象即可得出答案； （5）画出函数和的图象，由函数函数和的图象交点坐标即可得出方程的解． 【解答】解：（1）对于，当时，， 当时，， ，， 故答案为：1；1． （2）根据表格中的对应值，选取，点作射线，选取，点作射线， 则射线，为函数的图象，如图1所示： （3）观察（2）中所画函数的图象，可得如下结论（答案不唯一） 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论2：函数的图象关于直线对称； 此外还有：①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ②函数的图象与轴有两个交点，与轴有一个交点．等等． 故答案为：（答案不唯一）函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称； （4）画出函数和函数的图象，如图2所示： 由函数和的图象得：它们所围成的区域内（不包括边界）整点的个数为5个， 分别是，，，，； 故答案为：5个． （5）方程的解为：，，理由如下： 画出函数和的图象，如图3所示： 函数函数和的图象交点坐标分别为，， 方程的解为：，． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点等，熟练掌握一次函数的图象，画一次函数图象的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解决问题的关键． 23．（12分）已知：点在射线上，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 【分析】（1）根据，可得，再根据，即可得到，则结论得证； （2）根据是△是外角，即可得到，再根据△中，，即可得到，进而得出； （3）设，则，，根据，即可得到，再根据，即可得到，求得的值，由三角形内角和定理得到的度数． 【解答】解：（1）如图1，， ， 又， ， ； （2）． 证明：如图2，设与交点为， 是△是外角， ， ， ， △中，， ， 又， ； （3）如图3，设，则， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又，， ， △中，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$