上海市康城学校2024-2025学年上学期12月月考七年级数学试卷

2024-2025学年（上）上海市浦东新区康城中学七年级月考 数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（2分）在下列代数式中，次数为3的单项式是（　　） A．3xy B．x3+y3 C．x3y D．xy2 2．（2分）下列运算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．（﹣a2）3＝a6 D．（2a2b）3＝8a6b3 3．（2分）乘积（x+3）（x﹣7）的结果是（　　） A．x2+10x﹣21 B．x2﹣4x+21 C．x2﹣4x﹣21 D．x2+10x+21 4．（2分）下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3 5．（2分）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 6．（2分）下列多项式：（1）；（2）x2﹣2x﹣1；（3）4x2﹣2x+1；（4）x2﹣4x+4．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（2分）x与y的和的倒数，用代数式表示为　 　． 8．（2分）如果与﹣4xny2是同类项，那么 　 　． 9．（2分）计算：（4a3﹣2a2+3a）÷（﹣2a）＝ 　 　． 10．（2分）因式分解：8x3﹣6x2＝ 　 　． 11．（2分）因式分解：x2+5xy﹣24y2＝　 　． 12．（2分）约分：　 　． 13．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围是 　 　． 14．（2分）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式为 　 　． 15．（2分）计算：　 　． 16．（2分）如果关于x的方程有增根，那么k＝ 　 　． 17．（2分）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：S＝ab﹣1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是　 　． 18．（2分）已知三个数x，y，z满足3，，．则的值为　 　． 三、简答题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分） 19．（6分）计算：2（a+1）2﹣（2a﹣3）（2a+3） 20．（6分）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x． 21．（6分）计算： 22．（6分）计算：（x﹣2+y﹣2）2﹣（x﹣2﹣y﹣2）2． 23．（6分）先化简，再求值：，其中． 24．（6分）解方程：． 四、解答题（本大题共4小题，第25题6分，第26、27各7分，28题8分，满分28分） 25．（6分）甲乙两车从A地前往相距120千米的B地，甲车的速度是乙车的1.5倍，乙车比甲车早出发1小时，乙车到达B地20分钟后甲车才到，求甲乙两车各自的速度． 26．（7分）已知x+x﹣1＝3． （1）求x2+x﹣2的值． （2）求（x﹣x﹣1）2的值． 27．（7分）阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与x+3且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为2x+1与x﹣2且分子都是常数的两个分式的差． 28．（8分）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即A+B＝A•B，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如分式与分式，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． （1）请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ （2）小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为A+B＝A•B，又因为A、B都不为0， 所以，所以1， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D C B D B 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（2分）在下列代数式中，次数为3的单项式是（　　） A．3xy B．x3+y3 C．x3y D．xy2 【答案】D 【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和． 【解答】解：根据单项式的次数定义可知： A、3xy的次数为2，不符合题意； B、x3+y3不是单项式，不符合题意； C、x3y的次数为4，不符合题意； D、xy2的次数为3，符合题意． 故选：D． 2．（2分）下列运算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．（﹣a2）3＝a6 D．（2a2b）3＝8a6b3 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法积的乘方运算法则，进行计算即可求解． 【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故该选项不正确，不符合题意； B．a6÷a2＝a4，故该选项不正确，不符合题意； C． （﹣a2）3＝﹣a6，故该选项不正确，不符合题意； D． （2a2b）3＝8a6b3，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（2分）乘积（x+3）（x﹣7）的结果是（　　） A．x2+10x﹣21 B．x2﹣4x+21 C．x2﹣4x﹣21 D．x2+10x+21 【答案】C 【分析】利用单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：（x+3）（x﹣7）＝x2﹣（7﹣3）x﹣21＝x2﹣4x﹣21． 故选：C． 4．（2分）下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3 【答案】B 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误； B、a2•a3＝a5，正确； C、a2与a3不是同类项的不能合并，故本选项错误； D、应为a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故本选项错误． 故选：B． 5．（2分）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【答案】D 【分析】将分式中的x、y分别用3x、3y代替，然后利用分式的基本性质化简即可． 【解答】解：∵， ∴扩大到原来的3倍， 故选：D． 6．（2分）下列多项式：（1）；（2）x2﹣2x﹣1；（3）4x2﹣2x+1；（4）x2﹣4x+4．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构特点逐个分析得结论． 【解答】解：（1）（x）2； （2）x2﹣2x﹣1，常数项不是一次项系数一半的平方，不能用完全平方公式分解； （3）4x2﹣2x+1，一次项不是2x与1的积的2倍，不能用完全平方公式分解； （4）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2． 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（2分）x与y的和的倒数，用代数式表示为　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】应先表示x与y的和为x+y，再表示其倒数为． 【解答】解：根据题意可以列代数式为， 故答案为：． 8．（2分）如果与﹣4xny2是同类项，那么 　3　． 【答案】3． 【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知n＝6，m＝2， ∴3． 故答案为：3． 9．（2分）计算：（4a3﹣2a2+3a）÷（﹣2a）＝ 　﹣2a2+a﹣1.5　． 【答案】﹣2a2+a﹣1.5． 【分析】先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加解答即可． 【解答】解：（4a3﹣2a2+3a）÷（﹣2a） ＝﹣2a2+a﹣1.5， 故答案为：﹣2a2+a﹣1.5． 10．（2分）因式分解：8x3﹣6x2＝ 　2x2（4x﹣3）　． 【答案】2x2（4x﹣3）． 【分析】先找到公因式，再提取公因式即可． 【解答】解：8x3﹣6x2＝2x2（4x﹣3）． 故答案为：2x2（4x﹣3）． 11．（2分）因式分解：x2+5xy﹣24y2＝　（x+8y）（x﹣3y）　． 【答案】（x+8y）（x﹣3y）． 【分析】利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案． 【解答】解：x2+5xy﹣24y2＝（x+8y）（x﹣3y）． 故答案为：（x+8y）（x﹣3y）． 12．（2分）约分：　　． 【答案】． 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 13．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围是 　x　． 【答案】x． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 1﹣3x≠0， 解得x． 故答案为：x． 14．（2分）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式为 　　． 【答案】． 【分析】先根据负整数指数幂法则，改写原式，再将结果化简即可得到答案． 【解答】解：根据负整数指数幂的法则，将原式写作：， 将运算结果进行化简得：， 故答案为：． 15．（2分）计算：　　． 【答案】． 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果． 【解答】解：原式． 故答案为：． 16．（2分）如果关于x的方程有增根，那么k＝ 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【分析】将方程化为整式方程得：1＝3（x﹣3）﹣k，再将增根x＝3代入即可得到答案． 【解答】解：将方程化为整式方程得：1＝3（x﹣3）﹣k， ∵原方程有增根， ∴x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入1＝3（x﹣3）﹣k得： 1＝0﹣k， 解得k＝﹣1； 故答案为：﹣1． 17．（2分）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：S＝ab﹣1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是　6　． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S＝ab﹣1，即可得出格点多边形的面积． 【解答】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积， ∴a＝4，b＝6， ∴格点多边形的面积S＝ab﹣1＝46﹣1＝6． 故答案为：6． 18．（2分）已知三个数x，y，z满足3，，．则的值为　﹣6　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出 的值，从而得出代数式的值． 【解答】解：∵3，，， ∴，，， 整理得，①，②，③， ①+②+③得，， ∴， ， ∴6． 故答案为：﹣6． 三、简答题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分） 19．（6分）计算：2（a+1）2﹣（2a﹣3）（2a+3） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据完全平方公式以及平方差公式展开，再去括号，然后合并同类项即可． 【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）﹣[（2a）2﹣32] ＝2a2+4a+2﹣4a2+9 ＝﹣2a2+4a+11． 20．（6分）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x． 【答案】2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）． 【分析】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案． 【解答】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y） ＝2（x﹣y）（x2﹣4） ＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）． 21．（6分）计算： 【答案】见试题解答内容 【分析】先算乘法，算乘法时主要是把分子分母分解因式再约分化简． 【解答】解：原式（2分） （3分） （4分） 22．（6分）计算：（x﹣2+y﹣2）2﹣（x﹣2﹣y﹣2）2． 【答案】． 【分析】利用完全平方公式及负整数指数幂计算即可． 【解答】解：原式＝x﹣4+2x﹣2y﹣2+y﹣4﹣x﹣4+2x﹣2y﹣2﹣y﹣4 ＝4x﹣2y﹣2 ． 23．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣2m，﹣5． 【分析】根据分式的减法法则、乘法法则把原式化简，把m的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝（m2﹣1）•（） ＝（m2﹣1）• ＝﹣2m， 当m时，原式＝﹣25． 24．（6分）解方程：． 【答案】x． 【分析】根据解分式方程的步骤求解即可． 【解答】解：去分母得：5﹣2（2x﹣1）＝﹣3， 解整式方程得：x， 检验：把x代入最简公分母得：2x﹣1＝21＝4≠0， ∴原方程的解为x． 四、解答题（本大题共4小题，第25题6分，第26、27各7分，28题8分，满分28分） 25．（6分）甲乙两车从A地前往相距120千米的B地，甲车的速度是乙车的1.5倍，乙车比甲车早出发1小时，乙车到达B地20分钟后甲车才到，求甲乙两车各自的速度． 【答案】甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时． 【分析】设乙车的速度是x千米/时，则甲车的速度是1.5x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合乙车比甲车少用（1）小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即乙车的速度），再将其代入1.5x中，即可求出甲车的速度． 【解答】解：设乙车的速度是x千米/时，则甲车的速度是1.5x千米/时， 根据题意，得1， 方程两边同时×1.5x，得120×1.5﹣120＝（1）×1.5x， 解方程，得x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×60＝90． 答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时． 26．（7分）已知x+x﹣1＝3． （1）求x2+x﹣2的值． （2）求（x﹣x﹣1）2的值． 【答案】（1）7； （2）5． 【分析】（1）利用完全平方公式得到x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得到（x﹣x﹣1）2＝（x+x﹣1）2﹣4，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝32﹣2＝7； （2）（x﹣x﹣1）2＝（x+x﹣1）2﹣4＝32﹣4＝5． 27．（7分）阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与x+3且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为2x+1与x﹣2且分子都是常数的两个分式的差． 【答案】． 【分析】设，然后将其运算后得出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设， 则 ， 则， 解得：， 则． 28．（8分）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即A+B＝A•B，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如分式与分式，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． （1）请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ （2）小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为A+B＝A•B，又因为A、B都不为0， 所以，所以1， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 【答案】（1）不是“互为关联分式”； （2）． 【分析】（1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【解答】解：（1） ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． （2）设分式的“关联分式”为A． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/16 20:22:23；用户：菁优校本；邮箱：241113@xyh.com；学号：59832322 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$