双曲线导学案第一课时-2025届高三数学一轮复习

高三数学导学案（2024） 学科 数学 年级 高三 时间 2024年 11 月 日 课题 双曲线 课型 一轮复习课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，双曲线的离心率和渐近线是高考命题热点，题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，双曲线方程的求解经常出现在解答题的第一问，直线与双曲线的结合是高考新的命题点． 知识梳理 1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数( |F1F2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|). (3)焦点：两个定点F1，F2. (4)焦距： 的距离，表示为|F1F2|. 2.双曲线第二定义： 3.双曲线第三定义： 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 F1( )，F2( ) F1( )，F2( ) 焦距 |F1F2|＝ |F1F2|＝ 范围 y∈R x∈R 对称性 对称轴： ；对称中心： 性 质 顶点 A1( )，A2( ) A1( )，A2( ) 轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ；实半轴长： ，虚半轴长： 离心率 e＝ = ∈ 渐近线 y＝ y＝ a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) 常用结论► (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 . (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. (5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0). 题型一.求双曲线标准方程 例1.分别根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，且焦点在轴上； (2)焦点为和，且经过点。 （3）两个焦点坐标分别为（-5,0），（5,0），且双曲线上的点与两个焦点距离之差的绝对值等于8. （4） 已知，，动点P满足，求动点P的轨迹。 （5）写出的双曲线的标准方程。 （6）已知双曲线过椭圆的焦点，且以椭圆的顶点为焦点，求双曲线的方程。 （7）求焦点在轴上，且经过点与的双曲线的标准方程。 （8）相距的两个观察站都听到了一声巨响，且在处听到的时间比在处听到的时间早。已知当时的声速是，发出巨响的点与都在水平面上，求发出巨响的点所在曲线的方程。 题型二、定义的应用 1.已知双曲线的方程是 (1) 求双曲线的焦点坐标。 (2) 如果双曲线上一点到其一个焦点的距离等于8，求点到其另一个焦点的距离。 2.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，求的值 3.过双曲线的右焦点作轴的垂线，分别求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。 4.已知双曲线的一个焦点坐标是，求实数的值。 学科网（北京）股份有限公司 $$