第二章 相交线与平行线 章末小结 课件2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第二章 相交线与平行线 章末小结 七下数学 BSD 相交线 两直线的位置关系 平行线 尺规作图 相交 垂直 两条直线被第 三条直线所截 平行公理 判定 性质 平行 画垂线 同位角、内错角、同旁内角 知识梳理 一、两直线的位置关系 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们就称这两条直线为相交线.该公共点叫作两直线的交点.如图，直线AB，CD相交于点O. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. A B C D O 知识梳理 2、对顶角 定义：如图，直线AB/CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 注意:1.顶点相同. 2.角的两边互为反向延长线. 3.对顶角是成对出现的. 性质:对顶角相等. A B C D 2 （ ） （ 1 3 4 ） 知识梳理 3、补角、余角 定义 一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 性质 同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等. 知识梳理 4、垂直 定义:两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 垂足 A B D C O 知识梳理 表示方法：通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 如图，AB与CD垂直记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”. 符号语言： 因为AB⊥CD， 所以∠COB=90°. 反之： 因为∠COB=90°， 所以AB⊥CD . A B D C O 知识梳理 5、垂线的画法 过直线上一点画已知直线的垂线，步骤如下: (1)一放；(2)二靠；(3)三移；(4)画. l A B 知识梳理 6、垂线的性质 性质(一):在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质(二):直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 知识梳理 7、点到直线的距离 如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离. l B A 知识梳理 1.如图，直线AB，CD相交于点O，OM平分∠BOD，ON平分∠BOC，∠1∶∠2=7∶1，求∠BOD和∠AON的度数. 随堂练习 解:因为OM平分∠BOD，所以∠BOD=2∠2. 因为∠1∶∠2=7∶1，所以∠1∶∠BOD=7∶2. 因为∠1+∠BOD=180°， 所以∠1 = ×180°=140°，∠BOD = ×180°=40°， 所以∠AOC=∠BOD=40°，∠BOC=∠1=140°. 因为ON平分∠BOC，所以∠CON=∠BOC=70°， 所以∠AON=∠AOC+∠CON=110°. 随堂练习 解:因为OE ⊥ AB，OF ⊥ CD， 所以∠ AOE= ∠ DOF=90°(垂直的定义)， 所以∠ AOF+ ∠ EOF= ∠ DOE+ ∠ EOF， 所以∠ EOD= ∠ AOF=30°(同角的余角相等)， 因为∠ AOD= ∠ AOF+ ∠ DOF=30°+90°=120°， 所以∠ BOC= ∠ AOD=120°(对顶角相等). 2.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE⊥AB，射线OF⊥CD，且∠AOF=30°.求∠BOC与∠EOD的度数. 随堂练习 解:(1)因为AC ⊥ BC，AC=9，BC=12， 所以点A到直线BC的距离是9， 点B到直线AC的距离是12. 3.如图，AC ⊥ BC，AC=9，BC=12，AB=15. (1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离； (2)求点C到直线AB的距离. 即垂线段AC的长， 切不可认为是BC的长 随堂练习 (2)如图，过点C作CD ⊥ AB于点D， 则CD的长度为点C到直线AB的距离. 因为三角形ABC的面积为BC·AC=AB·CD， 所以12×9=15×CD，解得CD=. 所以点C到直线AB的距离为. 3.如图，AC ⊥ BC，AC=9，BC=12，AB=15. (1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离； (2)求点C到直线AB的距离. 随堂练习 4.如图(1)，2条直线相交所组成的角中，互为对顶角的角有两对: ∠ AOD和∠ COB， ∠ AOC和∠ BOD. (1)如图(2)，3条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有 对； 6 随堂练习 (2)如图(3)，4条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有 对； 12 4.如图(1)，2条直线相交所组成的角中，互为对顶角的角有两对: ∠ AOD和∠ COB， ∠ AOC和∠ BOD. 随堂练习 (3)n条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有 对. 4.如图(1)，2条直线相交所组成的角中，互为对顶角的角有两对: ∠ AOD和∠ COB， ∠ AOC和∠ BOD. 随堂练习 方法一 按从特殊到一般的思路计数 直线条数 2 3 4 … n 对顶角对数 2 6 12 探索规律 1×2 2×3 3×4 (n-1)n 随堂练习 n条直线共有对相交线， 每对相交线有2对对顶角， 对顶角的对数为×2=. 方法二 按“基本图形”计数 随堂练习 二、平行线的判定 1.三线八角：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角”. 这八个角中，同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对. b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 知识梳理 同位角的位置特征： ①在两条被截直线的同一方； ②在截线的同侧. 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转). 1 2 ） ） a b c 知识梳理 2 3 ） ） a b c 内错角位置特征： ①在两条被截直线之间； ②在截线的两侧. 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转). 知识梳理 2 4 ） ） a b c 同旁内角位置特征： ①在两条被截直线之间； ②在截线的同侧. 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转). 知识梳理 2.两直线平行的条件： 条件1：同位角相等，两直线平行. 条件2：内错角相等，两直线平行. 条件3：同旁内角互补，两直线平行. A B C D 4 1 3 2 知识梳理 3.平行线中的两个重要结论: (1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (2)平行于同一条直线的两条直线平行.(若b//a，c//a，则b//c)； A B P a b c 知识梳理 解析: 与∠2是同旁内角的角有∠6，∠5，∠7，共3个. 5. ∠1和∠3是直线 和 被直线 所截而成的 角；∠5和 8是直线 和 被直线 所截而成的 角；与∠2是同旁内角的角有 个. AB AC DE 内错 AC BC DE 同位 3 随堂练习 6.如图，直线MN和直线AB，CD，EF分别交于点G，H，P，且∠1=∠2，∠2+∠3=180°，试问:直线AB与EF平行吗?为什么? 随堂练习 解：AB//EF. 方法一 因为∠ 1= ∠ 2， ∠ 1= ∠ AGH， 所以∠ 2= ∠ AGH， 所以AB//CD(同位角相等，两直线平行). 因为∠ 2+ ∠ 3=180°， ∠ 3= ∠ EPH， 所以∠ 2+ ∠ EPH=180°， 所以 EF//CD(同旁内角互补，两直线平行). 又因为AB//CD， 所以AB//EF(平行于同一条直线的两条直线平行). 随堂练习 方法二 因为∠ 1= ∠ 2， ∠ 2+ ∠ 3=180°， 所以∠ 1+ ∠ 3=180°， 因为∠ 1= ∠ AGP， ∠ 3= ∠ EPG， 所以∠ AGP+ ∠ EPG=180°， 所以AB//EF. 随堂练习 7.光从空气中斜射入水中时，传播方向会发生偏折，这种现象叫作光的折射.同样，光从水中斜射入空气中时，也会发生折射.一束光沿CD方向先从空气中斜射入水中，再从水中斜射入空气中，光线的传播路径如图所示，其中，直 线a，b表示空气与水的分界面，光线在水 中的部分为DE.已知∠1=∠4， ∠2=∠3，请 你判断光线CD与EF是否平行，为什么? 随堂练习 已知∠1=∠4， ∠2=∠3，请你判断光线CD与EF是否平行. 分析: 要说明CD//EF DE是截线， CD，EF是被截直线 需确定 ∠CDE=∠DEF ∠1=∠4 需确定∠5=∠6 ∠2=∠3 由等角的补角相等即可确定 随堂练习 解:CD//EF. 理由:因为∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°， ∠2=∠3， 所以∠5=∠6. 因为∠1=∠4， 所以∠1+∠5=∠4+∠6，即∠CDE=∠DEF， 所以CD//EF. 随堂练习 三、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等. 性质2：两直线平行，内错角相等. 性质3：两直线平行，同旁内角互补. A B C D 4 1 3 2 知识梳理 解:(1)因为AD//EG， 所以∠ABG=∠DAB=48°， 所以B地所修公路的走向是南偏西48°. 8. 如图，在A，B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通. (1)B地所修公路的走向是南偏西多少度?请说明原因. 随堂练习 8. 如图，在A，B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通. (2)若公路AB长8 km，另一条公路BC长6km，且公路BC 的走向是北偏西42°，试求A地到公路BC的距离. 点A到BC的垂线段的长度 随堂练习 (2)因为AD//BE， 所以∠DAB+∠ABE=180°， 所以∠ABE=180°-∠DAB=132°， 所以∠ABC=∠ABE-∠CBE=90°， 所以AB⊥BC， 所以AB的长度就是A地到公路BC的距离. 因为AB=8km，所以A地到公路BC的距离是8km. 随堂练习 9.如图，∠1=∠C，BE⊥DF于点P.若∠2+∠D=90°，试说明:AB//CD. 随堂练习 解:因为BE⊥DF(已知)， 所以∠DPE=90°(垂直的定义)， 因为∠1=∠C(已知)， 所以BE//CF(同位角相等，两直线平行). 所以∠CFD=∠DPE=90°(两直线平行，同位角相等)， 所以∠2+∠BFD=180°-∠CFD=90°(平角的定义)， 因为∠2+∠D=90°(已知)，所以∠BFD=∠D(同角的余角相等)， 所以AB//CD(内错角相等，两直线平行). 随堂练习 解:方法一 由折叠的性质， 可得∠GEC=2∠1=110°. 由题意得AD//BC，C′E//D′F， 所以∠C′GF=∠GEC=110°(两直线平行，同位角相等)， ∠2+∠C′GF=180°(两直线平行，同旁内角互补)， 所以∠2=180°-∠C′GF=180°-110°=70°. 10.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在点C′，D′的位置，C′E交AF于点G，测得∠1=55°，求∠2的度数. 随堂练习 方法二 由题意得AD//BC， 所以∠GFE=∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠DFE+∠1=180°(两直线平行，同旁内角互补). 又∠1=55°， 所以∠GFE=55°， ∠DFE=180°-55°=125°. 由折叠的性质，可得∠D′FE=∠DFE=125°， 所以∠2=∠D′FE-∠GFE=125°-55°=70°. 随堂练习 $$