2025年四川中考数学第一轮复习讲练 第04讲 二次根式（讲练）

板块一 数与式 第04讲 二次根式 中考考情概览：把握命题方向，总结命题角度。 地区试题剖析：精选地区真题，分类设置，清晰展现中考中的考查形式。 地区题型精选：选用优秀试题，巩固考点，复习效果。 命题点聚焦 命题点 考查频率 题型 二次根式的的性质 ⭐⭐ 题型1二次根式有意义的条件 题型2与二次根式有关的开放性试题 题型3利用二次根式的性质化简 题型4二次根式与数轴 二次根式的运算 ⭐⭐⭐ 题型1应用乘法公式求二次根式的值 题型2最简二次公式的判断 题型3分母有理化 题型4二次根式的混合运算 题型5二次根式估值 题型6与二次根式有关的新定义问题 题型7与二次根式有关的规律探究 题型8二次根式的应用 【考情分析】四川地区中考的中，对二次根式的考察主要集中在估值、化简求值等方面，其中估值类考点多出选择题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式常与勾股定理相配合出现，难度不大，但是也多属于中考必考题. 试题解剖 命题点1 二次根式的的性质 知识点一 二次根式相关概念和性质 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】1.二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。 2.二次根式中a是一个非负数。 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。 二次根式的性质：1. 2.，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 题型01 二次根式有意义的条件 1．（2024•四川泸州一模） 若 有意义，则x是怎样的实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选：C． 2．（2024•四川内江市中区一模） 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 故选：D 3．（2024•四川雅安中考真题） 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 4．（2023•四川资阳中考真题） 使代数式有意义的x的取值范围是 ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：有意义， ， ． 故答案为：． 方法技巧总结 1.有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 题型02 与二次根式有关的开放性试题 5．（2023•四川自贡中考真题） 请写出一个比小的整数________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据算术平方根的意义求解 ． 【详解】解：∴由可得：， 即， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2022•四川南充中考真题） 若为整数，x为正整数，则x的值是_______________． 【答案】4或7或8 【解析】 【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值． 【详解】解：∵ ∴ ∵为正整数 ∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵为整数 ∴为4或7或8 故答案为：4或7或8． 7． （2023•四川泸州纳溪适应性检测）请写出一个正整数_______的值，使得是整数． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据算术平方根的含义结合是整数可得被开方数是完全平方数，从而可得答案． 【详解】解：∵是整数， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 题型03 利用二次根式的性质化简 8．（2024•四川乐山中考真题） 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2022•四川凉山中考真题） 化简：＝（ ） A. ±2 B. －2 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可． 【详解】解：， 故选：D． 10． （2023•四川绵阳阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　 ）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可． 【详解】解：∵由图可知： ∴，， ∴原式 ． 故选：A． 11．（2022•四川广安中考真题） 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 【答案】11或13##13或11 【解析】 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解． 【详解】解：∵（a﹣3）2+=0， ∴，， 当为腰时，周长为：， 当为腰时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 12．（2021•四川南充阶段练习） 已知：2<x<4，化简+|x-5|=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用二次根式的意义、绝对值的意义化简． 【详解】解：∵2＜x＜4 ∴x-1＞0 ∴x-5＜0 ∴ ∴． 方法技巧总结 1.利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 2.化简后的最后结果应为最简二次根式． 题型04 二次根式与数轴 13．（2024•四川南充中考真题） 如图，数轴上表示的点是（ ） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 14．（2022•四川雅安中考真题） 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出不等式的解集，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∴解集在数轴上表示如图， 故选B． 15． （2022•四川德阳中江阶段练习）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据数轴上点的位置得到，，据此化简绝对值和求出算术平方根即可． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴ ， 故选B． 16．（2024•四川遂宁一模） 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴原式＝ 故答案为：0 命题点2 二次根式的运算 知识点一 二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 即： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a≥0，b＞0）。 最简二次根式的特点：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。 【分母有理化方法】 1.分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即： 2.分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。 即：； 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。 【口诀】一化、二找、三合并。 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。 【注意】运算结果含根号的必须为最简二次根式。 知识点二 二次根式的估值 一般步骤：1.先对二次根式进行平方，如； 2.找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9； 3.对这两个完全平方数开方，如，； 4.这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。 题型01 应用乘法公式求二次根式的值 17．（2022•四川自贡中考真题） 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可． 【详解】A.，故A错误； B.，故B正确； C.，故C错误； D.，故D错误． 故选：B． 18．（2022•四川绵阳阶段练习） 已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当x+y=-5，xy=4时， =． 故答案为：． 19．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 方法技巧总结 1.平方差公式： 2.完全平方公式 题型02 最简二次公式的判断 20． （2022•四川广元阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 21． （2022•四川德阳中奖阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数是整数或是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 被开方数中含有能开得尽方的因数，故不符合题意； B.是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数不是整数，故不符合题意； D. 被开方数中含有能开得尽方的因式，故不符合题意； 故选：B 22． （2023•四川绵阳阶段练习）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：当时，，不是最简二次根式， 当时，，是最简二次根式， ∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2， 故答案为：2． 方法技巧总结 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： 1.被开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，. 拓展 1.不含有可化为平方数或平方式的数和式有2,5,7，a（a≥0），x+y等； 2.含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等. 题型03 分母有理化 23．（2022•四川达州中考真题） 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a的值代入计算即可求值． 【详解】解：原式＝ ； 当时，原式＝． 24． （2024•四川乐山一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 25． （2024•四川资阳一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先把括号内的分式进行通分，再把除法化为乘法，然后化简得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时．代入原式． 26．（2023•四川巴中适应性检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： 原式 ， 当时，原式． 方法技巧总结 1.分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2.分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型04 二次根式的混合运算 27．（2022•四川成都中考真题）计算：． 【答案】1； 【解析】 【分析】本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解： = = =1． 28．（2022•四川德阳中考真题） 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算． 【详解】解： ． 29．（2022•四川广安中考真题） 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】根据零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，二次根式的加减运算进行计算，即可得到答案． 【详解】解： = =0； 30．（2022•四川广元中考真题） 计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2． 【答案】3 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2 =2×-2++1-2+4 =-2++1-2+4 =3． 方法技巧总结 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 拓展：1.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2.在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质让计算更加简便 题型05 二次根式估值 31．（2024•四川资阳中考真题） 若，则整数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可． 【详解】解：∵，即，，即， 又∵， ∴整数m的值为：3， 故选：B． 32．（2022•四川泸州中考真题） 与最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵12.25＜15＜16， ∴3.5＜＜4， ∴5.5＜2+＜6， ∴最接近的整数是6， 故选：C． 33．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 方法技巧总结 二次根式的精确估算方法：将二次根式的被开方数放在两个相邻的能开方开得尽的数的中间。再取算术平方根，求出二次根式的值的范围，可以估计二次根式的值的范围。 题型06 与二次根式有关的新定义问题 34．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可以计算出的值． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 35．（2022•四川广元阶段练习） 对于任意不相等的两个数a、b,定义运算“※”如下：a※b=,如3※2==，那么8※6=_______ . 【答案】 【解析】 【分析】用定义的运算方法转化为二次根式的运算，化简得出答案即可． 【详解】解：8※6＝=． 故答案为． 题型07 与二次根式有关的规律探究 36．（2023•四川广安中考真题） 在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点， ， ， 当时，，即， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即点的纵坐标为， 同理可得：点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数）， 则点的纵坐标为， 故答案为：． 37．（2022•四川眉山中考真题） 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可． 【详解】数字可以化成： ，，，； ，，，； ∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， ∵，28是第14个偶数，而 ∴的位置记为 故答案为： 38．（2024•四川内江一模） 如图，直线，点坐标为．过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为；再过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为，以此类推．那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出点的坐标，得出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标，再根据弧长公式计算即可求解． 【详解】解：直线，点坐标为．过点作轴的垂线交直线l于点，可知点的坐标为， ∴ 以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，， ∴点的坐标为， 同理：的坐标为，点的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为， 即 又， ∴， 则的长为． 故答案为：． 39．（2024•四川德阳中考真题） 将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 题型08 二次根式的应用 40．（2022•四川宜宾中考真题） 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解． 【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设 ∴ 解得 故答案为： 41．（2022•四川达州中考真题） 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______． 【答案】5050 【解析】 【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， …， 故答案为：5050 42． （2024•四川乐山一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 43．（2024•四川成都一模） 如图，在等边中，，D是上一点，（n为正整数），E是上一点，F是射线上一点，，连接，设中点为M，点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为_____（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】作，延长到点，使，作，作中点，由，得到，结合，得到，设，则，在中， ，， 在中，，根据中位线得到，，，由，得到，，由，得到，，由，得到，即：，将时，的长度点M运动的路径长， 本题考查了，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理解三角形，解题的关键是：找到点M运动的路径长与的比例关系． 【详解】解：过点作，交于点，延长到点，使，过点作，垂足为，连接，，作中点，连接，，， ∵， ∴，， ∴，即：， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，，， 中，，， ∵是中点，是中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴， ∴，即：，整理得：， 当点E在点A时，，， 当点在点时，，， ∴点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 板块一 数与式 第04讲 二次根式 中考考情概览：把握命题方向，总结命题角度。 地区试题剖析：精选地区真题，分类设置，清晰展现中考中的考查形式。 地区题型精选：选用优秀试题，巩固考点，复习效果。 命题点聚焦 命题点 考查频率 题型 二次根式的的性质 ⭐⭐ 题型1二次根式有意义的条件 题型2与二次根式有关的开放性试题 题型3利用二次根式的性质化简 题型4二次根式与数轴 二次根式的运算 ⭐⭐⭐ 题型1应用乘法公式求二次根式的值 题型2最简二次公式的判断 题型3分母有理化 题型4二次根式的混合运算 题型5二次根式估值 题型6与二次根式有关的新定义问题 题型7与二次根式有关的规律探究 题型8二次根式的应用 【考情分析】四川地区中考的中，对二次根式的考察主要集中在估值、化简求值等方面，其中估值类考点多出选择题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式常与勾股定理相配合出现，难度不大，但是也多属于中考必考题. 试题解剖 命题点1 二次根式的的性质 知识点一 二次根式相关概念和性质 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】1.二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。 2.二次根式中a是一个非负数。 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。 二次根式的性质：1. 2.，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 题型01 二次根式有意义的条件 1．（2024•四川泸州一模） 若 有意义，则x是怎样的实数（ ） A. B. C. D. 2．（2024•四川内江市中区一模） 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 3．（2024•四川雅安中考真题） 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 4．（2023•四川资阳中考真题） 使代数式有意义的x的取值范围是 ________． 方法技巧总结 1.有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 题型02 与二次根式有关的开放性试题 5．（2023•四川自贡中考真题） 请写出一个比小的整数________． 6．（2022•四川南充中考真题） 若为整数，x为正整数，则x的值是_______________． 7． （2023•四川泸州纳溪适应性检测）请写出一个正整数_______的值，使得是整数． 题型03 利用二次根式的性质化简 8．（2024•四川乐山中考真题） 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 9．（2022•四川凉山中考真题） 化简：＝（ ） A. ±2 B. －2 C. 4 D. 2 10． （2023•四川绵阳阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　 ）． A. B. C. D. 无法确定 11．（2022•四川广安中考真题） 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 12．（2021•四川南充阶段练习） 已知：2<x<4，化简+|x-5|=_______． 方法技巧总结 1.利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 2.化简后的最后结果应为最简二次根式． 题型04 二次根式与数轴 13．（2024•四川南充中考真题） 如图，数轴上表示的点是（ ） 14．（2022•四川雅安中考真题） 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A B. C D. 15． （2022•四川德阳中江阶段练习）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 16．（2024•四川遂宁一模） 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 命题点2 二次根式的运算 知识点一 二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 即： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a≥0，b＞0）。 最简二次根式的特点：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。 【分母有理化方法】 1.分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。即： 2.分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。 即：； 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。 【口诀】一化、二找、三合并。 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。 【注意】运算结果含根号的必须为最简二次根式。 知识点二 二次根式的估值 一般步骤：1.先对二次根式进行平方，如； 2.找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9； 3.对这两个完全平方数开方，如，； 4.这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。 题型01 应用乘法公式求二次根式的值 17．（2022•四川自贡中考真题） 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 18．（2022•四川绵阳阶段练习） 已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则________． 19．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 方法技巧总结 1.平方差公式： 2.完全平方公式 题型02 最简二次公式的判断 20． （2022•四川广元阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 21． （2022•四川德阳中奖阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 22． （2023•四川绵阳阶段练习）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为__________． 方法技巧总结 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： 1.被开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，. 拓展 1.不含有可化为平方数或平方式的数和式有2,5,7，a（a≥0），x+y等； 2.含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等. 题型03 分母有理化 23．（2022•四川达州中考真题） 化简求值：，其中． 24．（2024•四川乐山一模）先化简，再求值：，其中． 25．（2024•四川资阳一模）先化简，再求值：，其中． 26．（2023•四川巴中适应性检测）先化简，再求值：，其中． 方法技巧总结 1.分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2.分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型04 二次根式的混合运算 27．（2022•四川成都中考真题）计算：． 28．（2022•四川德阳中考真题） 计算：． 29．（2022•四川广安中考真题） 计算： 30．（2022•四川广元中考真题） 计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2． 方法技巧总结 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 拓展：1.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2.在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质让计算更加简便 题型05 二次根式估值 31．（2024•四川资阳中考真题） 若，则整数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 32．（2022•四川泸州中考真题） 与最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 33．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 方法技巧总结 二次根式的精确估算方法：将二次根式的被开方数放在两个相邻的能开方开得尽的数的中间。再取算术平方根，求出二次根式的值的范围，可以估计二次根式的值的范围。 题型06 与二次根式有关的新定义问题 34．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 35．（2022•四川广元阶段练习） 对于任意不相等的两个数a、b,定义运算“※”如下：a※b=,如3※2==，那么8※6=_______ . 题型07 与二次根式有关的规律探究 36．（2023•四川广安中考真题） 在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为___________． 37．（2022•四川眉山中考真题） 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________． 38．（2024•四川内江一模） 如图，直线，点坐标为．过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为；再过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为，以此类推．那么的长为______． 39．（2024•四川德阳中考真题） 将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A. B. C. D. 题型08 二次根式的应用 40．（2022•四川宜宾中考真题） 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______． 41．（2022•四川达州中考真题） 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______． 42． （2024•四川乐山一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为______． 43．（2024•四川成都一模） 如图，在等边中，，D是上一点，（n为正整数），E是上一点，F是射线上一点，，连接，设中点为M，点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长为_____（用含n的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$