重庆市万州沙河中学2025届高三上学期数学练习题（十）

万州沙河中学高2025届高三数学练习题（十） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点， 点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．48 8．已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（     ） A．N点的坐标为 B． C． D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则 10．已知（其中，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．函数在区间单调递减 D．若，且，则 11．如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（     ）    A．平面平面 B．若，则平行六面体的体积 C． D．若，则 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是 13．已知向量满足，则 ． 14．现从甲、乙、丙3人中选派一人参加知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 . 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的整数的最大值. 17．如图，四棱锥中，底面，四边形中，，． (1)若为的中点，求证：平面平面； (2)若平面与平面所成的角的余弦值为． （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． 18．实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 编号x 1 2 3 4 5 6 产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80 (1)若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望， 参考数据：，其中． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为． 19．设函数，其中. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若， ①证明：函数恰有两个零点； ②设为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：. 万州沙河中学高2025届高三数学练习题（十） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A D D A B 题号 9 10 11 答案 BCD BCD ABD 1．B 【详解】由题设，，， ∴在复平面内对应的点为在第二象限. 故选：. 2．D 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 3．D 【详解】由题意得，解得， 因为，，则， 则样本数据的75%分位数位于，则，解得， 因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为， 故选：D. 4．A 【详解】因为，所以 . 故选：A. 5．D 【详解】由对数函数性质知，即，同理， 又，即， ， 所以，即，综上， 故选：D． 6．D 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点，且为直角三角形，得，连接， 则，即四边形是正方形，， 因此点在以点为圆心，为半径的圆上，而， 于是，所以的取值范围为. 故选：D 7．A 【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、， 设，，（），则， 所以， 所以，即， 所以，， 所以 ， 又，所以当时取得最小值为.    故选：A 8．B 【详解】，且,为非负实数，， 则 则，解得，，解得， ， 当且仅当即，时,即时等号成立， 故， 故选：B. 9．BCD 【详解】由N为的中点，则，可得， 由三角函数定义可得N点的坐标为，故A错误； 由，可得，故B正确； 易知， 又因为，，M为线段AB的中点， 则， 所以，故C正确； 由易知线段，， 则， 所以，故D正确， 故选：BCD． 10．BCD 【详解】由图像可知,又因为,所以,即得,故错误; 因为图像过点,且,所以, 由五点法作图可知，,得,故正确; 当时,则,则在区间单调递减,故正确; 当, 又因为,所以,所以,故正确; 故选: 11．ABD 【详解】对于A，因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形，所以， 因为，， 所以，所以， 因为， 所以， 所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以A正确， 对于B，连接，因为，，所以， 所以为直角三角形，即，因为∥，所以， 因为由选项A知平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以平行六面体的体积，所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，因为在菱形中，，所以， 所以，所以D正确， 故选：ABD    12．112 【详解】依题意得：解得 则 由，解得 从而. 故答案为： 13． 【详解】由，得，而， 则，所以. 故答案为： 14． 【详解】设事件表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”， 则， 则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为， 且各局游戏是相互独立的， 则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为. 故答案为： 15． 【详解】解：（1）当时，，，两式作差得，，所以，结合得. （2）因为， 所以. 因为 所以，数列单调递增， . 令，解得，所以. 16． 【详解】（1）由条件可得 ， 所以 ， 因为 ， 故， 则， 故 （2）的外接圆半径 ，面积为 （3）由题可知，，故. 设，则，且， 在中，由正弦定理可得， 所以， 故的周长， 因为，所以，所以当，即时， 的周长最大，且最大值为. 17． 【详解】（1）在四棱锥中，底面，平面，则， 而平面，于是平面，又平面， 则，由，为的中点，得平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）（ⅰ）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    过作于，由，得，令， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由平面，得平面的一个法向量， 依题意，，整理得，而，解得， 所以线段的长为2. （ⅱ）显然平面，而平面，则，又， 于是，解得，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的， 所以点的轨迹的长度为. 18． 【详解】（1）令 ，， 则， ， 所以， 所以 （2）由题意得， ， ， ， ， 分布列为： 1 2 3 4 数学期望 19． 【详解】（1）由题设，且，则， 所以，又， 所以切线方程为， 即：. （2）①由，令，又， 易知在上递减， 又，， ∴在上有唯一零点，即在上唯一零点，设零点为，则， ∴，，递增；，，递减； ∴是唯一极值点，且为极大值， 令且，则，故在上递减， ∴，即， ∴，又， 根据零点存在性定理∴在上存在零点，又∵在单调递减； ∴在存在唯一零点， 又∵，在上单调递增；， ∴在上的唯一零点为1， 故恰有两个零点； ②由题意，，则，即， 当时，，又，则， ∴，即是，得证. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$