3.13 一次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 13　 一次函数的图象与性质(必考) 　 问题启发思维 问题 1:直线一定是一次函数图象吗? 正比例函数一定是一次函数吗? 问题 2:若点(1,-5)在一个一次函数图象上,添加一个条件“该一次函数图象还过点(2,-7)”,可 求出这个一次函数的解析式吗? 你还能添加什么样的条件(尽量从不同角度)? 使得求 出的一次函数解析式不变. 问题 3:若在同一平面直角坐标系中,请画出直线 l1:y = 2x 和 l2:y = 2x+3 的图象,根据图象你都 能写出哪些结论? 要点 1 一次函数的图象与性质(2017. 9 考查) 1. 一次函数的图象与性质(一次函数 图象 →不平行坐标轴的直线) 概念 一般地,形如 y= kx+b(k,b 是常数,k≠0)的函数,叫作一次函数. 特别地,当 b = 0 时,y= kx(k 是常数,k≠0)叫作正比例函数,其中 k 叫作比例系数 表达式 y= kx+b(k,b 是常数,k≠0) 图象 (大致图象) k>0 k<0 b>0 b= 0 b<0 b>0 b= 0 b<0 ①　 　 　 ②　 　 　 ③　 　 　 经过象限 ④一、二、三　 ⑤一、三　 ⑥一、三、四　 ⑦一、二、四　 ⑧二、四　 ⑨二、三、四　 k 值决定增 减性 与 倾 斜方向 k> 0,图象从左到右 “上升”,必过第 ⑩　 一、三　 象 限, y 随 x 的 增 大 而 􀃊􀁉􀁓　 增大　 k< 0,图象从左到右“下降”,必过第 􀃊􀁉􀁔　 二、四　 象 限, y 随 x 的 增 大 而 􀃊􀁉􀁕　 减小　 b 值决定图 象与 y 轴 交点位置 b>0,图象交 y 轴于􀃊􀁉􀁖　 正半轴　 ,必过第􀃊􀁉􀁗　 一、二　 象限; b= 0,图象过原点; b<0,图象交 y 轴于􀃊􀁉􀁘　 负半轴　 ,必过第􀃊􀁉􀁙　 三、四　 象限 与坐 标 轴 的交点 与 y 轴的交点坐标为􀃊􀁉􀁚　 (0,b) 　 ;与 x 轴的交点坐标为􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 33 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 注:(1)一次函数的图象是一条直线,但直线不一定是一次函数的图象,如 x=a,y= b 分别是与 y 轴,x 轴平行的直线,但不是一次函数图象; (2)“一次函数图象不经过第三象限”包含以下两种情况:①一次函数的图象经过第一、 二、四象限,即 k<0,b>0;②一次函数的图象只经过第二、四象限,即 k<0,b= 0. 2. 一次函数图象上点的纵坐标大小比较 解法一:代入法. 将两个点的横坐标代入解析式,计算出对应纵坐标的值再比较; 解法二:图象法. 先根据题意画出函数图象,再结合增减性比较,如图. y 随 x 的增大而增大, 当 x1 <x2 时,y1􀃊􀁊􀁒　 <　 y2 　 　 y 随 x 的增大而减小, 当 x1 <x2 时,y1􀃊􀁊􀁓　 >　 y2 对点练习 典例　 已知一次函数 y= (m+1)x+1-m. (1)m 的取值范围是　 　 　 　 ; 变式 若该函数是正比例函数,则 m 的值为　 　 　 ; (2)若该函数图象与 y 轴的交点坐标为(0,4),则 m 的值为　 　 　 ; 变式 若该函数图象与 y 轴交于负半轴,则 m 的取值范围为　 　 　 　 ; (3)易错 ∙∙ 若函数图象不经过第四象限,则 m 的取值范围为　 　 　 　 ; (4)当 m= 2 时,函数图象上有两点( -1,p)和(2,q),则 p 与 q 的大小关系是　 　 　 　 ; 变式 若 A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数图象上的两点,当 x1 <x2 时,y1 >y2,则 m 的取值范围 为　 　 　 　 . 要点 2 一次函数表达式的确定(在解答题第(1)问考查) 1. 步骤 (1)设一次函数表达式为 y= kx+b(k≠0); (2)用图象上的点 A(x1,y1 ),B(x2,y2 )的横、纵坐标分别去替换函数表达式中的 x 和 y,得到 二元一次方程组 y1 = kx1 +b, y2 = kx2 +b; { (3)解方程组,求出 k,b 的值; (4)将 k,b 代入所设表达式即可. 简记: 2. 两条直线的位置关系 位置关系 两直线重合 两直线平行 两直线相交 两直线垂直(拓展) 系数关系 k1 = k2 且 b1 = b2 k1 = k2 且 b1≠b2 k1≠k2 k1·k2 = -1 43 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 图象 注:k1·k2 = -1 可在选填中快速应用,但在解答题中需要证明. 对点练习 典例　 在平面直角坐标系 xOy 中,有点 A(1,3),点 B( -1,2) . (1) 若正比例函数 y= kx 的图象经过点 A,则 k 的值为　 　 　 ; (2) 若一次函数 y= x+b 的图象经过点 A,则 b 的值为　 　 　 ; (3)[华师八下 P53 第 8(1)题改编]若一次函数 y=kx-1 的图象经过点 A,则 k 的值为　 　 　 ; (4)[华师八下 P53 第 8(2)题改编]若一次函数的图象经过 A,B 两点,则该一次函数的表达式 为　 　 　 　 . 拓展设问 1 若直线 l1∥AB,且经过点(0,-1),则直线 l1 的函数表达式为　 　 　 　 ; 拓展设问 2 若直线 l2 与直线 AB 垂直,且经过点 O,则直线 l2 的函数表达式为　 　 　 　 . 要点 3 一次函数图象的变换 1. 一次函数图象的平移(要点:k 不变) 原表达式 平移方式(m>0) 平移后表达式 简记 y= kx+b (k≠0) 向左平移 m 个单位长度 y=k(x +m )+b 向右平移 m 个单位长度 y=k(x -m )+b 向上平移 m 个单位长度 y= kx+b +m 向下平移 m 个单位长度 y= kx+b -m x 左加右减 等号右边整体 上加下减 2. 一次函数图象的对称 原表达式 对称方式 x,y 的变化 对称后表达式 y= kx+b (k≠0) 关于 x 轴对称 y 变为􀃊􀁊􀁔　 相反数　 -y= kx+b,即 y= -kx-b 关于 y 轴对称 x 变为􀃊􀁊􀁕　 相反数　 y= k·(-x)+b= -kx+b 关于原点对称 x,y 均变为相反数 -y= k·(-x)+b,即 y= kx-b 练习题图 对点练习 典例　 [2023 无锡]将函数 y = 2x+1 的图象向下平移 2 个单位长度,所得图象对应的函 数表达式为　 　 　 　 . 练习　 [2023 宁德二检]如图,已知函数 y1 = -2x+3 与 y2 = kx+b 图象都经过 x 轴上的点 A, 分别与 y 轴交于 B,C 两点, 且 B,C 两点关于原点对称, 则函数 y2 的表达式 为　 　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P27-28 习题 53 ⑨互为相反数　 ⑩①+②　 􀃊􀁉􀁓18x= 36 练习 1　 解:方程组的解为 x= 3, y= -2.{ 练习 2　 解:方程组的解是 x= -1, y= 2.{ 要点 4　 典例　 2　 变式 1 2　 变式 2 1 命题点 7　 一次方程(组)的实际应用 典例　 (100-x);10x+(100-x) ×1 = 235;x= 15,则 100-x= 85;这个 月该 公 司 销 售 甲 种 特 产 15 吨, 销 售 乙 种 特 产 85 吨; a+b= 100, 10a+b= 235{ 练习 1　 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 练习 2　 1 12 x+ 1 24 x= 1 拓展设问 1 7　 拓展设问 2 9 练习 3　 x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 练习 4　 B 命题点 8　 一元二次方程及其解法 要点 1　 ①a≠0　 ②a≠0　 典例　 B 要点 2　 典例　 D 练习 1　 解:x1 = 0,x2 = 2. 练习 2　 解:x1 = 2,x2 = -4. 要点 3　 ③两个不相等　 ④两个相等　 ⑤- b 2a 　 ⑥没有 典例　 (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 练习　 D　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+ 1) x2 + 2bx+(a+ 1)= 0 有两个相等的实数根,∴ a+1≠0, Δ= (2b) 2 -4(a+1) 2 = 0,{ ∴ b = a+1 或 b= -(a+1) . 当 b=a+1 时,有 a-b+1 = 0,当 a= 0,b= 1 时 -1 是方程 x2 +2x+1 = 0 的根;当 b= -(a+1)时,有 a+b+1 = 0,当 a= 0,b= -1 时 1 是方程 x2 -2x+1 = 0 的根. ∵ a+1≠0,∴ a+1≠ -(a+1),∴ 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根. 要点 4　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 典例　 2　 练习　 (1)4;(2) -2;(3) -2;(4)20 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x)　 ②a(1+x) 2 　 ③a(1+x) 2 = b　 ④a(1-x)　 ⑤a(1-x) 2 　 ⑥a(1-x) 2 = b　 ⑦(a-2x)(b-2x)　 ⑧(a-x)(b-x) ⑨x· m-x 2 　 ⑩x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁓(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁔 (200+5x)　 􀃊􀁉􀁕(30-x-20)(200+5x)　 􀃊􀁉􀁖[200+5(30-x)] 　 􀃊􀁉􀁗( x-20) [200+ 5(30-x)]　 􀃊􀁉􀁘a[1+(x-1)]　 􀃊􀁉􀁙a[1+(x-1)] 2 　 􀃊􀁉􀁚(1+x)　 􀃊􀁉􀁛(1+x) 2 典例　 B　 练习 1　 2 m　 拓展设问 (40-2x)(26-x)= 144×6 练习 2　 2 750　 练习 3　 10　 练习 4　 B 命题点 10　 分式方程及其应用 要点 1　 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1 典例　 解:原方程的解为 x= 10. 练习　 (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 要点 2　 典例　 600 x ;x+10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原 分式方程的解,且符合题意;则 B 种书包每个的进价为 x+10 = 70; A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 练习 1 　 解:A 种树苗的单价是 6 元 /棵, B 种树苗的单价是 9 元 /棵. 练习 2　 原计划每天挖掘隧道的长度 变式 1 6　 变式 2 6 命题点 11　 一元一次不等式(组)及其应用 要点 1　 ①>　 ②>　 ③< 典例　 C 要点 2　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a 典例　 x<1 练习　 解:x≥-1. 原不等式的解集在数轴上表示略. 要点 3　 ⑧x>b　 ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解 典例　 解:原不等式组的解集为-3≤x<1. 练习　 解:不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上略. 要点 4　 典例 1　 (1)1;(2)a≤2;(3)3;(4)a≥2 典例 2　 (1) -1;(2)a<2;(3) -1≤a<0;(4)a<0;(5)a≥2 要点 5　 􀃊􀁉􀁔>　 􀃊􀁉􀁕<　 􀃊􀁉􀁖≥　 􀃊􀁉􀁗≤　 􀃊􀁉􀁘x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁙ax+b(m-x)≤n 典例　 C　 练习　 解:小明至少答对 22 道题. 第三章　 函　 数 命题点 12　 平面直角坐标系与函数 要点 1　 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横 典例　 (1) -2,2;(2) -2<m<2,m>2,三;(3) -1,-4; (4)(1,3m+6)(答案不唯一) 要点 2　 ⑥(x,-y)　 ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y) 􀃊􀁉􀁒(x,y+a)　 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔(n,-m)　 􀃊􀁉􀁕( -n,m)　 􀃊􀁉􀁖( -m,-n) 典例　 (2,-3) 变式 　 (1)关于 y 轴对称; (2)向右平移 3 个单位; (3)将点 A 绕原点 O 顺时针旋转 90°(答案不唯一) 要点 3　 􀃊􀁉􀁗 | a | 　 􀃊􀁉􀁘 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁙 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁚 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁛 | y2 -y1 | 典例　 (1) ( - 1,2),2,1, 5 ;( 2) ( - 1 2 ,1); ( 3) 2, ( - 3,2) 或 (1,2);(4)(1,1)或(1,3);(5)(2,1)或(2,-1), 10或 3 2 要点 4　 􀃊􀁊􀁒唯一确定　 􀃊􀁊􀁓自变量　 􀃊􀁊􀁔因变量　 􀃊􀁊􀁕≠　 􀃊􀁊􀁖≠ 􀃊􀁊􀁗≥　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≥　 􀃊􀁊􀁚≠　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒>　 􀃊􀁋􀁓> 典例 1　 C　 典例 2　 x≠1;x≥3 命题点 13　 一次函数的图象与性质 要点 1　 ① 　 ② 　 ③ 　 ④一、二、三　 ⑤一、三　 ⑥一、三、四　 ⑦一、二、四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631 ⑧二、四　 ⑨二、三、四　 􀃊􀁉􀁒一、三　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔二、四 􀃊􀁉􀁕减小　 􀃊􀁉􀁖正半轴　 􀃊􀁉􀁗一、二　 􀃊􀁉􀁘负半轴　 􀃊􀁉􀁙三、四 􀃊􀁉􀁚(0,b)　 􀃊􀁉􀁛( - b k ,0)　 􀃊􀁊􀁒<　 􀃊􀁊􀁓> 典例　 (1)m≠-1; 变式 1　 (2) -3; 变式 m>1 (3) -1<m≤1;(4)p<q; 变式 m<-1 要点 2　 典例　 (1)3;(2)2;(3)4;(4)y= 1 2 x+ 5 2 拓展设问 1 y= 1 2 x-1; 拓展设问 2 y= -2x 要点 3　 􀃊􀁊􀁔相反数　 􀃊􀁊􀁕相反数 典例　 y= 2x-1　 练习　 y2 = 2x-3 命题点 14　 一次函数图象与性质的应用 要点 1　 典例　 x= 6;x= 5　 练习　 C　 要点 2　 典例　 (1)2; 变式 5　 (2)( 1 2 ,0), 9 4 命题点 15　 一次函数的实际应用 类型 1 典例　 (1)x;(100-x);70x+35(100-x);35x+3 500;(100-70) x+ (75-35)(100-x);-10x+4 000 (2)35x+3 500≤6 300;0≤x≤80;0;3 500;0;4 000;购进这批 服装的最低费用为 3 500 元,这批服装全部售出的最大利润为 4 000 元 练习　 解:(1)设购买绿萝 x 盆,吊兰 y 盆, 依题意得: x+y= 46, 9x+6y= 390,{ 解得: x= 38, y= 8.{ ∵ 8×2 = 16,16<38, ∴ x= 38, y= 8{ 符合题意. 答:购买绿萝 38 盆,吊兰 8 盆; (2)设购买绿萝 m 盆,则购买吊兰(46-m)盆, 依题意得:m≥2(46-m),解得:m≥ 92 3 . 设购买两种绿植的总费用为 w 元,则 w = 9m+ 6( 46-m) = 3m +276, ∵ 3>0,∴ w 随 m 的增大而增大, 又∵ m≥ 92 3 ,且 m 为整数, ∴ 当 m= 31 时,w 取得最小值,最小值= 3×31+276 = 369. 答:购买两种绿植总费用的最小值为 369 元. 类型 2 典例　 (1)12;0. 2;0. 25;0. 2x+12;0. 25x (2)解:当 y= 55 时,A 类:55 = 0. 2x+12,解得 x= 215;B 类:55 = 0. 25x,解得 x= 220,∵ 215<220,∴ B 类划算. (3)解:由 0. 2x+12>0. 25x,解得 x<240;由 0. 2x+12<0. 25x,解 得 x>240;由 0. 2x+12 = 0. 25x,解得 x= 240, ∴ 当通话时间小于 240 min 时,应选择 B 类;当通话时间大于 240 min 时,应选择 A 类;当通话时间为 240 min 时,选择 A,B 类都可以. 练习　 解: ( 1) 由图象可得, 100 瓶洗手液不打折的价格是 2 000 元, ∴ 洗手液的单价为 2 000÷100 = 20(元 /瓶), 答:该种洗手液每瓶的标价为 20 元 /瓶; (2)方案一:y1 与 x 的函数关系式为 y1 = 0. 8×20x= 16x; 方案二:当 x≥100 时,y2 = 100 × 20 + ( x- 100) × 20 × 60% = 12x +800, ∴ y1 = 16x,y2 = 12x+800(x≥100); 当 x= 300 时, y1 = 16x= 16×300 = 4 800(元), y2 = 12×300+800 = 4 400(元), 4 400<4 800, 答:方案二更省钱. 命题点 16　 反比例函数的图象与性质 要点　 ①x≠0　 ②一、三　 ③减小　 ④二、四　 ⑤增大　 ⑥y= ±x　 ⑦原点　 ⑧>　 ⑨<　 􀃊􀁉􀁒<　 􀃊􀁉􀁓< 典例　 -3(答案不唯一)　 练习 1　 C　 练习 2　 C 命题点 17　 反比例函数表达式的确定 及 k 的几何意义 要点　 ①ab　 ② ab x 　 ③ | k | 　 ④2　 ⑤1　 ⑥ | k | 　 ⑦ 1 2 | k | ⑧ | k | 典例　 (1)1;(2)5;(3)2;(4)4;(5)2 命题点 18　 反比例函数的应用 要点 1　 典例　 D 练习 1　 (1)y= 3x+3,y = 6 x ;(2) ①x>1 或-2<x<0;②0<x≤1 或 x≤-2;图象略;(3) 9 2 练习 2　 9 　 【解析】由题意可知,BD∥OC, ∴ △ABD∽ △AOC, ∴ S△ABD S△AOC = ( AB AO ) 2 , ∵ 点 A 在反比例函数 y = 4 x 的图象上, ∴ S△AOC = 2,∵ △ABD 的面积为 1 2 ,∴ AB AO = 1 2 ,∴ OA OB = 2 3 ,如解 图,过点 B 作 BE⊥x 轴,垂足为点 E,∵ AC∥BE,∴ △AOC∽ △BOE,∴ S△AOC S△OBE = ( OA OB )2 = 4 9 ,∴ S△OBE = 9×2 4 = 9 2 ,∴ k = 2S△OBE = 9 2 ×2 = 9. 练习 2 题解图 要点 2　 典例　 (2,1)　 练习　 解:(1)三,k>3; (2)设 A(m,n), ∵ 点 A 与点 B 关于 x 轴对称,点 A 与点 C 关于原点 O 对称, ∴ B(m,-n),C( -m,-n) . ∴ AB= 2n,BC= 2m,BC∥x 轴,AB⊥x 轴, ∴ AB⊥BC. ∵ △ABC 的面积为 4,∴ S△ABC = 1 2 BC·AB = 1 2 2m·2n = 2mn = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 731