2.10 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·福建数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 10　 分式方程及其应用(8 年 2 考) 要点 1 分式方程的概念及解法 1. 概念:分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2. 解法(2024. 19 考查) 典例　 解方程: 3 x-2 = x+1 2-x -1. 答题规范 注意事项 解:方程两边同乘①　 (x-2) 　 , 得②　 3=-(x+1)-(x-2) 　 , ①去分母时,方程的每一项都要乘最简公分母; ②分式前为“-”、分子为多项式时,去分母后不要忘记 “-”,并且分子要加括号 去括号,得③　 3=-x-1-x+2　 , 去掉“-(　 　 )”形式的括号时,原括号内的每项都要变号 移项、合并同类项、系数化为 1, 得④　 x=-1　 , 移项一定要变号 检验:⑤　 当 x=-1 时,x-2≠0　 , 一定要写检验过程 故⑥　 x=-1　 是分式方程的解 最后不要忘记写结论 《负面清单》解分式方程时将方程转化为一元二次方程. 示例:5x +2 x2 -x = 3 x+1 . 3. 步骤 分式方程 去分母 转化 →整式方程 解整式方程 → 有解 检验 → 最简公分母不为 0 →分式方程有解 最简公分母为 0 →解是增根,分式 方程无解 ì î í ï ï ï ï 无解→分式方程无解 ì î í ïï ï 易错:增根与无解 (1)增根:是去分母后的整式方程的解,同时也使得分式方程的分母等于 0. (2)无解的两种情况:①分式方程化为整式方程后,整式方程无解􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解;②分式 方程化为整式方程后,整式方程的解不是原方程的根􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解. 对点练习 典例　 [2024 福建 19 题 4 分]解方程: 3 x+2 +1 = x x-2 . 42 基础夯实练·福建数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 练习　 已知 2 x-1 = m x 是关于 x 的分式方程. (1)若方程的解为 2,则 m 的值为　 　 　 ; (2)若方程的解为正整数,当 m 为整数时,m 的值为　 　 　 　 ; (3)若方程的解为负数,则 m 的取值范围为　 　 　 　 ; (4)若方程有增根,则 m 的值为　 　 　 ; (5)易错 ∙∙ 若方程无解,则 m 的值为　 　 　 　 . 要点 2 分式方程的实际应用(2020. 8 考查) (1)解题步骤 实际问题 找等量关系 设未知数 → 列分式方程 → 解方程 → 双检验 → 答 注:双检验———①检验是否是分式方程的解;②检验是否符合实际问题. (2)常考类型 类型 1　 购买问题:总费用 单价 =数量. 类型 2　 行程问题:路程 速度 =时间. 类型 3　 工程问题:工作总量看作“1”,工作总量=工作效率×工作时间. 对点练习 典例　 某商场准备购进 A,B 两种书包,每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 10 元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,用 600 元购进 A􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 种书包的个数是用 350 元购进 B 种书包个数的 2 倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则 A,B 两种书包每个进价各是多少元? 审:基本数量关系式:总费用 单价 =数量. 设:设 A 种书包每个进价为 x 元, 列:依题意,得　 　 　 　 　 　 　 　 , (根据两种书包数量的倍数关系列方程) 解:解得　 　 　 　 , 总费用 单价(元) 数量(个) A 种 600 x 　 　 　 　 B 种 350 　 　 　 　 　 　 　 　 验:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 答:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 练习 1　 [2024 龙岩二检改编]实施乡村振兴战略,是新时代做好“三农”工作的总抓手. 为了发展特色 产业,红旗村计划集中采购 A,B 两种树苗,已知 B 种树苗单价(每棵树苗的价格)比 A 种树苗多 3 元,用 360 元购买 A 种树苗和用 540 元购买 B 种树苗的棵数相同. 求 A,B 两种树苗的单价分别 是多少? 52 基础夯实练·福建数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 练习 2　 [2022 版课标新增点]某施工队挖掘一条长 96 米的隧道,开工后每天比原计划多挖掘 2 米,结果提前 4 天完成任务,求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数,小明同学根据题意 列出方程:96 x - 96 x+2 = 4,则方程中未知数 x 表示　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 变式 1 某施工队要挖掘一条长 120 米的隧道,因为采取了新的施工工艺,开工后每天挖掘的长度 是原计划的 4 3 倍,结果比原计划提前 5 天完成任务,则原计划每天挖掘的长度为　 　 　 米. 变式 2 某工程队承接一铁路工程,在挖掘一条 500 米长的隧道时,为了尽快完成,实际施工时每 天挖掘的长度是原计划的 1. 5 倍,结果提前 25 天完成了其中 300 米的隧道挖掘任务. 则实际每 天挖掘的长度为　 　 　 米. 温馨提示:请完成分层作业本 P19-20 习题 命题点 11　 一元一次不等式(组)及其应用(必考) 要点 1 不等式的基本性质 基本性质 数学表达 在解不等式中的应用 性质 1 如果 a>b,那么 a±c①　 　 　 b±c 移项 性质 2 如果 a>b,c>0,那么 ac②　 　 　 bc(或 a c > b c ) 性质 3 如果 a>b,c<0,那么 ac③　 　 　 bc(或 a c < b c ) 去分母,系数化为 1 对点练习 典例　 [人教七下 P120 第 4 题改编]下列说法错误的是 (　 　 ) A. 若 a<b,则 a+1<b+1　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 若-2a>-2b,则 a<b C. 若 a<b,则 ac<bc D. 若 a(c2 +1) <b(c2 +1),则 a<b 要点 2 一元一次不等式的解法及解集表示(2024. 12 考查) 解法步骤 与解一元一次方程类似:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数 化为 1(特别注意性质 3 的变号) 注:根据实际情况选择解题步骤,如不等式中无分母,则跳过① 解集 的表示 数轴上 的表示 解集 ④　 x<a　 ⑤　 x>a　 ⑥　 x≤a　 ⑦　 x≥a　 总结 在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一定边界点,二定方向. 定边界点时, “≥”或“≤”是实心圆点,“>”或“<”是空心圆圈;定方向的原则为小于向左, 大于向右 62 ⑨互为相反数　 ⑩①+②　 􀃊􀁉􀁓18x= 36 练习 1　 解:方程组的解为 x= 3, y= -2.{ 练习 2　 解:方程组的解是 x= -1, y= 2.{ 要点 4　 典例　 2　 变式 1 2　 变式 2 1 命题点 7　 一次方程(组)的实际应用 典例　 (100-x);10x+(100-x) ×1 = 235;x= 15,则 100-x= 85;这个 月该 公 司 销 售 甲 种 特 产 15 吨, 销 售 乙 种 特 产 85 吨; a+b= 100, 10a+b= 235{ 练习 1　 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 练习 2　 1 12 x+ 1 24 x= 1 拓展设问 1 7　 拓展设问 2 9 练习 3　 x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 练习 4　 B 命题点 8　 一元二次方程及其解法 要点 1　 ①a≠0　 ②a≠0　 典例　 B 要点 2　 典例　 D 练习 1　 解:x1 = 0,x2 = 2. 练习 2　 解:x1 = 2,x2 = -4. 要点 3　 ③两个不相等　 ④两个相等　 ⑤- b 2a 　 ⑥没有 典例　 (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 练习　 D　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+ 1) x2 + 2bx+(a+ 1)= 0 有两个相等的实数根,∴ a+1≠0, Δ= (2b) 2 -4(a+1) 2 = 0,{ ∴ b = a+1 或 b= -(a+1) . 当 b=a+1 时,有 a-b+1 = 0,当 a= 0,b= 1 时 -1 是方程 x2 +2x+1 = 0 的根;当 b= -(a+1)时,有 a+b+1 = 0,当 a= 0,b= -1 时 1 是方程 x2 -2x+1 = 0 的根. ∵ a+1≠0,∴ a+1≠ -(a+1),∴ 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根. 要点 4　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 典例　 2　 练习　 (1)4;(2) -2;(3) -2;(4)20 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x)　 ②a(1+x) 2 　 ③a(1+x) 2 = b　 ④a(1-x)　 ⑤a(1-x) 2 　 ⑥a(1-x) 2 = b　 ⑦(a-2x)(b-2x)　 ⑧(a-x)(b-x) ⑨x· m-x 2 　 ⑩x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁓(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁔 (200+5x)　 􀃊􀁉􀁕(30-x-20)(200+5x)　 􀃊􀁉􀁖[200+5(30-x)] 　 􀃊􀁉􀁗( x-20) [200+ 5(30-x)]　 􀃊􀁉􀁘a[1+(x-1)]　 􀃊􀁉􀁙a[1+(x-1)] 2 　 􀃊􀁉􀁚(1+x)　 􀃊􀁉􀁛(1+x) 2 典例　 B　 练习 1　 2 m　 拓展设问 (40-2x)(26-x)= 144×6 练习 2　 2 750　 练习 3　 10　 练习 4　 B 命题点 10　 分式方程及其应用 要点 1　 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1 典例　 解:原方程的解为 x= 10. 练习　 (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 要点 2　 典例　 600 x ;x+10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原 分式方程的解,且符合题意;则 B 种书包每个的进价为 x+10 = 70; A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 练习 1 　 解:A 种树苗的单价是 6 元 /棵, B 种树苗的单价是 9 元 /棵. 练习 2　 原计划每天挖掘隧道的长度 变式 1 6　 变式 2 6 命题点 11　 一元一次不等式(组)及其应用 要点 1　 ①>　 ②>　 ③< 典例　 C 要点 2　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a 典例　 x<1 练习　 解:x≥-1. 原不等式的解集在数轴上表示略. 要点 3　 ⑧x>b　 ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解 典例　 解:原不等式组的解集为-3≤x<1. 练习　 解:不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上略. 要点 4　 典例 1　 (1)1;(2)a≤2;(3)3;(4)a≥2 典例 2　 (1) -1;(2)a<2;(3) -1≤a<0;(4)a<0;(5)a≥2 要点 5　 􀃊􀁉􀁔>　 􀃊􀁉􀁕<　 􀃊􀁉􀁖≥　 􀃊􀁉􀁗≤　 􀃊􀁉􀁘x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁙ax+b(m-x)≤n 典例　 C　 练习　 解:小明至少答对 22 道题. 第三章　 函　 数 命题点 12　 平面直角坐标系与函数 要点 1　 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横 典例　 (1) -2,2;(2) -2<m<2,m>2,三;(3) -1,-4; (4)(1,3m+6)(答案不唯一) 要点 2　 ⑥(x,-y)　 ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y) 􀃊􀁉􀁒(x,y+a)　 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔(n,-m)　 􀃊􀁉􀁕( -n,m)　 􀃊􀁉􀁖( -m,-n) 典例　 (2,-3) 变式 　 (1)关于 y 轴对称; (2)向右平移 3 个单位; (3)将点 A 绕原点 O 顺时针旋转 90°(答案不唯一) 要点 3　 􀃊􀁉􀁗 | a | 　 􀃊􀁉􀁘 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁙 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁚 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁛 | y2 -y1 | 典例　 (1) ( - 1,2),2,1, 5 ;( 2) ( - 1 2 ,1); ( 3) 2, ( - 3,2) 或 (1,2);(4)(1,1)或(1,3);(5)(2,1)或(2,-1), 10或 3 2 要点 4　 􀃊􀁊􀁒唯一确定　 􀃊􀁊􀁓自变量　 􀃊􀁊􀁔因变量　 􀃊􀁊􀁕≠　 􀃊􀁊􀁖≠ 􀃊􀁊􀁗≥　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≥　 􀃊􀁊􀁚≠　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒>　 􀃊􀁋􀁓> 典例 1　 C　 典例 2　 x≠1;x≥3 命题点 13　 一次函数的图象与性质 要点 1　 ① 　 ② 　 ③ 　 ④一、二、三　 ⑤一、三　 ⑥一、三、四　 ⑦一、二、四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631