2.9 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

⑨互为相反数　 ⑩①+②　 􀃊􀁉􀁓18x= 36 练习 1　 解:方程组的解为 x= 3, y= -2.{ 练习 2　 解:方程组的解是 x= -1, y= 2.{ 要点 4　 典例　 2　 变式 1 2　 变式 2 1 命题点 7　 一次方程(组)的实际应用 典例　 (100-x);10x+(100-x) ×1 = 235;x= 15,则 100-x= 85;这个 月该 公 司 销 售 甲 种 特 产 15 吨, 销 售 乙 种 特 产 85 吨; a+b= 100, 10a+b= 235{ 练习 1　 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 练习 2　 1 12 x+ 1 24 x= 1 拓展设问 1 7　 拓展设问 2 9 练习 3　 x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 练习 4　 B 命题点 8　 一元二次方程及其解法 要点 1　 ①a≠0　 ②a≠0　 典例　 B 要点 2　 典例　 D 练习 1　 解:x1 = 0,x2 = 2. 练习 2　 解:x1 = 2,x2 = -4. 要点 3　 ③两个不相等　 ④两个相等　 ⑤- b 2a 　 ⑥没有 典例　 (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 练习　 D　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+ 1) x2 + 2bx+(a+ 1)= 0 有两个相等的实数根,∴ a+1≠0, Δ= (2b) 2 -4(a+1) 2 = 0,{ ∴ b = a+1 或 b= -(a+1) . 当 b=a+1 时,有 a-b+1 = 0,当 a= 0,b= 1 时 -1 是方程 x2 +2x+1 = 0 的根;当 b= -(a+1)时,有 a+b+1 = 0,当 a= 0,b= -1 时 1 是方程 x2 -2x+1 = 0 的根. ∵ a+1≠0,∴ a+1≠ -(a+1),∴ 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根. 要点 4　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 典例　 2　 练习　 (1)4;(2) -2;(3) -2;(4)20 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x)　 ②a(1+x) 2 　 ③a(1+x) 2 = b　 ④a(1-x)　 ⑤a(1-x) 2 　 ⑥a(1-x) 2 = b　 ⑦(a-2x)(b-2x)　 ⑧(a-x)(b-x) ⑨x· m-x 2 　 ⑩x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁓(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁔 (200+5x)　 􀃊􀁉􀁕(30-x-20)(200+5x)　 􀃊􀁉􀁖[200+5(30-x)] 　 􀃊􀁉􀁗( x-20) [200+ 5(30-x)]　 􀃊􀁉􀁘a[1+(x-1)]　 􀃊􀁉􀁙a[1+(x-1)] 2 　 􀃊􀁉􀁚(1+x)　 􀃊􀁉􀁛(1+x) 2 典例　 B　 练习 1　 2 m　 拓展设问 (40-2x)(26-x)= 144×6 练习 2　 2 750　 练习 3　 10　 练习 4　 B 命题点 10　 分式方程及其应用 要点 1　 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1 典例　 解:原方程的解为 x= 10. 练习　 (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 要点 2　 典例　 600 x ;x+10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原 分式方程的解,且符合题意;则 B 种书包每个的进价为 x+10 = 70; A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 练习 1 　 解:A 种树苗的单价是 6 元 /棵, B 种树苗的单价是 9 元 /棵. 练习 2　 原计划每天挖掘隧道的长度 变式 1 6　 变式 2 6 命题点 11　 一元一次不等式(组)及其应用 要点 1　 ①>　 ②>　 ③< 典例　 C 要点 2　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a 典例　 x<1 练习　 解:x≥-1. 原不等式的解集在数轴上表示略. 要点 3　 ⑧x>b　 ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解 典例　 解:原不等式组的解集为-3≤x<1. 练习　 解:不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上略. 要点 4　 典例 1　 (1)1;(2)a≤2;(3)3;(4)a≥2 典例 2　 (1) -1;(2)a<2;(3) -1≤a<0;(4)a<0;(5)a≥2 要点 5　 􀃊􀁉􀁔>　 􀃊􀁉􀁕<　 􀃊􀁉􀁖≥　 􀃊􀁉􀁗≤　 􀃊􀁉􀁘x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁙ax+b(m-x)≤n 典例　 C　 练习　 解:小明至少答对 22 道题. 第三章　 函　 数 命题点 12　 平面直角坐标系与函数 要点 1　 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横 典例　 (1) -2,2;(2) -2<m<2,m>2,三;(3) -1,-4; (4)(1,3m+6)(答案不唯一) 要点 2　 ⑥(x,-y)　 ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y) 􀃊􀁉􀁒(x,y+a)　 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔(n,-m)　 􀃊􀁉􀁕( -n,m)　 􀃊􀁉􀁖( -m,-n) 典例　 (2,-3) 变式 　 (1)关于 y 轴对称; (2)向右平移 3 个单位; (3)将点 A 绕原点 O 顺时针旋转 90°(答案不唯一) 要点 3　 􀃊􀁉􀁗 | a | 　 􀃊􀁉􀁘 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁙 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁚 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁛 | y2 -y1 | 典例　 (1) ( - 1,2),2,1, 5 ;( 2) ( - 1 2 ,1); ( 3) 2, ( - 3,2) 或 (1,2);(4)(1,1)或(1,3);(5)(2,1)或(2,-1), 10或 3 2 要点 4　 􀃊􀁊􀁒唯一确定　 􀃊􀁊􀁓自变量　 􀃊􀁊􀁔因变量　 􀃊􀁊􀁕≠　 􀃊􀁊􀁖≠ 􀃊􀁊􀁗≥　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≥　 􀃊􀁊􀁚≠　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒>　 􀃊􀁋􀁓> 典例 1　 C　 典例 2　 x≠1;x≥3 命题点 13　 一次函数的图象与性质 要点 1　 ① 　 ② 　 ③ 　 ④一、二、三　 ⑤一、三　 ⑥一、三、四　 ⑦一、二、四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631 基础夯实练·福建数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 (8 年 3 考,其中 2 次在 6 题考查增长率问题) 类型 1　 变化率问题(8 年 2 考) (1)若基础量为 a,平均增长率为 x,则第一次增长后为① 　 a ( 1 + x) 　 ,第二次增长后为 ②　 a(1+x) 2 　 ,若增长两次后的量为 b,则有③　 a(1+x) 2 =b　 ; (2)若基础量为 a,平均下降率为 x,则第一次下降后为④ 　 a ( 1 - x) 　 ,第二次下降后为 ⑤　 a(1-x) 2 　 ,若下降两次后的量为 b,则有⑥　 a(1-x) 2 =b　 . 类型 2　 面积问题(2018. 23 考查) (1)如图 1,设空白部分的宽为 x,则 S阴影 = ⑦　 (a-2x)(b-2x) 　 ; 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 (2)如图 2,图 3,图 4,设阴影道路的宽为 x,则 S空白 = ⑧　 (a-x)(b-x) 　 ; (3)如图 5,用总长为m 米的篱笆,围成一个矩形,一边靠墙,若平行于墙的一边长为 x 米(墙面长 度大于 x 米),则所围成矩形的面积为 S= ⑨　 　 　 　 　 　 ; 图 5 　 　 　 图 6 　 　 　 图 7 (4)如图 6,当在边上留 1 米的门时,S= ⑩　 　 　 　 　 　 . (5)如图 7,长为 a,宽为 b 的矩形 ABCD 的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形后做成一个无盖 的盒子,则该盒子的底面积 S= 􀃊􀁉􀁓　 (a-2x)(b-2x) 　 . 类型 3　 销售利润问题中的“每每模型” ◆基本等量关系:总利润=单件利润×总销量; ◆基本模型:已知进价为 20 元,当售价为 30 元时,每天销量为 200 件,当售价每下降 1 元时,销 量增加 5 件. 用含 x 的代数式填空: (1)当售价下降了􀪍􀪍􀪍 x 元时,每天的销量为􀃊􀁉􀁔　 (200+5x) 　 件,利润为􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 　 　 　 　 元; (2)当售价下降到􀪍􀪍􀪍 x 元时,每天的销量为􀃊􀁉􀁖　 (200+5x) 　 件,利润为􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 　 　 　 　 元. 思考:请同学们自行创造“当售价增加了􀪍􀪍􀪍 x 元时”和“当售价增加到􀪍􀪍􀪍 x 元时”的情境,并列式吧! 类型 4　 “传播”问题(拓展) (1)细胞分裂:现有 a 个细胞,若每轮分裂中每一个细胞可分裂成 x 个细胞,实际上增加了(x-1) 个细胞,则第一轮分裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁘　 a[1+(x-1)] 　 ,第二轮分裂后的细胞总数为 􀃊􀁉􀁙　 a[1+(x-1)] 2 　 ; 22 基础夯实练·福建数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ (2)病毒传染:有一个人患流感,若每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮后共有 􀃊􀁉􀁚　 (1+x) 　 个人患流感,第二轮后共有􀃊􀁉􀁛　 (1+x) 2 　 个人患流感; (3)植物主干分支:一种植物的主干长出 a 个支干,每个支干又长出同样数目的小分支,则主干、 支干和小分支的总数为(1+a+a2)个. 类型 5　 “循环”问题(拓展) (1)单循环 1(握手问题):有 n 个人相互之间只握一次手􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则每个人需要握手(n-1)次,总握手次 数为 n(n-1) 2 次; (2)单循环 2:有 n 支球队参加比赛,每个球队都要和其他球队进行比赛,且相同的两个球队只进􀪍􀪍 行一场比赛􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则每个球队需要进行(n-1)场比赛,总的比赛场次为 n(n-1) 2 场; (3)双循环(互赠礼物问题):一个班级有 n 名同学,每两名同学之间都要互相赠送􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍一个礼物,则 每名同学需赠送礼物(n-1)个,总的礼物个数为 n(n-1)个. 对点练习 典例　 [2023 福建 6 题 4 分]根据福建省统计局数据,福建省 2020 年的地区生产总值为 43 903. 89 亿 元,2022 年的地区生产总值为 53 109. 85 亿元. 设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为 x,根据题意可列方程 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 43 903. 89(1+x)= 53 109. 85 B. 43 903. 89(1+x) 2 = 53 109. 85 C. 43 903. 89x2 = 53 109. 85 D. 43 903. 89(1+x2)= 53 109. 85 练习 1　 如图所示,某小区计划在一个“长为 40 m,宽为 26 m”的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽 的道路,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AD 平行,其余部分种草. 若使每一块草坪的面积都是 144 m2,则道路的宽是　 　 　 . 练习 1 题图 　 　 　 拓展设问题图 拓展设问 将图中的三条道路分别向上、向左和向右平移到如图的位置,若设宽为x m,则可列方 程为　 　 　 　 　 　 　 . 练习 2　 [北师九上 P54 例 2 改编]新华商场销售某种冰箱,每台进货价为 2 500 元. 调查发现,当销售 价为2 900 元时,平均每天能售出 8 台;而当销售价每降低 50 元时,平均每天就能多售出4 台. 商 场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5 000 元,则每台冰箱的定价应为　 　 　 元. 练习 3　 [人教九上 P19 探究 1]有一个人患了流感,经过两轮传染后共有 121 个人患了流感,则每轮传 染中平均一个人传染了　 　 　 个人. 练习 4　 [人教九上 P17 第 8 题改编]参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有 公司共签订了 45 份合同,若设有 x 家公司参加,依题意列方程为 (　 　 ) A. 1 2 x(x+1)= 45 B. 1 2 x(x-1)= 45 C. x(x+1)= 45 D. x(x-1)= 45 温馨提示:请完成分层作业本 P17-18 习题 32