2.8 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·福建数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 8　 一元二次方程及其解法(8 年 5 考) 要点 1 一元二次方程(ax2 +bx+c= 0,其中 a≠0)必须同时满足以下三个条件: 　 (1)是整式方程; (2)只含有 1 个未知数; (3)未知数的最高次数是 2. 易错:对于方程 ax2 +bx+c= 0,只有当①　 a≠0　 时才是一元二次方 程;若 ax2 +bx+c= 0 是一元二次方程,则必然隐含着②　 a≠0　 . 对点练习 典例　 [2024 三明一检]下列方程是关于 x 的一元二次方程的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2x+1 = 0 B. x2 -2x-3 = 0 C. x2 + 1 x = 1 D. x3 +x= 3 要点 2 一元二次方程的解法(基本思路:降次)(在解答题中涉及考查) 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 x2 = p(p≥0) x=± p (x+n) 2 = p(p≥0) x=± p -n 因式分解法 (x-a)(x-b)= 0 x1 =a,x2 =b x(ax+b)= 0(a≠0) x1 = 0,x2 =- b a 公式法 所有一元二次方程: ax2 +bx+c= 0 (a≠0,b2 -4ac≥0) 求根公式为 x= -b± b2-4ac 2a , 在使用求根公式时: (1)要先将一元二次方程化为一般形式; (2)确定 a,b,c 的值时要带符号 配方法 所有一元二次方程,一般用于: 二次项系数化为 1 后一次项系数 是偶数的方程,形如 x2 +2mx-n= 0 x= ± n+m2 -m(n+m2≥0) 易错:①用公式法代 a,b,c 的值时要注意它们的符号; ②对于方程两边含有相同因式(如 2x(x-1)= 3(x-1))的一元二次方程,切勿直接约去公因式求 解导致丢根􀪍􀪍,正确做法是将方程化为两个因式之积为 0的形式,利用因式分解法求解. 对点练习 典例　 用配方法解一元二次方程 x2 -6x+3 = 0,配方后得到的方程是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (x+6) 2 = 6 B. (x-6) 2 = 12 C. (x+3) 2 = 12 D. (x-3) 2 = 6 练习 1　 解方程:x2 -2x= 0. 02 基础夯实练·福建数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 练习 2　 多解法 ∙∙∙ [2024 漳州一检]解方程:x2 +2x-8 = 0. 要点 3 一元二次方程根的判别式(2018. 10 考查) b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的根的判别式. (1)b2 -4ac>0⇔方程有③　 两个不相等　 的实数根; (2)b2 -4ac= 0⇔方程有④　 两个相等　 的实数根(x1 = x2 = ⑤　 　 　 ); (3)b2 -4ac<0⇔方程⑥　 没有　 实数根. 由(1)(2)知 b2 -4ac≥0⇔方程有两个实数根. 注:由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时,若一元二次方程的二次项系数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 含有字母􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,应注意二次项系数不为 0􀪍􀪍􀪍 这个隐含条件. 对点练习 典例　 已知关于 x 的方程 ax2 -4x+1 = 0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是　 　 　 　 　 ; (2)若该方程有两个相等的实数根,则 a 的值为　 　 　 ; (3)若该方程没有实数根,则 a 的取值范围是　 　 　 ; (4)若该方程有实数根,则 a 的取值范围是　 　 　 . 练习　 [2018 福建 10 题 4 分]已知关于 x 的一元二次方程(a+1)x2 +2bx+(a+1)= 0 有两个相等的实数 根,下列判断正确的是 (　 　 ) A. 1 一定不是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根　 B. 0 一定不是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根 C. 1 和-1 都是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根 D. 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根 要点 4 一元二次方程根与系数的关系(2021. 25 考查) 若方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个实数根 ∙∙∙∙∙∙ x1,x2,则有 x1 +x2 = ⑦　 　 　 ,x1x2 = ⑧　 　 　 . 拓展:根与系数的常用变形 x21 +x22 = (x1 +x2) 2 -2x1x2;(x1 -x2) 2 = (x1 +x2) 2 -4x1x2; (x1 +m)(x2 +m)= x1x2 +m(x1 +x2) +m2; 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 . 易错:根据根与系数的关系求方程中字母系数的值时,一定要保证方程有根. 对点练习 典例　 [2024 漳州一检]已知一元二次方程 x2 -3x+m= 0 的一个根为 x1 = 1,则另一个根 x2 = 　 　 　 . 练习　 若一元二次方程 x2 -4x-2 = 0 的两根分别为 x1,x2,且 x1 >x2,则: (1)x1 +x2 = 　 　 　 ;(2)x1·x2 = 　 　 　 ;(3) 1 x1 + 1 x2 = 　 　 　 ;(4)x21 +x22 = 　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P15-16 习题 12 ⑨互为相反数　 ⑩①+②　 􀃊􀁉􀁓18x= 36 练习 1　 解:方程组的解为 x= 3, y= -2.{ 练习 2　 解:方程组的解是 x= -1, y= 2.{ 要点 4　 典例　 2　 变式 1 2　 变式 2 1 命题点 7　 一次方程(组)的实际应用 典例　 (100-x);10x+(100-x) ×1 = 235;x= 15,则 100-x= 85;这个 月该 公 司 销 售 甲 种 特 产 15 吨, 销 售 乙 种 特 产 85 吨; a+b= 100, 10a+b= 235{ 练习 1　 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 练习 2　 1 12 x+ 1 24 x= 1 拓展设问 1 7　 拓展设问 2 9 练习 3　 x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 练习 4　 B 命题点 8　 一元二次方程及其解法 要点 1　 ①a≠0　 ②a≠0　 典例　 B 要点 2　 典例　 D 练习 1　 解:x1 = 0,x2 = 2. 练习 2　 解:x1 = 2,x2 = -4. 要点 3　 ③两个不相等　 ④两个相等　 ⑤- b 2a 　 ⑥没有 典例　 (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 练习　 D　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+ 1) x2 + 2bx+(a+ 1)= 0 有两个相等的实数根,∴ a+1≠0, Δ= (2b) 2 -4(a+1) 2 = 0,{ ∴ b = a+1 或 b= -(a+1) . 当 b=a+1 时,有 a-b+1 = 0,当 a= 0,b= 1 时 -1 是方程 x2 +2x+1 = 0 的根;当 b= -(a+1)时,有 a+b+1 = 0,当 a= 0,b= -1 时 1 是方程 x2 -2x+1 = 0 的根. ∵ a+1≠0,∴ a+1≠ -(a+1),∴ 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根. 要点 4　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 典例　 2　 练习　 (1)4;(2) -2;(3) -2;(4)20 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x)　 ②a(1+x) 2 　 ③a(1+x) 2 = b　 ④a(1-x)　 ⑤a(1-x) 2 　 ⑥a(1-x) 2 = b　 ⑦(a-2x)(b-2x)　 ⑧(a-x)(b-x) ⑨x· m-x 2 　 ⑩x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁓(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁔 (200+5x)　 􀃊􀁉􀁕(30-x-20)(200+5x)　 􀃊􀁉􀁖[200+5(30-x)] 　 􀃊􀁉􀁗( x-20) [200+ 5(30-x)]　 􀃊􀁉􀁘a[1+(x-1)]　 􀃊􀁉􀁙a[1+(x-1)] 2 　 􀃊􀁉􀁚(1+x)　 􀃊􀁉􀁛(1+x) 2 典例　 B　 练习 1　 2 m　 拓展设问 (40-2x)(26-x)= 144×6 练习 2　 2 750　 练习 3　 10　 练习 4　 B 命题点 10　 分式方程及其应用 要点 1　 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1 典例　 解:原方程的解为 x= 10. 练习　 (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 要点 2　 典例　 600 x ;x+10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原 分式方程的解,且符合题意;则 B 种书包每个的进价为 x+10 = 70; A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 练习 1 　 解:A 种树苗的单价是 6 元 /棵, B 种树苗的单价是 9 元 /棵. 练习 2　 原计划每天挖掘隧道的长度 变式 1 6　 变式 2 6 命题点 11　 一元一次不等式(组)及其应用 要点 1　 ①>　 ②>　 ③< 典例　 C 要点 2　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a 典例　 x<1 练习　 解:x≥-1. 原不等式的解集在数轴上表示略. 要点 3　 ⑧x>b　 ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解 典例　 解:原不等式组的解集为-3≤x<1. 练习　 解:不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上略. 要点 4　 典例 1　 (1)1;(2)a≤2;(3)3;(4)a≥2 典例 2　 (1) -1;(2)a<2;(3) -1≤a<0;(4)a<0;(5)a≥2 要点 5　 􀃊􀁉􀁔>　 􀃊􀁉􀁕<　 􀃊􀁉􀁖≥　 􀃊􀁉􀁗≤　 􀃊􀁉􀁘x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁙ax+b(m-x)≤n 典例　 C　 练习　 解:小明至少答对 22 道题. 第三章　 函　 数 命题点 12　 平面直角坐标系与函数 要点 1　 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横 典例　 (1) -2,2;(2) -2<m<2,m>2,三;(3) -1,-4; (4)(1,3m+6)(答案不唯一) 要点 2　 ⑥(x,-y)　 ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y) 􀃊􀁉􀁒(x,y+a)　 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔(n,-m)　 􀃊􀁉􀁕( -n,m)　 􀃊􀁉􀁖( -m,-n) 典例　 (2,-3) 变式 　 (1)关于 y 轴对称; (2)向右平移 3 个单位; (3)将点 A 绕原点 O 顺时针旋转 90°(答案不唯一) 要点 3　 􀃊􀁉􀁗 | a | 　 􀃊􀁉􀁘 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁙 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁚 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁛 | y2 -y1 | 典例　 (1) ( - 1,2),2,1, 5 ;( 2) ( - 1 2 ,1); ( 3) 2, ( - 3,2) 或 (1,2);(4)(1,1)或(1,3);(5)(2,1)或(2,-1), 10或 3 2 要点 4　 􀃊􀁊􀁒唯一确定　 􀃊􀁊􀁓自变量　 􀃊􀁊􀁔因变量　 􀃊􀁊􀁕≠　 􀃊􀁊􀁖≠ 􀃊􀁊􀁗≥　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≥　 􀃊􀁊􀁚≠　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒>　 􀃊􀁋􀁓> 典例 1　 C　 典例 2　 x≠1;x≥3 命题点 13　 一次函数的图象与性质 要点 1　 ① 　 ② 　 ③ 　 ④一、二、三　 ⑤一、三　 ⑥一、三、四　 ⑦一、二、四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631