2.6 一次方程(组)及其解法-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点 1　 ①不循环　 ②-3 m　 ③盈利 50 元　 ④亏损 80 元 ⑤温度下降 3 ℃ 典例 1　 D　 典例 2　 +2024 要点 2　 ⑥单位长度　 ⑦一一对应　 ⑧小　 ⑨符号不同　 ⑩-a 􀃊􀁉􀁓0　 􀃊􀁉􀁔0　 􀃊􀁉􀁕-a　 􀃊􀁉􀁖距离　 􀃊􀁉􀁗大　 􀃊􀁉􀁘 1 a 　 􀃊􀁉􀁙±1　 􀃊􀁉􀁚 2 　 􀃊􀁉􀁛 3 　 􀃊􀁊􀁒 5 典例　 ( 1) F,B;( 2) ①- 1,- 1 2 ,1, 2 ,3,π;②A,C,1,2,原点; ③ 1 2 , 1 2 ,-2;(3)2 或 4 要点 3　 􀃊􀁊􀁓108 典例 1　 C 练习　 (1)3. 3×1010 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)5×10-4 ;(4)1. 25×10-7 典例 2　 246;245. 6;245. 64 要点 4　 􀃊􀁊􀁔大　 􀃊􀁊􀁕>　 􀃊􀁊􀁖 = 　 􀃊􀁊􀁗> 典例　 0(答案不唯一) 练习 1　 | -3 | ,- 1 3 　 练习 2　 a<-b<b<-a 命题点 2　 实数的运算 要点 1　 ①na　 ② 1 b 典例　 (1)1　 (2)12　 (3) 1 4 　 (4)1- 2 　 (5) -2　 (6) -1 练习　 (1)解:原式= -12;(2)解:原式= -2. 要点 2　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 典例　 解:原式= 4. 　 练习 1　 解:原式= 2+ 3 . 练习 2　 解:原式= 3. 　 练习 3　 解:原式= 1. 命题点 3　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点 1　 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1 典例　 C　 练习　 C 要点 2　 ⑥≥　 ⑦a　 ⑧ ab 典例 1　 (1)x≤0;(2)x≥4;(3)x 取任意实数;(4)x≥-1; (5)x≥1 且 x≠2;(6)x>1 典例 2　 (1)3;(2) -3;(3) 6 ;(4) 3 ;(5)1; 变式 2 3 典例 3　 8 3 要点 3　 ⑨4　 ⑩9　 􀃊􀁉􀁓2　 􀃊􀁉􀁔3　 􀃊􀁉􀁕C　 􀃊􀁉􀁖2. 5　 􀃊􀁉􀁗3　 􀃊􀁉􀁘C 练习 1　 2 或 3(写一个即可)　 练习 2　 C　 练习 3　 B　 命题点 4　 整式与因式分解 要点 1　 典例　 (1)(a-b) 2 ;(2) 4 5 (x-4);(3)(1-45%)x;(4)a+10b 练习 1　 2　 变式 1 5　 变式 2 2 025　 练习 2　 1 要点 2　 典例　 2n-1 n2 +1 　 练习　 30 要点 3　 典例　 (1)①3;②5;③3;(2)11,9 练习　 证明:a2 +8a+21 =a2 +2a·4+42 -42 +21 = (a+4) 2 +5, ∵ 对于任意实数 a,(a+4) 2 ≥0, ∴ (a+4) 2 +5≥5,即 a2 +8a+21≥5. 要点 4　 ①a+b+c　 ②a-b-c　 ③am+n 　 ④amn 　 ⑤ambm 　 ⑥am-n 　 ⑦ 1 ap 　 ⑧1　 ⑨6a4b2 　 ⑩2a3 - 2a 　 􀃊􀁉􀁓4a2 + 2a- 2　 􀃊􀁉􀁔(a+b) (a- b)= a2 -b2 　 􀃊􀁉􀁕(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 　 􀃊􀁉􀁖(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 典例　 B 练习 1　 (1) ×,2a3 ;(2) ×,-a3 ;(3)√;(4) ×,-8ab+2b3 ; (5) ×,x2 -y2 ;(6) ×,x2 -4xy+4y2 练习 2　 解:原式= x+1, 当 x= 2 025 时,原式= 2 025+1 = 2 026. 要点 5　 典例　 x(x+1) 练习　 (1)y(x-2y);(2)(4a-1) 2 ;(3)(3+x)(3-x); (4)m(m+n)(m-n);(5)x(x-y) 2 ;(6)(x-3)(x+2) 命题点 5　 分式及其运算 要点 1　 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0 典例 1　 C　 典例 2　 x≠5　 练习　 x= 1 要点 2　 ④ bd ac 　 ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦ a±b c 　 ⑧ ad±bc bd 典例　 (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)1-a;(4) 1-2a a ;(5) n2 m ;(6)a+3; (7) 1 a+2 ;(8) 1 a-2 ;(9) 1 x-1 要点 3　 典例　 解:原式= - 1 x+1 , 当 x= 2 -1 时,原式= - 1 2 -1+1 = - 2 2 . 练习　 解:原式= 1 a-1 , 当 a= 2 +1 时,原式= 1 2 +1-1 = 2 2 . 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 6　 一次方程(组)及其解法 要点 1　 典例　 B　 练习　 C 要点 2　 典例　 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3 要点 3　 ⑥1 或-1　 ⑦y= x-3　 ⑧3x-8(x-3)= 14　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 531 ⑨互为相反数　 ⑩①+②　 􀃊􀁉􀁓18x= 36 练习 1　 解:方程组的解为 x= 3, y= -2.{ 练习 2　 解:方程组的解是 x= -1, y= 2.{ 要点 4　 典例　 2　 变式 1 2　 变式 2 1 命题点 7　 一次方程(组)的实际应用 典例　 (100-x);10x+(100-x) ×1 = 235;x= 15,则 100-x= 85;这个 月该 公 司 销 售 甲 种 特 产 15 吨, 销 售 乙 种 特 产 85 吨; a+b= 100, 10a+b= 235{ 练习 1　 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 练习 2　 1 12 x+ 1 24 x= 1 拓展设问 1 7　 拓展设问 2 9 练习 3　 x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 练习 4　 B 命题点 8　 一元二次方程及其解法 要点 1　 ①a≠0　 ②a≠0　 典例　 B 要点 2　 典例　 D 练习 1　 解:x1 = 0,x2 = 2. 练习 2　 解:x1 = 2,x2 = -4. 要点 3　 ③两个不相等　 ④两个相等　 ⑤- b 2a 　 ⑥没有 典例　 (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 练习　 D　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+ 1) x2 + 2bx+(a+ 1)= 0 有两个相等的实数根,∴ a+1≠0, Δ= (2b) 2 -4(a+1) 2 = 0,{ ∴ b = a+1 或 b= -(a+1) . 当 b=a+1 时,有 a-b+1 = 0,当 a= 0,b= 1 时 -1 是方程 x2 +2x+1 = 0 的根;当 b= -(a+1)时,有 a+b+1 = 0,当 a= 0,b= -1 时 1 是方程 x2 -2x+1 = 0 的根. ∵ a+1≠0,∴ a+1≠ -(a+1),∴ 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根. 要点 4　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 典例　 2　 练习　 (1)4;(2) -2;(3) -2;(4)20 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x)　 ②a(1+x) 2 　 ③a(1+x) 2 = b　 ④a(1-x)　 ⑤a(1-x) 2 　 ⑥a(1-x) 2 = b　 ⑦(a-2x)(b-2x)　 ⑧(a-x)(b-x) ⑨x· m-x 2 　 ⑩x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁓(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁔 (200+5x)　 􀃊􀁉􀁕(30-x-20)(200+5x)　 􀃊􀁉􀁖[200+5(30-x)] 　 􀃊􀁉􀁗( x-20) [200+ 5(30-x)]　 􀃊􀁉􀁘a[1+(x-1)]　 􀃊􀁉􀁙a[1+(x-1)] 2 　 􀃊􀁉􀁚(1+x)　 􀃊􀁉􀁛(1+x) 2 典例　 B　 练习 1　 2 m　 拓展设问 (40-2x)(26-x)= 144×6 练习 2　 2 750　 练习 3　 10　 练习 4　 B 命题点 10　 分式方程及其应用 要点 1　 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1 典例　 解:原方程的解为 x= 10. 练习　 (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 要点 2　 典例　 600 x ;x+10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原 分式方程的解,且符合题意;则 B 种书包每个的进价为 x+10 = 70; A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 练习 1 　 解:A 种树苗的单价是 6 元 /棵, B 种树苗的单价是 9 元 /棵. 练习 2　 原计划每天挖掘隧道的长度 变式 1 6　 变式 2 6 命题点 11　 一元一次不等式(组)及其应用 要点 1　 ①>　 ②>　 ③< 典例　 C 要点 2　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a 典例　 x<1 练习　 解:x≥-1. 原不等式的解集在数轴上表示略. 要点 3　 ⑧x>b　 ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解 典例　 解:原不等式组的解集为-3≤x<1. 练习　 解:不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上略. 要点 4　 典例 1　 (1)1;(2)a≤2;(3)3;(4)a≥2 典例 2　 (1) -1;(2)a<2;(3) -1≤a<0;(4)a<0;(5)a≥2 要点 5　 􀃊􀁉􀁔>　 􀃊􀁉􀁕<　 􀃊􀁉􀁖≥　 􀃊􀁉􀁗≤　 􀃊􀁉􀁘x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁙ax+b(m-x)≤n 典例　 C　 练习　 解:小明至少答对 22 道题. 第三章　 函　 数 命题点 12　 平面直角坐标系与函数 要点 1　 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横 典例　 (1) -2,2;(2) -2<m<2,m>2,三;(3) -1,-4; (4)(1,3m+6)(答案不唯一) 要点 2　 ⑥(x,-y)　 ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y) 􀃊􀁉􀁒(x,y+a)　 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔(n,-m)　 􀃊􀁉􀁕( -n,m)　 􀃊􀁉􀁖( -m,-n) 典例　 (2,-3) 变式 　 (1)关于 y 轴对称; (2)向右平移 3 个单位; (3)将点 A 绕原点 O 顺时针旋转 90°(答案不唯一) 要点 3　 􀃊􀁉􀁗 | a | 　 􀃊􀁉􀁘 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁙 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁚 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁛 | y2 -y1 | 典例　 (1) ( - 1,2),2,1, 5 ;( 2) ( - 1 2 ,1); ( 3) 2, ( - 3,2) 或 (1,2);(4)(1,1)或(1,3);(5)(2,1)或(2,-1), 10或 3 2 要点 4　 􀃊􀁊􀁒唯一确定　 􀃊􀁊􀁓自变量　 􀃊􀁊􀁔因变量　 􀃊􀁊􀁕≠　 􀃊􀁊􀁖≠ 􀃊􀁊􀁗≥　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≥　 􀃊􀁊􀁚≠　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒>　 􀃊􀁋􀁓> 典例 1　 C　 典例 2　 x≠1;x≥3 命题点 13　 一次函数的图象与性质 要点 1　 ① 　 ② 　 ③ 　 ④一、二、三　 ⑤一、三　 ⑥一、三、四　 ⑦一、二、四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631 基础夯实练·福建数学 第二章　 方程(组)与不等式(组) 　 　 (每年 2 ~ 5 道,10 ~ 24 分) 　 　 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 6　 一次方程(组)及其解法(8 年 2 考) 要点 1 等式的性质 基本性质 文字表达 数学表达 在解方程中的应用 性质 1 等式两边加(或减)同一个数(或 式子),结果仍相等 若 a= b,则 a±c= b±c 移项 性质 2 等式两边乘同一个数,或除以同 一个不为 0 的数,结果仍相等 若 a= b,则 ac= bc; 若 a= b,c≠0,则 a c = b c 去分母, 系数化为 1 对点练习 典例　 已知 a= b,则下列变形不一定成立的是 (　 　 ) A. | a | = | b | 　 　 　 　 　 B. a c = b c 　 　 　 　 　 C. a2 = b2 　 　 　 　 　 D. 2a-2b= 0 练习　 解方程 1 2 x-1 = - 1 2 x+1 时,利用等式性质变形,下列正确的是 (　 　 ) A. 两边同时乘 2,得 x-1 = -x+1 B. 移项,得 1 2 x= - 1 2 x+1-1 C. 移项,得 1 2 x+ 1 2 x= 1+1 D. 两边同时除以 1 2 ,得 x-2 = -x+ 1 2 要点 2 解一元一次方程:经过去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为 1 的步骤,将以 x 为 未知数的方程转化为 x=a 的形式. 这个过程主要依据等式的基本性质和运算律. 典例　 解方程:x +2 5 = 2- x -1 2 . 答题规范 注意事项 解:去分母:①　 2(x+2)= 20-5(x-1) 　 , (1)不要漏乘不含分母的项; (2)分子是多项式时,去分母时加括号 去括号:②　 2x+4=20-5x+5　 , 去掉“-( 　 　 )”形式的括号时,原括号内的每一 项都要变号 移项:③　 2x+5x=20+5-4　 , 移项一定要变号,合并同类项时,字母及其指数不 变,只把系数相加 合并同类项:④　 7x=21　 , 把方程化为 ax= b(a≠0)的形式 系数化为 1:⑤　 x=3　 . 方程两边同除以未知数的系数 61 基础夯实练·福建数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 要点 3 二元一次方程组的解法(8 年 2 考) (1)基本思想:消元,即二元一次方程组 消元 转化 → 一元一次方程; (2)解法:代入消元法、加减消元法. 消元法 最佳适用情况 示例 具体做法示例 代入 消元法 方程组中一个方程 的常数项为 0 或某 一个未知数的系数 为⑥　 1或-1　 时 x-y= 3,① 3x-8y= 14②{ 由①,得⑦　 y=x-3　 ,③(用 x 表示 y) 将③代入②,得⑧　 3x-8(x-3)= 14　 , 解这个方程,得 x 的值,继而求得 y 的值. 【自主探究】若先用 y 表示 x,试做一下吧 加减 消元法 方程组中两个方程 同一未知数的系数 相等或⑨　 互为相 反数　 时 3x+10y= 27,① 15x-10y= 9②{ 􀃊􀁉􀁒　 ①+②　 ,得􀃊􀁉􀁓　 18x=36　 ,(消去 y) 解这个方程,得 x 的值, 把 x 的值代入①或②,求出 y 的值. 【自主探究】若先消去 x 呢,试做一下吧 注:其他非特殊的二元一次方程组,两种消元法皆适用. 拓展:※三元一次方程组的解法 基本思想:消元,即三元一次方程组 消元 转化 →二元一次方程组 消元 转化 →一元一次方程. 对点练习 练习 1　 [2018 福建 17 题 8 分]解方程组: x+y= 1, 4x+y= 10.{ 练习 2　 [2024 宁德二检] x+2y= 3, x-y= -3.{ 要点 4 一次方程(组)解的应用 (1)若 x=m 是关于 x 的一元一次方程 ax+b= 0 的解,则 am+b= 0; (2)若 x=m, y=n{ 是关于 x,y 的二元一次方程 ax+by= 0 的解,则 am+bn= 0,要注意二元一次方程 ax+ by= 0 的解不唯一; (3)若 x=m, y=n{ 是关于 x,y 的二元一次方程组 a1x+b1y= 0, a2x+b2y= 0 { 的解,则 a1m +b1n= 0, a2m+b2n= 0. { 对点练习 典例　 已知 x= 3 是关于 x 的方程 mx-2 = x+1 的解,那么 m 的值为　 　 　 . 变式 1 已知 x= 2, y= -1{ 是方程 2x-ay= 6 的一个解,那么 a 的值是　 　 　 . 变式 2 若关于 x,y 的方程组 3x+y= 3m-5, x-y=m-1{ 中,x+y= -1,则 m 的值为　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P11-12 习题 71