1.4 整式与因式分解-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点 1　 ①不循环　 ②-3 m　 ③盈利 50 元　 ④亏损 80 元 ⑤温度下降 3 ℃ 典例 1　 D　 典例 2　 +2024 要点 2　 ⑥单位长度　 ⑦一一对应　 ⑧小　 ⑨符号不同　 ⑩-a 􀃊􀁉􀁓0　 􀃊􀁉􀁔0　 􀃊􀁉􀁕-a　 􀃊􀁉􀁖距离　 􀃊􀁉􀁗大　 􀃊􀁉􀁘 1 a 　 􀃊􀁉􀁙±1　 􀃊􀁉􀁚 2 　 􀃊􀁉􀁛 3 　 􀃊􀁊􀁒 5 典例　 ( 1) F,B;( 2) ①- 1,- 1 2 ,1, 2 ,3,π;②A,C,1,2,原点; ③ 1 2 , 1 2 ,-2;(3)2 或 4 要点 3　 􀃊􀁊􀁓108 典例 1　 C 练习　 (1)3. 3×1010 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)5×10-4 ;(4)1. 25×10-7 典例 2　 246;245. 6;245. 64 要点 4　 􀃊􀁊􀁔大　 􀃊􀁊􀁕>　 􀃊􀁊􀁖 = 　 􀃊􀁊􀁗> 典例　 0(答案不唯一) 练习 1　 | -3 | ,- 1 3 　 练习 2　 a<-b<b<-a 命题点 2　 实数的运算 要点 1　 ①na　 ② 1 b 典例　 (1)1　 (2)12　 (3) 1 4 　 (4)1- 2 　 (5) -2　 (6) -1 练习　 (1)解:原式= -12;(2)解:原式= -2. 要点 2　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 典例　 解:原式= 4. 　 练习 1　 解:原式= 2+ 3 . 练习 2　 解:原式= 3. 　 练习 3　 解:原式= 1. 命题点 3　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点 1　 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1 典例　 C　 练习　 C 要点 2　 ⑥≥　 ⑦a　 ⑧ ab 典例 1　 (1)x≤0;(2)x≥4;(3)x 取任意实数;(4)x≥-1; (5)x≥1 且 x≠2;(6)x>1 典例 2　 (1)3;(2) -3;(3) 6 ;(4) 3 ;(5)1; 变式 2 3 典例 3　 8 3 要点 3　 ⑨4　 ⑩9　 􀃊􀁉􀁓2　 􀃊􀁉􀁔3　 􀃊􀁉􀁕C　 􀃊􀁉􀁖2. 5　 􀃊􀁉􀁗3　 􀃊􀁉􀁘C 练习 1　 2 或 3(写一个即可)　 练习 2　 C　 练习 3　 B　 命题点 4　 整式与因式分解 要点 1　 典例　 (1)(a-b) 2 ;(2) 4 5 (x-4);(3)(1-45%)x;(4)a+10b 练习 1　 2　 变式 1 5　 变式 2 2 025　 练习 2　 1 要点 2　 典例　 2n-1 n2 +1 　 练习　 30 要点 3　 典例　 (1)①3;②5;③3;(2)11,9 练习　 证明:a2 +8a+21 =a2 +2a·4+42 -42 +21 = (a+4) 2 +5, ∵ 对于任意实数 a,(a+4) 2 ≥0, ∴ (a+4) 2 +5≥5,即 a2 +8a+21≥5. 要点 4　 ①a+b+c　 ②a-b-c　 ③am+n 　 ④amn 　 ⑤ambm 　 ⑥am-n 　 ⑦ 1 ap 　 ⑧1　 ⑨6a4b2 　 ⑩2a3 - 2a 　 􀃊􀁉􀁓4a2 + 2a- 2　 􀃊􀁉􀁔(a+b) (a- b)= a2 -b2 　 􀃊􀁉􀁕(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 　 􀃊􀁉􀁖(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 典例　 B 练习 1　 (1) ×,2a3 ;(2) ×,-a3 ;(3)√;(4) ×,-8ab+2b3 ; (5) ×,x2 -y2 ;(6) ×,x2 -4xy+4y2 练习 2　 解:原式= x+1, 当 x= 2 025 时,原式= 2 025+1 = 2 026. 要点 5　 典例　 x(x+1) 练习　 (1)y(x-2y);(2)(4a-1) 2 ;(3)(3+x)(3-x); (4)m(m+n)(m-n);(5)x(x-y) 2 ;(6)(x-3)(x+2) 命题点 5　 分式及其运算 要点 1　 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0 典例 1　 C　 典例 2　 x≠5　 练习　 x= 1 要点 2　 ④ bd ac 　 ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦ a±b c 　 ⑧ ad±bc bd 典例　 (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)1-a;(4) 1-2a a ;(5) n2 m ;(6)a+3; (7) 1 a+2 ;(8) 1 a-2 ;(9) 1 x-1 要点 3　 典例　 解:原式= - 1 x+1 , 当 x= 2 -1 时,原式= - 1 2 -1+1 = - 2 2 . 练习　 解:原式= 1 a-1 , 当 a= 2 +1 时,原式= 1 2 +1-1 = 2 2 . 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 6　 一次方程(组)及其解法 要点 1　 典例　 B　 练习　 C 要点 2　 典例　 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3 要点 3　 ⑥1 或-1　 ⑦y= x-3　 ⑧3x-8(x-3)= 14　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 531 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 4　 整式与因式分解(必考) 要点 1 列代数式及求值 代数式 用基本运算符号将数或表示数的字母连接所成的式子,称为代数式. 单独的一个数或 一个字母也是代数式 列代 数式 关键是找出问题中的数量关系. 牢记一些公式,如:路程=速度×时间,总价=数量×单价, 售价=标价×折扣;抓住关键词语,如:大、小、多、少、倍、分、增长、下降等 易错:多项式后面带单位时,要用括号括起来,如:(x+y)人 代数式 求值 (8 年 2 考) 直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值. 如:已知 a= 2,则 2a+3 = 7 整体代入法: (1)观察已知关系式和所求代数式的关系; (2)将所求代数式变形后与已知关系式中含字母的部分(有时也需对已知关系式变 形)成倍数关系,一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式; (3)将所求代数式中上述成倍数关系的部分用已知关系式中相同代数式的值替换 求值. 整体代入法中常用乘法公式变形: a. a2 +b2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab;　 b. 4ab=(a+b) 2 -(a-b) 2; c. a2 +b2 = 1 2 [(a+b) 2 +(a-b) 2]; d. x2 + 1 x2 =(x+ 1 x ) 2 -2 =(x- 1 x ) 2 +2 对点练习 典例　 用代数式表示: (1)a 与 b 的差的平方:　 　 　 　 ;(2)x 与 4 的差的 4 5 :　 　 　 　 ; (3)某班共有 x 名学生,其中女生人数占 45%,那么男生人数是　 　 　 　 ; (4)一个两位数的个位上数字是 a,十位上数字是 b,则这个两位数应表示为　 　 　 　 . 练习 1　 若 x-2y= 3,则代数式 2x-4y-4 的值是　 　 　 　 . 变式 1 已知 x-2y-3 = 0,则代数式(x-2y) 2 +2y-1-x 的值是　 　 　 　 . 变式 2 已知代数式 x-2y-1 的值是-3,则代数式 2 023-x+2y 的值是　 　 　 　 . 练习 2　 [2023 福建 15 题 4 分]已知 1 a + 2 b = 1,且 a≠-b,则ab -a a+b 的值为　 　 　 　 . 要点 2 简单数列推理 (1)正整数型:若一列正整数:1,2,3,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n,这 n(n≥1)个数的 和为 n(n+1) 2 ; (2)奇偶型:若一列数:1,3,5,7,9,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n-1,这 n(n≥1)个数的 和为 n2; 01 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 若一列数:2,4,6,8,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 2n,这 n(n≥1)个数的和为 n2+n; (3)正负交替型:若一列数:-1,1,-1,1,-1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n; 若一列数:1,-1,1,-1,1,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是(-1) n+1; (4)平方型:若一列数:1,4,9,16,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n2; (5)固定累加型:若一列数:4,7,10,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 3n+1; (6)乘积型:若一列数:2,6,12,20,…,依照此规律,则第 n(n≥1)个数是 n(n+1) . 对点练习 典例　 按规律排列的一组数: 1 2 , 3 5 , 1 2 , 7 17 , 9 26 ,11 37 ,…,则第 n(n≥1)个数是　 　 　 　 . 练习　 [北师七上 P99 第 1(2)题改编]按如图所示的方式摆放餐桌和椅子,图①中共有 6 把椅子,图② 中共有 10 把椅子,…,按此规律,则图⑦中椅子把数是　 　 　 　 . 练习题图 要点 3 代数推理与证明【2022 年版课标新增内容】(8 年 2 考) 课标例题:设 abcd 是一个四位数,求证:若 a+b+c+d 可以被 3 整除,则这个数可以被 3 整除. 证明:abcd= 1000a+100b+10c+d = (999a+99b+9c) + (a+b+c+d),显然(999a+99b+9c)能被 3 整 除,因此,如果(a+b+c+d)能被 3 整除,那么 abcd 就能被 3 整除. 对点练习 典例　 若一个两位数十位、个位上的数字分别为 x、y(x,y 不为 0),我们可将这个两位数记为 xy,易知 xy= 10x+y;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如 xyz=100x+10y+z. (1)填空: ①若 3x+x5 = 68,则 x= 　 　 　 　 ; ②若 6y-y8 = 7,则 y= 　 　 　 　 ; ③若 t68+7t5 = 110t,则 t= 　 　 　 　 ; (2)交换任意一个两位数 xy 的个位数字与十位数字,可得到一个新数 yx,则 xy+yx 一定能被 　 　 　 整除,xy-yx 一定能被　 　 　 整除. (要求:请从大于 5 的整数中选择合适的数填空) 练习　 若 a 为任意实数,证明:a2 +8a+21≥5. ⇒代数推理与证明专题见专题培优练 P1 11 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 4 整式的概念及运算 1. 相关概念 单 项 式 概念 数或字母的积的式子,单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和 例: 叫作五次单项式 多 项 式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项,其中不含字母 的项叫作常数项 次数 多项式中次数最高项的次数 例: 叫作三次三项式 整式 单项式和多项式统称为整式 2. 运算 整式的 加减 运算 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项. (2)合并同类项:把多项式中的同类项合并为一项. (3)去括号法则: a+(b+c)= ①　 a+b+c　 ,a-(b+c)= ②　 a-b-c　 .简记为“-”变“+”不变. (4)加减运算的本质是先去括号,再合并同类项. 幂的 运算 (8 年 4 考) (1)同底数幂的乘法:am·an = ③　 am+n 　 (m,n 都是正整数); (2)幂的乘方:(am) n = ④　 amn 　 (m,n 都是正整数); (3)积的乘方:(ab)m = ⑤　 ambm 　 (m 是正整数); (4)同底数幂的除法:am÷an = ⑥　 am-n 　 (a≠0,m,n 都是正整数,且 m>n); (5)负指数幂:a-p =⑦　 　 　 (a≠0,p 为正整数);(6)零指数幂:a0 =⑧　 1　 (a≠0) 整式的 乘除 运算 (1)单项式乘单项式:如 2a3·3ab2 = ⑨　 6a4b2 　 ; (2)单项式乘多项式:2a(a2 -1)= 􀃊􀁉􀁒　 2a3-2a　 ; (3) 多 项 式 乘 多 项 式: 如 ( 2a - 1 ) ( 2a + 2 ) = 􀃊􀁉􀁓　 4a2+2a-2　 ; (4)单项式除以单项式:如 a3b2 ÷(-2ab)= - 1 2 a2b; (5)多项式除以单项式:如(3a2b-ab2 +b) ÷b = 3a2- ab+1 《负面清单》多项式相乘超出 了“仅指一次式之间与一次式与 二次式相乘”的要求. 示例:若(x2 +px+q) ( x2 -2x-3)展 开后不含 x2,x3 项,求 p,q 的值. 《负面清单》整式的除法:多项 式除以多项式. 示例:(a3+3a2b+3ab2+b3)÷(a+b). 乘法 公式 (1)平方差公式:(a+b)(a-b)= a2 -b2;(2)完全平方公式:(a±b) 2 =a2 ±2ab+b2 . 注:数形结合理解乘法公式 ①由图 1 可得乘法公式:􀃊􀁉􀁔　 (a+b)(a-b)= a2-b2 　 ; 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 图 3 21 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 乘法 公式 　 ②由图 2 可得乘法公式:􀃊􀁉􀁕　 (a+b) 2 =a2+2ab+b2 　 ; ③由图 3 可得乘法公式:􀃊􀁉􀁖　 (a-b) 2 =a2-2ab+b2 　 整式的 混合运 算顺序 (8 年 3 考) 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,整式运算的结果是单项 式或多项式 对点练习 典例　 [2024 福建 5 题 4 分]下列运算正确的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a3·a3 =a9 B. a4 ÷a2 =a2 C. (a3) 2 =a5 D. 2a2 -a2 = 2 练习 1　 判断下列运算的正误,错误的请在横线上写出正确的结果. (1)a3 +a3 = 2a6 ( 　 )　 　 　 ;　 　 　 　 　 　 　 　 (2)( -a) 3 =a3( 　 )　 　 　 　 ; (3)6x3y6 ÷2xy2 = 3x2y4( 　 )　 　 　 　 ; (4) -2b(4a-b2)= -8ab-2b3 ( 　 )　 　 　 　 ; (5)( -x-y)( -x+y)= -x2 -y2( 　 )　 　 　 　 ; (6)(x-2y) 2 = x2 -2xy+4y2( 　 )　 　 　 　 . 练习 2　 多解法 ∙∙∙ 先化简,再求值:(x+1) 2 -x(x+1),其中 x= 2 025. 要点 5 因式分解 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方 法 提公因 式法 (2024. 11 考查) (1)ma+mb+mc=m(a+b+c); (2)公因式的确定 系数:取各项系数的最大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各项相同字母的最低次数 ì î í ï ï ï ï 公式法 (2019. 11 考查) a2 -b2 因式分解 平方差公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a+b)(a-b) a2 ±2ab+b2 因式分解 完全平方公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a±b) 2 《负面清单》①分解因式时,增加十字相乘法和分组 分解法. 示例:分解因式:15x2 +7xy-2y2,ax+ay+bx+by. ②分解因式时,直接运用公式超过两次. 示例:分解因式 (2a-b) 2 +8ab-c2 . ③立方和与立方差的因式分解. 示例:a3 +b3,a3 -b3 . 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 对点练习 典例　 [2024 福建 11 题 4 分]因式分解:x2 +x= 　 　 　 　 . 练习　 将下列各式进行因式分解. (1)xy-2y2 = 　 　 　 　 ;　 　 　 　 　 　 　 (2)16a2 -8a+1 = 　 　 　 　 ; (3)9-x2 = 　 　 　 　 ; (4)m3 -n2m= 　 　 　 　 ; (5)x3 -2x2y+xy2 = 　 　 　 　 ; (6)x2 -x-6 = 　 　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P7-8 习题 31