1.3 二次根式及其运算(含无理数的估值)-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点 1　 ①不循环　 ②-3 m　 ③盈利 50 元　 ④亏损 80 元 ⑤温度下降 3 ℃ 典例 1　 D　 典例 2　 +2024 要点 2　 ⑥单位长度　 ⑦一一对应　 ⑧小　 ⑨符号不同　 ⑩-a 􀃊􀁉􀁓0　 􀃊􀁉􀁔0　 􀃊􀁉􀁕-a　 􀃊􀁉􀁖距离　 􀃊􀁉􀁗大　 􀃊􀁉􀁘 1 a 　 􀃊􀁉􀁙±1　 􀃊􀁉􀁚 2 　 􀃊􀁉􀁛 3 　 􀃊􀁊􀁒 5 典例　 ( 1) F,B;( 2) ①- 1,- 1 2 ,1, 2 ,3,π;②A,C,1,2,原点; ③ 1 2 , 1 2 ,-2;(3)2 或 4 要点 3　 􀃊􀁊􀁓108 典例 1　 C 练习　 (1)3. 3×1010 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)5×10-4 ;(4)1. 25×10-7 典例 2　 246;245. 6;245. 64 要点 4　 􀃊􀁊􀁔大　 􀃊􀁊􀁕>　 􀃊􀁊􀁖 = 　 􀃊􀁊􀁗> 典例　 0(答案不唯一) 练习 1　 | -3 | ,- 1 3 　 练习 2　 a<-b<b<-a 命题点 2　 实数的运算 要点 1　 ①na　 ② 1 b 典例　 (1)1　 (2)12　 (3) 1 4 　 (4)1- 2 　 (5) -2　 (6) -1 练习　 (1)解:原式= -12;(2)解:原式= -2. 要点 2　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 典例　 解:原式= 4. 　 练习 1　 解:原式= 2+ 3 . 练习 2　 解:原式= 3. 　 练习 3　 解:原式= 1. 命题点 3　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点 1　 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1 典例　 C　 练习　 C 要点 2　 ⑥≥　 ⑦a　 ⑧ ab 典例 1　 (1)x≤0;(2)x≥4;(3)x 取任意实数;(4)x≥-1; (5)x≥1 且 x≠2;(6)x>1 典例 2　 (1)3;(2) -3;(3) 6 ;(4) 3 ;(5)1; 变式 2 3 典例 3　 8 3 要点 3　 ⑨4　 ⑩9　 􀃊􀁉􀁓2　 􀃊􀁉􀁔3　 􀃊􀁉􀁕C　 􀃊􀁉􀁖2. 5　 􀃊􀁉􀁗3　 􀃊􀁉􀁘C 练习 1　 2 或 3(写一个即可)　 练习 2　 C　 练习 3　 B　 命题点 4　 整式与因式分解 要点 1　 典例　 (1)(a-b) 2 ;(2) 4 5 (x-4);(3)(1-45%)x;(4)a+10b 练习 1　 2　 变式 1 5　 变式 2 2 025　 练习 2　 1 要点 2　 典例　 2n-1 n2 +1 　 练习　 30 要点 3　 典例　 (1)①3;②5;③3;(2)11,9 练习　 证明:a2 +8a+21 =a2 +2a·4+42 -42 +21 = (a+4) 2 +5, ∵ 对于任意实数 a,(a+4) 2 ≥0, ∴ (a+4) 2 +5≥5,即 a2 +8a+21≥5. 要点 4　 ①a+b+c　 ②a-b-c　 ③am+n 　 ④amn 　 ⑤ambm 　 ⑥am-n 　 ⑦ 1 ap 　 ⑧1　 ⑨6a4b2 　 ⑩2a3 - 2a 　 􀃊􀁉􀁓4a2 + 2a- 2　 􀃊􀁉􀁔(a+b) (a- b)= a2 -b2 　 􀃊􀁉􀁕(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 　 􀃊􀁉􀁖(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 典例　 B 练习 1　 (1) ×,2a3 ;(2) ×,-a3 ;(3)√;(4) ×,-8ab+2b3 ; (5) ×,x2 -y2 ;(6) ×,x2 -4xy+4y2 练习 2　 解:原式= x+1, 当 x= 2 025 时,原式= 2 025+1 = 2 026. 要点 5　 典例　 x(x+1) 练习　 (1)y(x-2y);(2)(4a-1) 2 ;(3)(3+x)(3-x); (4)m(m+n)(m-n);(5)x(x-y) 2 ;(6)(x-3)(x+2) 命题点 5　 分式及其运算 要点 1　 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0 典例 1　 C　 典例 2　 x≠5　 练习　 x= 1 要点 2　 ④ bd ac 　 ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦ a±b c 　 ⑧ ad±bc bd 典例　 (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)1-a;(4) 1-2a a ;(5) n2 m ;(6)a+3; (7) 1 a+2 ;(8) 1 a-2 ;(9) 1 x-1 要点 3　 典例　 解:原式= - 1 x+1 , 当 x= 2 -1 时,原式= - 1 2 -1+1 = - 2 2 . 练习　 解:原式= 1 a-1 , 当 a= 2 +1 时,原式= 1 2 +1-1 = 2 2 . 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 6　 一次方程(组)及其解法 要点 1　 典例　 B　 练习　 C 要点 2　 典例　 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3 要点 3　 ⑥1 或-1　 ⑦y= x-3　 ⑧3x-8(x-3)= 14　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 531 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 3　 二次根式及其运算(含无理数的估值) (8 年 3 考) 要点 1 平方根、算术平方根、立方根 被开方数 a(a>0) a(a= 0) a(a<0) 总结 平方根 ± a 0 无 正 数 有 两 个 平 方 根, 它 们 互 为 ①　 相反数　 ; 平方根等于本身的数是②　 0 和 1　 算术平方根 a 0 无 算术平方根等于本身的数是③　 0 和 1　 立方根 3 a 0 ④　 3 a 　 任意一个实数只有一个立方根,且与原数 同 号; 立 方 根 等 于 本 身 的 数 是 ⑤　 -1、0、1　 注:①∵ (±10) 2 = 100,∴ 100 的平方根是±10. 附表:百以内的被开方数及其平方根 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 平方根 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 ±7 ±8 ±9 ±10 ②∵ 43 = 64,∴ 64 的立方根是 4. 附表:千以内的被开立方数(含对应的负数)及其立方根【2022 年版课标变化】 被开立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 立方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 被开立方数 — -1 -8 -27 -64 -125 -216 -343 -512 -729 -1 000 立方根 — -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 对点练习 典例　 下列说法不正确的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 36 的平方根是± 1 6 B. ( -0. 2) 2 的平方根是±0. 2 C. -5 是 25的算术平方根 D. 3 -8 = -2 练习　 一个数的算术平方根和它的立方根相等,则这个数是 (　 　 ) A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D. 1 或 0 或-1 7 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 2 二次根式 概念 一般地,形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式,a 是被开方数 有意义的条件 被开方数 a⑥　 ≥　 0 最简二次根 式的条件 (1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 化为最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式. 如: 12 (化简后为 2 3 )与 3 就是同类二次根式 性质 (1)双重非负性: a≥0(a≥0);(2)( a ) 2 = ⑦　 a　 (a≥0); (3) a2 = | a | = a(a≥0), -a(a<0),{ 注:只有当 a≥0 时, a 2 =( a ) 2; (4) ab = a· b (a≥0,b≥0); (5) a b = a b (a≥0,b>0) ü þ ý ï ï ï ï 北师独有 运算 (1)乘法运算: a· b = ⑧　 ab 　 (a≥0,b≥0); (2)除法运算: a b = a b 或 a ÷ b (a≥0,b>0); (3)加、减运算本质:同类二次根式运算. 步骤一:化简为最简二次根式;步骤二:合并同类二次根式. 切记: a + b≠ a+b (a>0,b>0); (4)混合运算:先乘除,再加减;有括号先去掉括号 易错:二次根式运算的最终结果应化为最简􀪍􀪍二次根式 《负面清单》①运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式运算,根号下仅限 于非负数. 示例: 3a· 5ab . ②需要分类讨论的二次根式. 示例:化简 a2 (未指明 a 的取值范围). 非负数 (1)常见非负数: | a | (a 是任意实数),a2n(a 是任意实数,n 为正整数), a (a ≥0); (2)若 a2 + | b | + c = 0,则 a= 0,b= 0,c= 0 对点练习 典例 1　 下列式子有意义时,写出 x 的取值范围. (1) -5x :　 　 　 　 ;　 　 (2) x-4 :　 　 　 　 ;　 　 　 　 (3) 2x2 :　 　 　 　 ; (4) x +1 2 :　 　 　 　 ; (5) x -1 2-x :　 　 　 　 ; (6) 2 -x x-1 :　 　 　 　 . 典例 2　 计算:(1)( 3 ) 2 = 　 　 　 　 ;　 　 (2) - ( -3) 2 = 　 　 　 　 ;　 　 (3) 2 × 3 = 　 　 　 　 ; (4) 12 - 3 = 　 　 　 　 ; (5)( 3 - 2 )( 3 + 2 )= 　 　 　 　 . 8 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 变式 已知 a= 1 3 - 2 ,b= 1 3 + 2 ,则 a+b 的值为　 　 　 　 . 典例 3　 若 | 2a-4 | +(3-b) 2 + 3c+7 = 0,则 a+b+c= 　 　 　 　 . 要点 3 无理数的估值(8 年 3 考) (1)关键点:m2 <a<n2(m>0,a>0,n>0)→m< a <n; (2)确定无理数在哪两个整数之间(2021. 12 考查) 典例 1　 估计 7的值在 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 和 1 之间 B. 1 和 2 之间 C. 2 和 3 之间 D. 3 和 4 之间 解题步骤 备注 ①对无理数平方 ( 7 ) 2 = 7 ②找出平方后与所得数字相邻的 两个开得尽方的整数比较大小 ⑨　 4　 <7<⑩　 9　 ③对两个整数开方即可 􀃊􀁉􀁓　 2　 < 7 <􀃊􀁉􀁔　 3　 ①熟记常见的平方数:1,4,9,16, 25,36,…; ②若无理数为 n a形式,需先转化为 an2 再估值,不容易出错 【答案】􀃊􀁉􀁕　 C　 (3)确定无理数离哪个整数较近 典例 2　 下列整数中,与 7最接近的是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整数之间 2< 7 <3 ②求这两个整数的平均数 1 2 ×(2+3)= 􀃊􀁉􀁖　 2. 5　 ③若平均数的平方小于该无理数的平方, 则该无理数更接近较大的那个整数 ∵ 2. 52 = 6. 25,6. 25<7, ∴ 7 离􀃊􀁉􀁗　 3　 更近 【答案】􀃊􀁉􀁘　 C　 注:常见无理数的近似值: 2 ≈1. 414, 3 ≈1. 732, 5 ≈2. 236,黄金分割比 5 -1 2 ≈0. 618. 对点练习 练习 1　 开放性设问 [2024 滨州]写出一个比 3大且比 10小的整数　 　 　 　 　 　 . 练习 2　 已知 6 -1 的整数部分为 a,小数部分为 b,则 3a+2b 的值为 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 6 +1 B. 2 6 C. 2 6 -1 D. 5 练习 3　 [2024 重庆]已知 m= 27 - 3 ,则实数 m 的范围是 (　 　 ) A. 2<m<3 B. 3<m<4 C. 4<m<5 D. 5<m<6 温馨提示:请完成分层作业本 P5-6 习题 9