1.1 实数的相关概念与大小比较-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·福建数学 第一章　 数与式　 　 (每年 4 ~ 7 道,20 ~ 36 分) 　 　 第 一 章 　 数 与 式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较(必考) 要点 1 实数的分类及正负数的意义 要点参考答案见本册 P135 1. 实数的分类(2024. 1 考查) (1)按定义分 实 数 有理数 整数 正整数 　 0 }自然数 负整数 ì î í ï ï ï ï 分数 正分数 负分数{ ì î í ï ï ï ï ü þ ý ï ï ï ï 有限小数或无 限循环小数 无理数 正无理数 负无理数{ }无限①　 不循环　 小数 ì î í ï ï ï ï ïï 　 (2)按大小分 实数 正实数 　 0 负实数 ì î í ï ï ï ï 《负面清单》认识有理数时出现与 π 有 关的无理数. 示例:下列哪些数是有理数? 1,-3, 2 3 ,- 8 7 ,π. 2. 正数、负数可以表示具有相反意义的量【2022 年版课标新增内容】(8 年 2 考) 关键词:上下、左右、前后、南北、东西、升降、增减、收支、盈亏、高低、大小、出入、顺逆等. (1)若向东行走 5 m 记为+5 m,则向西行走 3 m 可记为②　 -3 m　 ; (2)若规定盈利记为+,亏损记为-,则+50 元表示③盈利　 　 ,-80 元表示④　 亏损　 　 ; (3)若温度上升记为+,温度下降记为-,则温度上升-3 ℃的意义为⑤　 温度下降 3 ℃　 . 注:数量一定要有单位. 对点练习 对点练习参考答案见本册 P135 典例 1　 [2024 福建 1 题 4 分]下列实数中,无理数是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -3 B. 0 C. 2 3 D. 5 典例 2　 [2024 连云港]如果公元前 121 年记作-121 年,那么公元 2024 年应记作　 　 　 　 年. 要点 2 实数的相关概念 数轴 (8 年 4 考) (1)三要素:原点、正方向、⑥　 单位长度　 ; (2)实数与数轴上的点⑦　 一一对应　 ; (3)数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的 数⑧　 小　 ; (4)数轴上任意两点间的距离:数轴上有两点 A, B,对应实数为 a,b,若 AB=m,则 m= | a-b | 已知数轴上两点间的距离和其中一点 对应的实数,求另一点对应的实数时 要分类讨论􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 2 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 相反 数 (8 年 3 考) (1)只有⑨　 符号不同 　 的两个数叫作互为相 反数; (2)实数 a 的相反数是􀃊􀁉􀁒　 -a 　 ,0 的相反数是 􀃊􀁉􀁓　 0　 ; (3)若实数 a,b 互为相反数,则 a+b= 􀃊􀁉􀁔　 0　 绝对 值 (2020. 11 考查) (1)代数意义: | a | = a　 (a>0), 0　 (a= 0), 􀃊􀁉􀁕　 -a　 (a<0), ì î í ï ï ï ï | a | 具有非负性,即 | a | ≥0. (2)几何意义:数轴上表示数 a 的点到原点的 􀃊􀁉􀁖　 距离　 ;离 原 点 越 远 的 数 的 绝 对 值 越 􀃊􀁉􀁗　 大　 互为相反数的两个数的绝对值相同􀪍􀪍; 绝对值是 a(a> 0)的数有两个,分别 是 a 和-a 《负面清单》认识绝对值的概念,用绝对 值的几何意义求最大(小)值. 示例:求 | x- 3 | + | x-5 | + | x+1 |的最小值. 《负面清单》有理数教学中,超出了“知 道 | a |的含义,掌握加、减、乘、除和乘方的 混合运算(以三步以内为主)”的要求. 示 例:已知 a,b,c 在数轴上的对应点如图所 示,化简 | a | - | a+b | + | c-a | + | b+c | . 倒数 (1)乘积是 1 的两个数互为倒数,即若 ab= 1,则 a, b 互为倒数; (2)非零实数 a 的倒数是 􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 0 没有倒数,倒数是其本身的数是 􀃊􀁉􀁙　 ±1　 思考:你能借助圆规和直尺用数轴上的点表示无理数吗? 【2022 年版课标新增内容】 如图,用数轴上的点表示无理数的核心方法是勾股定理 (体会数形结合思想),请在字母后填写其对应的实数. A(􀃊􀁉􀁚　 2 　 ),D(􀃊􀁉􀁛　 3 　 ),F(􀃊􀁊􀁒　 5 　 ) . 对点练习 典例　 如图,数轴上的点 A,B,C,D,E,F 分别表示 6 个实数. 典例题图 (1)点　 　 　 表示的数的绝对值最大,点　 　 　 表示的数的绝对值最小; (2)若这些点与实数 1,-1, 2 ,- 1 2 ,π,3 是一一对应的. ①请在字母后填写其对应的实数: A(　 　 　 ),B(　 　 　 ),C(　 　 　 ),D(　 　 　 ),E(　 　 　 ),F(　 　 　 ); ②点　 　 　 与点　 　 　 表示的数互为相反数,它们到原点的距离都为　 　 　 ; 点 A 与点 C 之间的距离为　 　 　 ;线段 AC 的中点对应的点为　 　 　 　 ; ③点 B 表示的数的相反数是　 　 　 ,绝对值是　 　 　 ,倒数是　 　 　 ; (3)若点 G 是该数轴上一点,且 GE= 1,则点 G 表示的数为　 　 　 　 . 3 基础夯实练·福建数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 3 科学记数法与近似数 科学记 数法 (8 年 5 考) 表示形式:a×10n(1≤ | a | <10,n 为正整数) n 的确定(设原数为 x): (1)当 | x | ≥10 时,n 等于原数的整数位数减 1; (2)当 0< | x | <1 时,n 为负整数, | n | 等于原数 左起第一个非零数前所有零的个数(包含 小数点前的零) 【常考单位换算】 计数单位: 1 千=103,1 万=104,1 亿=􀃊􀁊􀁓　 108　 ; 计量单位: 1 km = 103 m,1 mm = 10-3 m, 1 μm = 10-6 m,1 nm = 10-9 m 近似数 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位,常采用四 舍五入法得到一个数的近似数. 如:3. 141 59 精确到 0. 01 是 3. 14;近似数 3. 14 万是精 确到百位 对点练习 典例 1　 [2024 福建 2 题 4 分]据《人民日报》3 月 12 日电,世界知识产权组织近日公布数据显示,2023 年,全球 PCT(《专利合作条约》)国际专利申请总量为 27. 26 万件,中国申请量为 69 610 件,是申 请量最大的来源国. 数据 69 610 用科学记数法表示为 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 961×10 B. 696. 1×102 C. 6. 961×104 D. 0. 696 1×105 练习　 [人教七上 P47 复习巩固 5 题改编]将下列各数用科学记数法表示出来. (1)330 亿= 　 　 　 　 ;　 　 　 　 (2)0. 000 000 050 7 = 　 　 　 　 ; (3) 1 2 000 = 　 　 　 　 ; (4)125 纳米= 　 　 　 　 米. 典例 2　 [人教七上 P51 第 6 题改编]用四舍五入法对 245. 635 取近似数. 精确到个位:　 　 　 　 ;精确到 0. 1:　 　 　 　 ;精确到百分位:　 　 　 　 . 要点 4 实数的大小比较 性质比较法 (8 年 3 考) 正数>0>负数. 两个负数比较大小,绝对值大的数反而小 数轴比较法 (8 年 1 考) 数轴上的两个数右边的数总比左边的数􀃊􀁊􀁔　 大　 作差比较法 设 a,b 是任意两个实数,则 a-b>0⇔a􀃊􀁊􀁕　 >　 b;a-b= 0⇔a􀃊􀁊􀁖　 =　 b;a-b<0⇔a<b 平方比较法 a􀃊􀁊􀁗　 >　 b⇔a>b>0(常用于无理数的估值及含有根式的数的大小比较) 特殊值法 若 0<a<1,比较 a, 1 a ,a2, a的大小⇒可取 a= 1 4 ,则 a2<a< a < 1 a 对点练习 典例　 开放性设问 [2024 湖北]写出一个大于-1 的数是　 　 　 　 　 　 . 练习 1　 在实数- 1 3 , 3 ,0, | -3 |中,最大的数是　 　 　 　 ,最小的数是　 　 　 　 . 练习 2　 [人教七上 P52 综合运用第 10 题改编]实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,请把 a,-a,b,-b 按 从小到大的顺序用“ <”连接为　 　 　 　 　 　 . 练习 2 题图 温馨提示:请完成分层作业本 P1-2 习题 4 参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点 1　 ①不循环　 ②-3 m　 ③盈利 50 元　 ④亏损 80 元 ⑤温度下降 3 ℃ 典例 1　 D　 典例 2　 +2024 要点 2　 ⑥单位长度　 ⑦一一对应　 ⑧小　 ⑨符号不同　 ⑩-a 􀃊􀁉􀁓0　 􀃊􀁉􀁔0　 􀃊􀁉􀁕-a　 􀃊􀁉􀁖距离　 􀃊􀁉􀁗大　 􀃊􀁉􀁘 1 a 　 􀃊􀁉􀁙±1　 􀃊􀁉􀁚 2 　 􀃊􀁉􀁛 3 　 􀃊􀁊􀁒 5 典例　 ( 1) F,B;( 2) ①- 1,- 1 2 ,1, 2 ,3,π;②A,C,1,2,原点; ③ 1 2 , 1 2 ,-2;(3)2 或 4 要点 3　 􀃊􀁊􀁓108 典例 1　 C 练习　 (1)3. 3×1010 ;(2)5. 07×10-8 ;(3)5×10-4 ;(4)1. 25×10-7 典例 2　 246;245. 6;245. 64 要点 4　 􀃊􀁊􀁔大　 􀃊􀁊􀁕>　 􀃊􀁊􀁖 = 　 􀃊􀁊􀁗> 典例　 0(答案不唯一) 练习 1　 | -3 | ,- 1 3 　 练习 2　 a<-b<b<-a 命题点 2　 实数的运算 要点 1　 ①na　 ② 1 b 典例　 (1)1　 (2)12　 (3) 1 4 　 (4)1- 2 　 (5) -2　 (6) -1 练习　 (1)解:原式= -12;(2)解:原式= -2. 要点 2　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 典例　 解:原式= 4. 　 练习 1　 解:原式= 2+ 3 . 练习 2　 解:原式= 3. 　 练习 3　 解:原式= 1. 命题点 3　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点 1　 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1、0、1 典例　 C　 练习　 C 要点 2　 ⑥≥　 ⑦a　 ⑧ ab 典例 1　 (1)x≤0;(2)x≥4;(3)x 取任意实数;(4)x≥-1; (5)x≥1 且 x≠2;(6)x>1 典例 2　 (1)3;(2) -3;(3) 6 ;(4) 3 ;(5)1; 变式 2 3 典例 3　 8 3 要点 3　 ⑨4　 ⑩9　 􀃊􀁉􀁓2　 􀃊􀁉􀁔3　 􀃊􀁉􀁕C　 􀃊􀁉􀁖2. 5　 􀃊􀁉􀁗3　 􀃊􀁉􀁘C 练习 1　 2 或 3(写一个即可)　 练习 2　 C　 练习 3　 B　 命题点 4　 整式与因式分解 要点 1　 典例　 (1)(a-b) 2 ;(2) 4 5 (x-4);(3)(1-45%)x;(4)a+10b 练习 1　 2　 变式 1 5　 变式 2 2 025　 练习 2　 1 要点 2　 典例　 2n-1 n2 +1 　 练习　 30 要点 3　 典例　 (1)①3;②5;③3;(2)11,9 练习　 证明:a2 +8a+21 =a2 +2a·4+42 -42 +21 = (a+4) 2 +5, ∵ 对于任意实数 a,(a+4) 2 ≥0, ∴ (a+4) 2 +5≥5,即 a2 +8a+21≥5. 要点 4　 ①a+b+c　 ②a-b-c　 ③am+n 　 ④amn 　 ⑤ambm 　 ⑥am-n 　 ⑦ 1 ap 　 ⑧1　 ⑨6a4b2 　 ⑩2a3 - 2a 　 􀃊􀁉􀁓4a2 + 2a- 2　 􀃊􀁉􀁔(a+b) (a- b)= a2 -b2 　 􀃊􀁉􀁕(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 　 􀃊􀁉􀁖(a-b) 2 =a2 -2ab+b2 典例　 B 练习 1　 (1) ×,2a3 ;(2) ×,-a3 ;(3)√;(4) ×,-8ab+2b3 ; (5) ×,x2 -y2 ;(6) ×,x2 -4xy+4y2 练习 2　 解:原式= x+1, 当 x= 2 025 时,原式= 2 025+1 = 2 026. 要点 5　 典例　 x(x+1) 练习　 (1)y(x-2y);(2)(4a-1) 2 ;(3)(3+x)(3-x); (4)m(m+n)(m-n);(5)x(x-y) 2 ;(6)(x-3)(x+2) 命题点 5　 分式及其运算 要点 1　 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0 典例 1　 C　 典例 2　 x≠5　 练习　 x= 1 要点 2　 ④ bd ac 　 ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦ a±b c 　 ⑧ ad±bc bd 典例　 (1) - 4a 5b ;(2) - 1 2 ;(3)1-a;(4) 1-2a a ;(5) n2 m ;(6)a+3; (7) 1 a+2 ;(8) 1 a-2 ;(9) 1 x-1 要点 3　 典例　 解:原式= - 1 x+1 , 当 x= 2 -1 时,原式= - 1 2 -1+1 = - 2 2 . 练习　 解:原式= 1 a-1 , 当 a= 2 +1 时,原式= 1 2 +1-1 = 2 2 . 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 6　 一次方程(组)及其解法 要点 1　 典例　 B　 练习　 C 要点 2　 典例　 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3 要点 3　 ⑥1 或-1　 ⑦y= x-3　 ⑧3x-8(x-3)= 14　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 531