2.9 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·福建数学 　 　 　 　 班级: 　 　 　 　 　 　 　 姓名: 　 　 　 　 　 　 　 学号: 　 　 　 　 　 　 　 日期: 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 (8 年 3 考,其中 2 次在 6 题考查增长率问题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 基础　 达标练 1. [2024 内江]某市 2021 年底森林覆盖率为 64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理 念,该市大力发展植树造林活动,2023 年底森林覆盖率已达到 69%. 如果这两年森林覆盖率的年 平均增长率为 x,则符合题意的方程是 (　 B　 ) A. 0. 64(1+x)= 0. 69 B. 0. 64(1+x) 2 = 0. 69 C. 0. 64(1+2x)= 0. 69 D. 0. 64(1+2x) 2 = 0. 69 变式 某企业今年 3 月份产值为 a 万元,4 月份比 3 月份减少了 10%,5 月份比 4 月份增加了 15%, 若这两个月的平均增长率为 x,则 x 满足的关系是 (　 D　 ) A. (a-10%)(a+15%)= 2(1+x)a B. a(1-10%)(1+15%)= a(1+x2) C. a(1-10%+15%)= a(1+x) 2 D. a(1-10%)(1+15%)= a(1+x) 2 2. [2024 龙岩一检]如图,在设计人体雕像时,若雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于 下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感. 按此比例设计高为 2 m 的雕像,设雕像下部高 为 x m,可得方程 (　 C　 ) A. x2 +2x+4 = 0 B. x2 -2x+4 = 0 C. x2 +2x-4 = 0 D. x2 -2x-4 = 0 第 2 题图　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 3 题变式题图 3. 真实情境 [2024 通辽]如图,小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5. 5 m) 的矩形鸭舍,其面积为 15 m2,在鸭舍侧面中间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成),则 BC 长为 (　 C　 ) A. 5 m 或 6 m B. 2. 5 m 或 3 m C. 5 m D. 3 m 变式 空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN,工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园 (如图),已知木栏总长为 40 米,所围成的菜园面积为 S 平方米. 若 a= 18,S= 196,则 (　 A　 ) A. 有一种围法 B. 有两种围法 C. 不能围成菜园 D. 无法确定有几种围法 4. [2024 福州仓山区模拟]2024 年汤姆斯杯羽毛球赛于 4 月 27 日至 5 月 5 日在成都举行,根据赛制规 定,所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛,小组赛阶段每队都要与小组内其他队进 行一场比赛. 已知中国队所在的小组有 n 支队伍,共安排了 6 场小组赛. 根据题意,下列方程正确 的是 (　 B　 ) A. 1 2 n(n+1)= 6 B. 1 2 n(n-1)= 6 C. n(n+1)= 6 D. n(n-1)= 6 71 分层作业本·福建数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 5. 有一道古算趣题,原文如下: 笨伯执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭. 有个邻居聪明者,教 他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足. 借问竿长多少数,谁人算出我佩服. 译文为: 笨伯拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门宽 4 尺,竖着比门高 2 尺. 他的邻居教他沿 着门的对角线斜着拿竿,笨伯一试,刚好进去. 问:竹竿长多少尺? 请解答上述问题. 解:设竹竿的长为 x 尺, 根据题意得,(x-2) 2+(x-4) 2 =x2, 解得 x1 =2,x2 =10, ∵当 x=2 时,x-2=0,x-4=-2,不符合题意,舍去,∴ x=10. 答:竹竿的长为 10 尺. 强化　 提升练 6. 学科综合 根据物理学规律,如果把一个小球从地面以 10 m / s 的速度竖直上抛,那么小球经过 x s 离地面的高度(单位: m)为 10x-4. 9x2 . 根据该规律,下列对方程 10x-4. 9x2 = 5 的两根 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 x1≈0. 88 与 x2≈1. 16 的解释正确的是 (　 D　 ) A. 小球经过约 1. 02 s 时离地面的高度为 5 m 点拨:当小球离地面的高度为 5 m 时,有两个值. B. 小球离地面的高度为 5 m 时,经过约 0. 88 s C. 小球经过约 1. 16 s 时离地面的高度为 5 m,并将继续上升 D. 小球两次到达离地面的高度为 5 m 的位置,其时间间隔约为 0. 28 s 7. [2023 三明一检]某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出,1 月销售 400 个,2、3 月这种台灯销 售量持续增加,在售价不变的基础上,3 月的销售量达到 576 个,设 2、3 两个月销售量的月平均增 长率不变. (1)求 2、3 两个月销售量的月平均增长率; (2)多解法 ∙∙∙ 从 4 月起,在 3 月销售量的基础上,商场决定降价促销. 经调查发现,售价在 35 元至 40 元范围内,这种台灯的售价每降价 0. 5 元,其销售量增加 6 个. 这种台灯售价定为多少时, 商场 4 月销售这种台灯获利 4 800 元? 　 反思:当售价下降了 x 元和下降到 x 元时,利润一样吗? 解: (1)设 2、3 两个月销售量的月平均增长率为 x,则 400(1+x) 2 =576, 解得 x1 =0. 2=20%,x2 =-2. 2(不符合题意,舍去), 答:2、3 两个月销售量的月平均增长率为 20%; (2)解法一:设这种台灯的售价降价 y 元时,商场 4 月份销售这种台灯获利 4 800 元,则 (40-y-30)(576+12y)= 4 800. 整理得 y2+38y-80=0. 解得 y1 =2,y2 =- 40(不符合题意,舍去), 当 y=2 时,40-y=38. 答:该种台灯售价定为 38 元时,商场 4 月份销售这种台灯获利 4 800 元. 其他解法详解详析见本册 P 81 一战成名·福建数学 分 层 作 业 本 ∴ x= -2± 8 2×1 = -2±2 2 2 = -1± 2 , 即 x1 = -1+ 2 ,x2 = -1- 2 ; ②(因式分解法)x2 -3x= 0, 原方程可变形为 x(x-3)= 0, ∴ x1 = 0,x2 = 3; ③(配方法)x2 -4x= 4, 等号两边都加上 4,得 x2 -4x+4 = 8, ∴ (x-2) 2 = 8,∴ x-2 = ±2 2 ,∴ x= 2±2 2 , ∴ x1 = 2+2 2 ,x2 = 2-2 2 ; ④(直接开平方法)x2 -4 = 0, ∴ x2 = 4,∴ x1 = -2,x2 = 2. (任选两个解答即可) 7. A 8. D　 变式 1 1　 变式 2 a≤1　 变式 3 2(答案不唯一, 大于 1 即可) 9. C 10. 1 2 　 【解析】∵ 方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = -2,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -1 -2 = 1 2 . 拓展设问 3　 【解析】∵ (x1 -x2 ) 2 +3x1x2 = x21 +x1x2 +x22 = (x1 +x2 ) 2 -x1x2 = ( -1) 2 -( -2)= 3. 变式 - 1 3 　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +x+p= 0 的两根为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = p,∵ 1 x1 + 1 x2 = 3, ∴ x1 +x2 x1x2 = 3,即 -1 p = 3,解得 p= - 1 3 . 11. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c = 0(a≠0),由题 知,- b a = 6+ 1 = 7, c a = - 2 × ( - 5) = 10,∴ b = - 7a,c = 10a,∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0 满足要求. 12. - 1 2 或 7 4 　 【解析】∵ x􀱋1 = - 3 4 ,∴ 当 x≤0 时,x2 -1 = - 3 4 ,解得 x= - 1 2 或 x = 1 2 (不合题意,舍去);当 x> 0 时,-x+ 1 = - 3 4 ,解得 x = 7 4 . 综上所述,x 的值为- 1 2 或 7 4 . 13. C　 【解析】∵ 关于 x 的方程( x- 1) ( x+ 2) = p2( p 为常 数),∴ x2 +x-2-p2 = 0,∴ Δ = 1+8+4p2 = 9+ 4p2 > 0,∴ 方 程有两个不相等的实数根. 根据根与系数的关系,方程 的两个根的积为-2-p2 < 0,∴ 原方程有一个正根,一个 负根. 14. (1)解法一: 证明:∵ Δ = [ -(2k+3)] 2 -4×1×(k2 +3k+2) = 4k2 +12k+9-4k2 -12k-8 = 1>0, ∴ 无论 k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根; 解法二: 证明:x2 -(2k+3)x+k2 +3k+2 = 0, (x-k-1)(x-k-2)= 0, ∴ x1 = k+1,x2 = k+2. ∴ x1 ≠x2 , ∴ 无论 k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根; (2)解:∵ Δ= 1,∴ x= -[ -(2k+3)] ±1 2×1 = 2k +3±1 2 , 即 x1 = k+1,x2 = k+2. ∵ 方程的两根均为负数, ∴ k+1<0, k+2<0,{ 解得 k<-1, k<-2,{ ∴ k 的取值范围为 k<-2. 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 1. B 变式 D　 【解析】∵ 该企业今年 3 月份产值为 a 万元,4 月份比 3 月份减少了 10%,5 月份比 4 月份增加了 15%, ∴ 该企业今年 4 月份产值为 a(1-10%)万元,5 月份产 值为 a( 1 - 10%) ( 1 + 15%) 万元. 根据题意得: a ( 1 - 10%)(1+15%)= a(1+x) 2 . 2. C 3. C　 【解析】设 BC 长为 x m,则 AB 的长为 1 2 (10+1-x) m, 根据题意得, 1 2 (10+ 1-x) ·x = 15,解得 x = 5 或 x = 6> 5. 5(舍去),∴ BC 长为 5 m. 变式 A 4. B 5. 解:设竹竿的长为 x 尺, 根据题意得,(x-2) 2 +(x-4) 2 = x2 . 解得 x1 = 2,x2 = 10, ∵ 当 x= 2 时,x-2 = 0,x-4 = -2,不符合题意,舍去, ∴ x= 10. 答:竹竿的长为 10 尺. 6. D　 【解析】∵ 方程 10x-4. 9x2 = 5 的两根是 x1 ≈0. 88 与 x2 ≈1. 16,∴ 小球经过约 0. 88 s 和 1. 16 s 离地面的高度 为 5 m,故选项 A,B 不符合题意;小球经过约 0. 88 s 离 地面的高度为 5 m,并将继续上升,小球经过约 1. 16 s 离 地面的高度为 5 m,并将继续下降,故选项 C 不符合题 意;小球两次到达离地面的高度为 5 m 的位置,其时间间 隔约为 1. 16-0. 88 = 0. 28(s),故选项 D 符合题意. 7. 解:(1)设 2、3 两个月销售量的月平均增长率为 x,则 400(1+x) 2 = 576, 解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去), 答:2、3 两个月销售量的月平均增长率为 20%; (2)解法一: 设这种台灯的售价降价 y 元时,商场 4 月份销售这种台 灯获利 4 800 元,则 (40-y-30)(576+12y)= 4 800. 整理得 y2 +38y-80 = 0. 解得 y1 = 2,y2 = - 40(不符合题意,舍去), 当 y= 2 时,40-y= 38. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 一战成名·福建数学 分 层 作 业 本 答:该种台灯售价定为 38 元时,商场 4 月份销售这种台 灯获利 4 800 元. 解法二: 设这种台灯售价定为 y 元时,商场 4 月份销售这种台灯 获利4 800 元,则 (y-30)[576+12(40- y)] = 4 800. 整理得 y2 -118y+3 040 = 0. 解得 y1 = 38, y2 = 80(不符合题意,舍去) . 答:这种台灯售价定为 38 元时,商场 4 月份销售这种台 灯获利 4 800 元. 命题点 10　 分式方程及其应用 1. x-1 或(1-x) 2. D　 【解析】 2 x-3 = 3 x ,2x= 3(x-3),解得 x= 9,检验:当 x= 9 时,x(x-3)≠0,∴ x= 9 是原方程的解. 3. ② 4. 解:方程两边都乘 x(2x-5),得 x= 3(2x-5), 解得 x= 3, 检验:当 x= 3 时,x(2x-5)≠0, 故原方程的解为 x= 3. 5. 解:方程两边都乘(x+1)(x-1), 得 2+x(x+1)= (x+1)(x-1), 解得 x= -3, 检验:当 x= -3 时,(x+1)(x-1)≠0, 所以分式方程的解是 x= -3. 6. C　 【解析】∵ A 种绿植单价是 B 种绿植单价的 3 倍,B 种绿植单价是 x 元,∴ A 种绿植单价是 3x 元. 根据题意 得: 6 750 3x +50 = 3 000 x . 7. A　 8. A　 9. D 10. D　 【解析】设江水的流速为 x km / h,则沿江顺流航行 的速度为(40+x) km / h,沿江逆流航行的速度为( 40- x) km / h,根据题意得: 120 40+x = 80 40-x ,解得 x= 8,经检验,x = 8 是原方程的解, 且符合题意, ∴ 江水的流速为 8 km / h. 11. D　 【解析】∵ 小张每小时走 x 千米,所列方程中出现 x +1,∴ 小王每小时走(x+1)千米,∴ 小王比小张每小时 多行 1 千米;∵ 学校距夏津森林公园 15 千米,∴ 15 x 表 示小张所需时间, 15 x+1 表示小王所需时间,又∵ 所列方 程为 15 x - 15 x+1 = 1 2 ,∴ 小王比小张早到半小时,∴ 题干中 缺失的内容是:小王比小张每小时多行 1 千米,结果比 小张早到半小时. 12. 解:设甲组有 x 名工人,则乙组有(35-x)名工人, 根据题意得: 2 700 35-x = 3 000 x ×1. 2, 解得 x= 20, 经检验,x= 20 是所列方程的解,且符合题意, ∴ 35-x= 35-20 = 15. 答:甲组有 20 名工人,乙组有 15 名工人. 13. 2 或-1　 【解析】方程去分母得:3-(kx-1)= x-2,解得: x= 6 1+k ,①当 x= 2 时分母为 0,方程无解,即 6 1+k = 2,∴ k = 2 时方程无解;②当 k+1 = 0 即 k= -1 时,方程无解. 14. D　 【解析】去分母,得 1-(x+3)= a,解得 x= -2-a,∵ 分 式方程 1 x+3 -1 = a x+3 的解是负数,∴ -2-a<0,且-2-a+3 ≠0,解得 a>-2 且 a≠1. 命题点 11　 一元一次不等式(组) 及其应用 1. C 2. D　 【解析】若 a<b,两边同时加上 3 得 a+3<b+3,则 A 不 符合题意;若 a<b,两边同时减去 2 得 a-2<b-2,则 B 不 符合题意;若 a<b,两边同时乘-1 得-a>-b,则 C 不符合 题意;若 a<b,两边同时乘 2 得 2a<2b,则 D 符合题意. 3. A 4. B　 【解析】解不等式 2x-1<5,得 x<3,∵ 关于 x 的不等式 组 2x-1<5, x<m+1{ 的解集为 x<3,∴ m+1≥3,∴ m≥2. 5. A　 【解析】∵ -x> 1,∴ x<- 1. A. x<-1, x>2{ 无解,故此选项 符合题意;B. x<-1, x<0{ 的解集是 x<-1,故此选项不符合题 意;C. x<-1, x<-2{ 的解集是 x< - 2,故此选项不符合题意; D. x<-1, x>-3{ 的解集是-3<x<-1,故此选项不符合题意. 6. 2x>2 7 (答案不唯一) 7. 解:(1)解不等式 x-1>0,可得 x>1; 解不等式 x-3≤0,可得 x≤3; 解不等式 x≥3-2x,可得 x≥1; 解不等式 x-1 2 -x -3 6 <1,可得 x<3; (2)选择①②,则 x-1>0①, x-3≤0②,{ ∴ 该不等式组的解集为 1<x≤3, 在数轴上表示如解图. (答案不唯一) 第 7 题解图 8. A 9. C　 【解析】设 1 班同学的最高身高为 x cm,最低身高为 y cm,2 班同学的最高身高为 a cm,最低身高为 b cm,根 据 1 班班长的对话,得 x≤180,x+a= 350,∴ x= 350-a,∴ 350-a≤180,解得 a≥170,故③正确;1 班学生的身高不 超过 180 cm,最高未必是 180 cm,故无法判断①;根据 2 班班长的对话,得 b>140,y+b= 290,∴ b= 290-y,∴ 290-y >140,∴ y<150,故②正确. 10. 8. 8　 【解析】设该商品按 x 折销售,∴ 5× 0. 1x- 4≥4× 10%,解得 x≥8. 8. 故该商品最多可打 8. 8 折. 11. 解:(1)设书架上数学书 x 本,则语文书(90-x)本, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6