2.8 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·福建数学 　 　 　 　 班级: 　 　 　 　 　 　 　 姓名: 　 　 　 　 　 　 　 学号: 　 　 　 　 　 　 　 日期: 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 8　 一元二次方程及其解法(8 年 5 考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 基础　 达标练 考向 1　 一元二次方程的解法(8 年 6 考,均在解答题中涉及考查) 1. [2024 福州仓山区月考]易错 ∙∙ 若(m+1)x |m | +1 +2x-1 = 0 是关于 x 的一元二次方程,则m 的值是　 1　 . 2. [2024 贵州]一元二次方程 x2 -2x= 0 的解是 (　 B　 ) A. x1 = 3,x2 = 1 B. x1 = 2,x2 = 0 C. x1 = 3,x2 = -2 D. x1 = -2,x2 = -1 3. [2024 深圳]一元二次方程 x2 -3x+a= 0 的一个解为 x= 1,则 a= 　 2　 . 4. [2024 福州鼓楼区模拟]方程 x2 -2x-3 = 0 经过配方后,其结果正确的是 (　 B　 ) A. (x+1) 2 = 4 B. (x-1) 2 = 4 C. (x+1) 2 = 2 D. (x-1) 2 = 2 5. [2024 河北]淇淇在计算正数 a 的平方时,误算成 a 与 2 的积,求得的答案比正确答案小 1,则 a= (　 C　 ) A. 1 B. 2 -1 C. 2 +1 D. 1 或 2 +1 6. 解题策略开放 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法,它们分别是配方法、公式法 和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并利用合适的方法解这两个方程. ①x2 +2x-1 = 0;②x2 -3x= 0;③x2 -4x= 4;④x2 -4 = 0. 解:①(公式法)x2+2x-1=0, ∵ a=1,b=2,c=-1, ∴ b2-4ac=22-4×1×(-1)= 8>0, ∴ x= -2± 8 2×1 =-2±2 2 2 =-1± 2 , 即 x1 =-1+ 2 ,x2 =-1- 2 ; ②(因式分解法)x2-3x=0, 原方程可变形为 x(x-3)= 0, ∴ x1 =0,x2 =3; 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ③(配方法)x2-4x=4, 等号两边都加上 4,得 x2-4x+4=8, ∴ (x-2) 2 =8,∴ x-2=±2 2 ,∴ x=2±2 2 , ∴ x1 =2+2 2 ,x2 =2-2 2 ; ④(直接开平方法)x2-4=0, ∴ x2 =4,∴ x1 =-2,x2 =2. (任选两个解答即可) 考向 2　 根的判别式(8 年 4 考,其中仅 2018 年单独设题考查) 7. 名师原创 下列一元二次方程根的判别式大于 0 的是 (　 A　 ) A. x2 +x-1 = 0 B. x2 -x+1 = 0 C. x2 +2x+1 = 0 D. -x2 +2x-1 = 0 8. 易错 ∙∙ 若一元二次方程ax2 +2x+1 = 0 有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 (　 D　 ) A. a<1 B. a≤1 C. a≤1 且 a≠0 D. a<1 且 a≠0 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 考法变式组合练 变式 1 若关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x+1 = 0 有两个相等的实数根,则实数 a 的值为　 1　 . 变式 2 易错 ∙∙ 若关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 有实数根,则 a 的取值范围是　 a≤1　 . 变式 3 请填写一个常数,使得关于 x 的方程x2 -2x+　 2(答案不唯一　 = 0 无解. 51 分层作业本·福建数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 9. [2024 三明一检]若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)中的 a,b,c 满足 a+b+c = 0,则下列 选项一定正确的是 (　 C　 ) A. b2 -4ac>0 B. b2 -4ac<0 C. b2 -4ac≥0 D. b2 -4ac≤0 考向 3　 根与系数的关系(2021. 25) 10. [2024 眉山]已知方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别为 x1,x2,则 1 x1 + 1 x2 的值为　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 考法变式组合练 拓展设问 (x1 -x2) 2 +3x1x2 = 　 3　 . 变式 若关于 x 的一元二次方程 x2 +x+p= 0 的两根为 x1,x2,且 1 x1 + 1 x2 = 3,则 p 的值为　 　 　 　 . 11. [2024 绥化]小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数 项,因而得到方程的两个根是 6 和 1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的 两个根是-2 和-5. 则原来的方程是 (　 B　 ) A. x2 +6x+5 = 0 B. x2 -7x+10 = 0 C. x2 -5x+2 = 0 D. x2 -6x-10 = 0 强化　 提升练 12. [2024 广州]定义新运算:a􀱋b= a2 -b,a≤0, -a+b,a>0.{ 例如:-2􀱋4 = ( -2) 2 -4 = 0,2􀱋3 = -2+3 = 1. 若 x􀱋1 = - 3 4 ,则 x 的值为　 　 　 　 . 13. [人教九上 P17 第 13 题改编]关于 x 的方程(x-1)(x+2)= p2(p 为常数)的根的情况,下列结论中正 确的是　 点拨:根据根与系数的关系判断两根正负情况. (　 C　 ) A. 两个正根 B. 两个负根 C. 两根一正一负 D. 无实数根 14. [2024 漳州一检]关于 x 的方程 x2 -(2k+3)x+k2 +3k+2 = 0. (1)多解法 ∙∙∙ 求证:无论 k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两根均为负数,求 k 的取值范围. (1)证明:解法一: ∵Δ =[-(2k+3)] 2-4×1×(k2+3k+2) =4k2+12k+9-4k2-12k-8=1>0, ∴无论 k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根; 其他解法见本册详解详析 P (2)解:∵Δ=1,∴ x= -[-(2k+3)]±1 2×1 = 2k+3±1 2 , 即 x1 =k+1,x2 =k+2. ∵方程的两根均为负数, ∴ k+1<0, k+2<0,{ 解得 k<-1, k<-2,{ ∴ k 的取值范围为 k<-2. 61 一战成名·福建数学 分 层 作 业 本 ∴ 选项 A 符合题意;∵ ①× 5-②×( - 3),可得 30x+ 2y = 179,没有消去 x,∴ 选项 B 不符合题意;∵ ①×( -3) +②× 2,可得 x-24y= 18,没有消去 y,∴ 选项 C 不符合题意;∵ ①×6-②×4,可得-2x+48y = -36,没有消去 y,∴ 选项 D 不符合题意. 10. D　 【解析】 x+4y= 6①, 2x-y= 3②,{ ①+②得,3x+3y= 9,即 x+y= 3. 变式 A　 【解析】 x+m= 4①, y+3 =m②,{ 把②代入①得,x+y+ 3 = 4,∴ x+y= 1. 11. 解: x-y= 2①, 3x+y= 4②,{ ①+②得,4x= 6, 解得 x= 1. 5, 把 x= 1. 5 代入①得,1. 5-y= 2,解得 y= -0. 5, ∴ 原方程组的解为 x= 1. 5, y= -0. 5.{ 12. 解:①④组成的方程组为 x-2y= 0①, 3x+2y= -4②,{ ①+②得,4x= -4,解得 x= -1, 将 x= -1 代入①,得-1-2y= 0,解得 y= - 1 2 , ∴ 方程组的解为 x= -1, y= - 1 2 .{ ②③组成的方程组为 2x+y= 3①, -x+y= -2②,{ ①-②得,3x= 5,解得 x= 5 3 , 将 x= 5 3 代入②得,- 5 3 +y= -2,解得 y= - 1 3 , ∴ 该方程组的解为 x= 5 3 , y= - 1 3 . { ②④组成的方程组为 2x+y= 3①, 3x+2y= -4②,{ ①×2-②得,4x+2y-(3x+2y)= 6+4,解得 x= 10, 将 x= 10 代入①得,20+y= 3,解得 y= -17, ∴ 该方程组的解为 x= 10, y= -17.{ ①③组成的方程组为 x-2y= 0①, -x+y= -2②,{ ①+②,得-y= -2,解得 y= 2, 将 y= 2 代入①,得 x-4 = 0,解得 x= 4, ∴ 该方程组的解为 x= 4, y= 2.{ 13. A　 【解析】原方程组 ax+3y= 9①, 2x-y= 1②,{ 由②式得 y = 2x-1, 代入①式得 ax+6x-3 = 9,解得 x = 12 a+6 ,当 a+6 = 0 时原 方程组无解,解得 a= -6. 14. A　 【解析】 3x+y= 1+3m①, x+3y= 1-m②,{ ①+②得 4x+ 4y = 2m+ 2, ∴ x+y= m 2 + 1 2 . ∵ x+y>0,∴ m 2 + 1 2 >0,∴ m>-1. 15. B　 【解析】把 y= -x 代入方程组得: x-3x= 2k+1, x+x= 1,{ ∴ x= 1 2 ,∴ 1 2 - 3 2 = 2k+1,∴ k= -1. 命题点 7　 一次方程(组)的实际应用 1. B　 【解析】根据题意得: x 3 ×1+ x 4 ×1+ x 5 ×1 = 100,整理 得: x 3 + x 4 + x 5 = 100. 2. B 3. B　 【解析】∵ 标价为 x 元,则 0. 8x-20 =成本价,0. 6x÷(1 -10%)= 成本价,∴ 小明同学列方程:0. 8x- 20 = 0. 6x 1-10% 的依据是商品的成本不变. 4. D　 5. A　 6. D 7. B　 【解析】根据题意得 1 2 × 60x = 340( 7 - x),即 30x = 340(7-x) . 8. 15　 【解析】设该问题中的竿子长为 x 尺,则绳索长为( x +5)尺,根据题意得:x- 1 2 (x+5)= 5,解得 x = 15,∴ 该问 题中的竿子长为 15 尺. 9. 5　 【解析】设甲的速度是 x 米 /秒,乙的速度是 y 米 /秒, 根据题意得 25x+25y= 300, 150x-150y= 300,{ 解得 x= 7, y= 5,{ 故乙同学的速 度是 5 米 /秒. 10. 解:设 A 种农作物的种植面积是 x 公顷,B 种农作物的 种植面积是 y 公顷, 根据题意得: 4x+3y= 24, 8x+9y= 60,{ 解得 x= 3, y= 4.{ 答:A 种农作物的种植面积是 3 公顷,B 种农作物的种 植面积是 4 公顷. 11. 解:(1)22;(2)2; (3)(22-x), 依题意得:2 000x= 2×1 200(22-x), 解得 x= 12, ∴ 22-x= 10. 答:应安排 12 名工人生产螺母,10 名工人生产螺钉. 命题点 8　 一元二次方程及其解法 1. 1　 【解析】∵ (m+1) x |m | +1 +2x-1 = 0 是关于 x 的一元二 次方程,∴ |m | +1 = 2,m+1≠0,解得 m= 1. 2. B　 【解析】x2 -2x= 0,x(x-2)= 0,解得 x1 = 2,x2 = 0. 3. 2　 【解析】将 x = 1 代入一元二次方程得,1-3+a = 0,解 得 a= 2. 4. B　 【解析】∵ x2 -2x-3 = 0,∴ x2 -2x = 3,∴ x2 -2x+1 = 3+ 1,∴ (x-1) 2 = 4. 5. C　 【解析】根据题意得,a2 -2a = 1,解得 a = 1± 2 ,∵ a> 0,∴ a= 2 +1. 6. 解:①(公式法)x2 +2x-1 = 0, ∵ a= 1,b= 2,c= -1, ∴ b2 -4ac= 22 -4×1×( -1)= 8>0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 一战成名·福建数学 分 层 作 业 本 ∴ x= -2± 8 2×1 = -2±2 2 2 = -1± 2 , 即 x1 = -1+ 2 ,x2 = -1- 2 ; ②(因式分解法)x2 -3x= 0, 原方程可变形为 x(x-3)= 0, ∴ x1 = 0,x2 = 3; ③(配方法)x2 -4x= 4, 等号两边都加上 4,得 x2 -4x+4 = 8, ∴ (x-2) 2 = 8,∴ x-2 = ±2 2 ,∴ x= 2±2 2 , ∴ x1 = 2+2 2 ,x2 = 2-2 2 ; ④(直接开平方法)x2 -4 = 0, ∴ x2 = 4,∴ x1 = -2,x2 = 2. (任选两个解答即可) 7. A 8. D　 变式 1 1　 变式 2 a≤1　 变式 3 2(答案不唯一, 大于 1 即可) 9. C 10. 1 2 　 【解析】∵ 方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = -2,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -1 -2 = 1 2 . 拓展设问 3　 【解析】∵ (x1 -x2 ) 2 +3x1x2 = x21 +x1x2 +x22 = (x1 +x2 ) 2 -x1x2 = ( -1) 2 -( -2)= 3. 变式 - 1 3 　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +x+p= 0 的两根为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = p,∵ 1 x1 + 1 x2 = 3, ∴ x1 +x2 x1x2 = 3,即 -1 p = 3,解得 p= - 1 3 . 11. B　 【解析】设原来的方程为 ax2 +bx+c = 0(a≠0),由题 知,- b a = 6+ 1 = 7, c a = - 2 × ( - 5) = 10,∴ b = - 7a,c = 10a,∴ 原来的方程为 ax2 -7ax+10a= 0,则 x2 -7x+10 = 0 满足要求. 12. - 1 2 或 7 4 　 【解析】∵ x􀱋1 = - 3 4 ,∴ 当 x≤0 时,x2 -1 = - 3 4 ,解得 x= - 1 2 或 x = 1 2 (不合题意,舍去);当 x> 0 时,-x+ 1 = - 3 4 ,解得 x = 7 4 . 综上所述,x 的值为- 1 2 或 7 4 . 13. C　 【解析】∵ 关于 x 的方程( x- 1) ( x+ 2) = p2( p 为常 数),∴ x2 +x-2-p2 = 0,∴ Δ = 1+8+4p2 = 9+ 4p2 > 0,∴ 方 程有两个不相等的实数根. 根据根与系数的关系,方程 的两个根的积为-2-p2 < 0,∴ 原方程有一个正根,一个 负根. 14. (1)解法一: 证明:∵ Δ = [ -(2k+3)] 2 -4×1×(k2 +3k+2) = 4k2 +12k+9-4k2 -12k-8 = 1>0, ∴ 无论 k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根; 解法二: 证明:x2 -(2k+3)x+k2 +3k+2 = 0, (x-k-1)(x-k-2)= 0, ∴ x1 = k+1,x2 = k+2. ∴ x1 ≠x2 , ∴ 无论 k 取何值时,方程总有两个不相等的实数根; (2)解:∵ Δ= 1,∴ x= -[ -(2k+3)] ±1 2×1 = 2k +3±1 2 , 即 x1 = k+1,x2 = k+2. ∵ 方程的两根均为负数, ∴ k+1<0, k+2<0,{ 解得 k<-1, k<-2,{ ∴ k 的取值范围为 k<-2. 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 1. B 变式 D　 【解析】∵ 该企业今年 3 月份产值为 a 万元,4 月份比 3 月份减少了 10%,5 月份比 4 月份增加了 15%, ∴ 该企业今年 4 月份产值为 a(1-10%)万元,5 月份产 值为 a( 1 - 10%) ( 1 + 15%) 万元. 根据题意得: a ( 1 - 10%)(1+15%)= a(1+x) 2 . 2. C 3. C　 【解析】设 BC 长为 x m,则 AB 的长为 1 2 (10+1-x) m, 根据题意得, 1 2 (10+ 1-x) ·x = 15,解得 x = 5 或 x = 6> 5. 5(舍去),∴ BC 长为 5 m. 变式 A 4. B 5. 解:设竹竿的长为 x 尺, 根据题意得,(x-2) 2 +(x-4) 2 = x2 . 解得 x1 = 2,x2 = 10, ∵ 当 x= 2 时,x-2 = 0,x-4 = -2,不符合题意,舍去, ∴ x= 10. 答:竹竿的长为 10 尺. 6. D　 【解析】∵ 方程 10x-4. 9x2 = 5 的两根是 x1 ≈0. 88 与 x2 ≈1. 16,∴ 小球经过约 0. 88 s 和 1. 16 s 离地面的高度 为 5 m,故选项 A,B 不符合题意;小球经过约 0. 88 s 离 地面的高度为 5 m,并将继续上升,小球经过约 1. 16 s 离 地面的高度为 5 m,并将继续下降,故选项 C 不符合题 意;小球两次到达离地面的高度为 5 m 的位置,其时间间 隔约为 1. 16-0. 88 = 0. 28(s),故选项 D 符合题意. 7. 解:(1)设 2、3 两个月销售量的月平均增长率为 x,则 400(1+x) 2 = 576, 解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去), 答:2、3 两个月销售量的月平均增长率为 20%; (2)解法一: 设这种台灯的售价降价 y 元时,商场 4 月份销售这种台 灯获利 4 800 元,则 (40-y-30)(576+12y)= 4 800. 整理得 y2 +38y-80 = 0. 解得 y1 = 2,y2 = - 40(不符合题意,舍去), 当 y= 2 时,40-y= 38. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5