精品解析：福建省宁德市古田县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

古田县2024-2025学年第一学期期中八年级质量检测 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，每题只有一个正确选项，共40分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，无理数的定义，无限不循环小数是无理数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、，2不是无理数，故该选项不符合题意； B、不是无理数，故该选项不符合题意； C、不是无理数，故该选项不符合题意； D、是无限不循环小数，即是无理数，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：因为点关于轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数， 所以的坐标是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 3. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，能使为直角三角形，故A选项不符合题意， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴，能使为直角三角形，故B选项不符合题意， ∵，，， ∴， ∴，，，能使为直角三角形，故C选项不符合题意， ∵， ∴，，， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 4. 如图，的边在数轴上，数轴，，点所表示的数为，点所表示的数为1，以点为圆心，以长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 点对应的数为， 点表示的数是， 故选：C． 5. 下列结论中，正确的是（ ） A. 的算术平方根是3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的性质，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，则3的算术平方根是，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 6. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简和最简二次根式．被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．化简后利用最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，，， ∴，，，都不是最简二次根式． 是最简二次根式． 故选：D． 7. 如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，若正方形的面积分别为，，则正方形的面积是（ ） A. 7 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵正方形，的面积分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积， 故选：D． 8. 若关于的方程的解是，则直线一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一次函数图象上点的坐标特征，由方程的解是可得，即得，再把各选项代入计算求出的值即可判断求解，掌握一元一次方程解的定义及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线， 当时，；当时，；当时，； ∴直线一定经过点， 故选：． 9. 已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．根据一次函数的图象和性质求解． 【详解】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 10. 李叔近期在做桔子生意，月日这天选用以下方案中的一种进行销售．已知当天桔子完全销售，销售成本为350元．如图是月日的销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系，下列说法正确的是（ ） ①当天李叔选用方案二销售；②当天销售量为千克；③当天销售量为千克时，获利元；④从获利角度看：当天选用方案三不如方案一 方案一：先后单价为元千克，元千克 方案二：将桔子分两类：单价为元千克和元千克，由顾客选择． 方案三：单价为元千克 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．利用图中给的数量得出正确结论由图像可判断不正确，根据图像经过计算可知正确．结合图像经过计算可知不正确，分别计算出方案一和方案三的获利可知正确，即可得正确选项． 【详解】解：从图象上看，不能确定李叔选用方案一或方案二销售，故不正确； 由图象可得∶ (元/千克)，（元），（千克），（千克）故正确； 卖出千克后，按元千克销售，当销售千克时，获利（元），故不正确； 按方案一∶（元）；按案三∶（元），，故正确． 综上，正确的是． 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 已知三角形的三边长分别是5，5，8，则这个三角形的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一定理以及勾股定理，解题的关键是利用三线合一定理和勾股定理求出三角形的高．根据题意画出图形，由等腰三角形三线合一定理，勾股定理求得三角形的高，然后计算面积即可． 【详解】解：如图，． 由等腰三角形三线合一定理，可得： ， 由勾股定理，得：， ∴三角形的面积S=． 故答案为12． 13. 已知、是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据题意可知，可知函数值y随着x的增大而减小，再由，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 14. 点到轴的距离为3，到轴的距离为2，且点P在第一限内，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离为3，到轴的距离为2，且点P在第一限内，得出点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点到轴的距离为3，到轴的距离为2，且点P在第一限内， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 下列说法正确的是______ ①若，则； ②若，则； ③两个非零整数相加、相减、相乘、相除运算结果可能是无理数； ④若两个实数相加的结果是无理数，则这两个实数中至少有1个是无理数． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】根据立方根、算术平方根的意义可判断①；两边平方可判断②；根据无理数的性质可判断③④． 【详解】解：①若，则或1，故不正确； ②若，，则，正确； ③两个非零整数相加、相减、相乘、相除运算结果不可能是无理数，故不正确； ④若两个实数相加的结果是无理数，则这两个实数中至少有1个是无理数，正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的意义，二次根式的混合运算，无理数的概念，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算（要求写出演算过程）： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和正确化简根式是解题的关键． （1）先计算乘除，再进行加减计算； （2）先分别计算化简乘方，绝对值和分母有理化，再进行加减计算； （3）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 我县圆圆圈及附近的平面示意图如图所示，已知文化宫的坐标是，闽剧团艺术中心的坐标是 （1）根据上述条件建立平面直角坐标系； （2）若华港大厦的坐标为，请在图中用实心圆点标出华港大厦的位置． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标方法的简单应用以及数对表示位置的方法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据数对表示的位置，即可建立出平面直角坐标系． （2）根据数对表示的位置，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可标出华港大厦的位置． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系，如图， 【小问2详解】 解：华港大厦的位置如图． 19. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 【答案】够用 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 20. 下面小琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． ↓第①步 ↓第②步 ↓第③步 ↓第④步 任务一：左边步骤中，第______步开始出现错误； 任务二：请写出正确的计算过程； 任务三：试说明左边步骤中的第②、③步的运算依据． 【答案】任务一：①；任务二：见解析；任务三：二次根式的除法法则；逆用乘法对加法的分配律 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键； 任务一：由去括号没有改变相应的符号，从而可得第①步出现错误； 任务二：先利用二次根式的性质与除法运算化简二次根式，再合并同类二次根式即可； 任务三：第②步利用了，即二次根式的除法运算法则，第③步逆用了乘法分配律. 【详解】解：任务一：左边步骤中，第①步开始出现错误； 任务二： 任务三：第②步的运算依据二次根式的除法法则， 第③步的运算依据逆用乘法对加法的分配律. 21. 天然气是热效能高的清洁能源，倍受用户青睐．小研家共5口人，每人每月用天然气8立方米．天然气以年用量为周期按阶梯计费． 年用气收费标准如下表 天然气年用量（立方米） 单价（元/立方米） 第一阶梯 不超过的部分 第二阶梯 超过但不超过的部分 第三阶梯 超过的部分 问题1．写出天然气年用量在第一阶梯、第二阶梯内天然气用费y（元）与用量x（立方米）之间的关系式： ①天然气年用量在第一阶梯时，______； ②天然气年用量在第二阶梯时，______； 问题2．小研一家一年的天然气用费是多少？写出计算过程． 【答案】问题1：①，②； 问题2：小研一家一年的天然气用费是元，见解析 【解析】 【分析】本题考查了列函数式； 问题1：①根据天然气用费y（元）=第一阶梯单价用量x（立方米），即可求出天然气年用量在第一阶梯时应交费用； ②根据天然气用费y（元）=第二阶梯单价用量x（立方米）不超过的部分的差价，即可求出天然气年用量在第二阶梯时应交费用； 问题2：根据数量关系，先求出小研一家一年的天然气气量，再按实际情况列式计算. 【详解】问题1．解：①由题意得； ②由题意得 ； 即：； 问题2：小研一家一年的天然气气量（立方米）， 所以小研一家一年的天然气用费是： （元）； 答：小研一家一年的天然气用费是 元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为． （1）请画出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使周长最小，并求出这个最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接D，E，F即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，由对称可得，，此时周长最小．根据勾股定理分别求出，，即可求出周长的最小值． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可得：，，． ； 【小问3详解】 解：作点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，由对称可得，， 周长最小． ，，， ， ， 周长最小值为． 23. 我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 （1）计算：； （2）比较：与的大小； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 24. 问题提出： （1）如图1，在中，，是BC边上的高，，，则______． 方法探究： （2）如图2，在中，是边上的高，，，，求的长． 问题解决： （3）如图3，在中，是边上的高线，，，，以直线为对称轴将翻折后得到，连接，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理和等面积法即可求解； （2）根据勾股定理即可求解； （3）连接交于点，则，过点作交延长线于，先求出，再求出，设，则，由勾股定理得出，求出m的值，即得，最后再由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设， 是边上的高， 在和中， 即， 解得， ； （3）如图，连接交于点，则，过点作交延长线于， 在中，， 垂直平分， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ． 25. 综合与实践： 【问题背景】沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间．综合实践小组在进行项目式学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）． 【实验操作】该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1． 漏沙时长（时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 任务1：建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时长，纵坐标表示精密电子称的读数，描出以表1中的数据为坐标的各点， 【建立模型】 任务2：观察上述各点的分布规律，依次将各点连接起来，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由． 【结论应用】 任务3：应用上述发现的规律估算： （1）若漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为多少？ （2）若本次实验开始记录的时间是上午，当精密电子秤的读数为78克时是几点钟？（时间为24时制） 【答案】任务1：见解析；任务2：在同一直线上，；任务3：（1）漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为36克；（2）经过12小时的漏沙时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，包括描点法画函数图像，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数自变量或函数值是解决本题的关键． 任务1：结合表1数据描出各点即可； 任务2：连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像；设一次函数表达式为，根据待定系数法求解即可； 任务3：（1）根据函数表达式，令，求解即可获得答案；（2）根据函数表达式，令时，解得的值，然后结合起始时间是上午8：00即可获得答案． 【详解】解：任务1：如图所示； 任务2：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图象． 设一次函数表达式为：， 将点，代入解析式中， 可得，解得， 函数表达式为：； 任务3：（1）由任务2可知函数表达式为：， 当时，， 漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为36克； （2）由任务2可知函数表达式为：， 当，时，， 起始时间是上午， 经过12小时的漏沙时间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 古田县2024-2025学年第一学期期中八年级质量检测 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，每题只有一个正确选项，共40分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. 4. 如图，的边在数轴上，数轴，，点所表示的数为，点所表示的数为1，以点为圆心，以长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论中，正确的是（ ） A. 的算术平方根是3 B. C. D. 6. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，若正方形的面积分别为，，则正方形的面积是（ ） A. 7 B. 13 C. 15 D. 17 8. 若关于的方程的解是，则直线一定经过点（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 李叔近期在做桔子生意，月日这天选用以下方案中的一种进行销售．已知当天桔子完全销售，销售成本为350元．如图是月日的销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数关系，下列说法正确的是（ ） ①当天李叔选用方案二销售；②当天销售量为千克；③当天销售量为千克时，获利元；④从获利角度看：当天选用方案三不如方案一 方案一：先后单价为元千克，元千克 方案二：将桔子分两类：单价为元千克和元千克，由顾客选择． 方案三：单价为元千克 A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 已知三角形的三边长分别是5，5，8，则这个三角形的面积是______． 13. 已知、是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为______． 14. 点到轴的距离为3，到轴的距离为2，且点P在第一限内，则点的坐标为______． 15. 如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 16. 下列说法正确的是______ ①若，则； ②若，则； ③两个非零整数相加、相减、相乘、相除运算结果可能是无理数； ④若两个实数相加的结果是无理数，则这两个实数中至少有1个是无理数． 三、解答题（共86分） 17. 计算（要求写出演算过程）： （1）； （2）； （3）． 18. 我县圆圆圈及附近的平面示意图如图所示，已知文化宫的坐标是，闽剧团艺术中心的坐标是 （1）根据上述条件建立平面直角坐标系； （2）若华港大厦的坐标为，请在图中用实心圆点标出华港大厦的位置． 19. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 20. 下面小琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． ↓第①步 ↓第②步 ↓第③步 ↓第④步 任务一：左边步骤中，第______步开始出现错误； 任务二：请写出正确的计算过程； 任务三：试说明左边步骤中的第②、③步的运算依据． 21. 天然气是热效能高的清洁能源，倍受用户青睐．小研家共5口人，每人每月用天然气8立方米．天然气以年用量为周期按阶梯计费． 年用气收费标准如下表 天然气年用量（立方米） 单价（元/立方米） 第一阶梯 不超过的部分 第二阶梯 超过但不超过的部分 第三阶梯 超过的部分 问题1．写出天然气年用量在第一阶梯、第二阶梯内天然气用费y（元）与用量x（立方米）之间的关系式： ①天然气年用量在第一阶梯时，______； ②天然气年用量在第二阶梯时，______； 问题2．小研一家一年的天然气用费是多少？写出计算过程． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为． （1）请画出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使周长最小，并求出这个最小值． 23. 我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 （1）计算：； （2）比较：与的大小； （3）化简：． 24. 问题提出： （1）如图1，在中，，是BC边上的高，，，则______． 方法探究： （2）如图2，在中，是边上的高，，，，求的长． 问题解决： （3）如图3，在中，是边上的高线，，，，以直线为对称轴将翻折后得到，连接，求的长． 25. 综合与实践： 【问题背景】沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间．综合实践小组在进行项目式学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）． 【实验操作】该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1． 漏沙时长（时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 任务1：建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时长，纵坐标表示精密电子称的读数，描出以表1中的数据为坐标的各点， 【建立模型】 任务2：观察上述各点的分布规律，依次将各点连接起来，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由． 【结论应用】 任务3：应用上述发现的规律估算： （1）若漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为多少？ （2）若本次实验开始记录的时间是上午，当精密电子秤的读数为78克时是几点钟？（时间为24时制） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $