精品解析：江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

2024~2025学年度第一学期期中检测 九年级数学试题 注意事项 1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 3. 方程的两根为、，则（ ） A 6 B. C. 3 D. 4. 下列函数图象与的图象形状相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，在半径为5的中，弦，点C是弦的一动点，若长为整数，则满足条件的点C有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 当时，函数的最小值为1，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 0或3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 一元二次方程x2﹣1＝3的根为_____． 10. 请在横线上写一个常数，使得关于的方程_______．有两个相等的实数根． 11. 若是一元二次方程一个根，则______． 12. 如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°； 13. 已知拋物线经过点、，则________（填“”“ ”或“”）． 14. 如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______． 15. 平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______． 三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 18. 如图，是的直径，弦平分，，垂足为E．试判断与的位置关系，并说明理由． 19. 某小区有一块长方形绿地，长为，宽为．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加，求的值． 20. 已知y是x的函数，下表中给出了几组x、y的对应值： x … 0 1 5 … y … 3 m 0 3 … （1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图象可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m的值； （2）结合图象回答问题：当x的取值范围是____________时，． 21. 如图，在△ABC 中，AB＝AC, 以AB 为直径作圆，分别交AC, BC于点D、E． （1）求证：BE＝CE; （2）当∠BAC＝40°时，求∠ADE 的度数； （3）过点E作圆的切线，交AB的延长线于点F,当AO＝BE＝2时,求图中阴影部分面积． 22. 商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元． （1）该商场平均每月可售出 件商品（用含x的代数式表示）； （2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？ （3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x增大而减小，求a的取值范围． 23. （1）如图，点在上，，则______，______； （2）如图，两点分别在轴和轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点，使，且；（保留作图痕迹） （3）如图，已知线段和直线，利用直尺和圆规在上作出点，使；（保留作图痕迹） （4）如图，在平面直角坐标系第一象限内有一点，坐标为，过点作轴，轴，垂足分别为，若点在线段上滑动（点可以与点重合），使得的位置有两个，则的取值范围为______． 24. 如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、， （1）填空：______，______； （2）如图，若点是此二次函数图像的第一象限上一点，设点横坐标为，当四边形的面积最大时，求的值； （3）如图，若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中检测 九年级数学试题 注意事项 1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， 或， ，， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 2. 的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（ ） A. 点内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较实施判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，点到圆心的距离为3， 由可知，点在的内部， 故选：A． 3. 方程的两根为、，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：移项得：， ∵方程的两根为、， ∴， 故选：C． 4. 下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到与的二次项系数相同的选项即可确定正确的选项． 【详解】解：∵形状相同的两个二次函数的二次项系数的绝对值相等， ∴与形状相同， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次项系数的绝对值相等的二次函数形状相同，难度较小． 5. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论． 详解】解：连接， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 6. 如图，在半径为5的中，弦，点C是弦的一动点，若长为整数，则满足条件的点C有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出，进而得到，再由长为整数进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于D，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点C是弦的一动点， ∴，即， ∵长为整数， ∴时，有一个点满足题意；当时，有两个点满足题意；当时，有两个点满足题意； ∴一共有5个点满足题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7. 为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类， 依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 当时，函数的最小值为1，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 0或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，， ∵当时，函数有最小值1， ∴或， 解得：或， 故答案为：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 一元二次方程x2﹣1＝3的根为_____． 【答案】x1＝2，x2＝﹣2． 【解析】 【分析】移项后，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】移项得x2＝4， 开方得x＝±2， 即x1＝2，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝2，x2＝﹣2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 10. 请在横线上写一个常数，使得关于的方程_______．有两个相等的实数根． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程系数结合根的判别式，即可得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：， 故答案为：9． 11. 若是一元二次方程的一个根，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把代入一元二次方程，可得，然后代入原式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：2025． 12. 如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°； 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内心的概念得到然后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°， ∴ ∴∠BOC． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 13. 已知拋物线经过点、，则________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，抛物线的对称轴为：，则关于对称点的坐标为：，再根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 抛物线的对称轴为：， 关于对称点的坐标为：， ，且抛物线开口向下， ， 故答案为：． 14. 如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，根据圆锥展开后的扇形的弧长等于其底面周长建立等式，求解即可得． 【详解】解：设该圆锥的底面半径是， 由题意得：， 解得， 即该圆锥的底面半径是， 故答案为：． 15. 平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______． 【答案】向下平移4个单位长度 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点问题；将二次函数向下移动4个单位，得：，符合题意，即可求解． 【详解】解：将二次函数向下移动4个单位，得：， 此函数与轴两交点为，，此两点的距离为1个单位； 故答案为：向下平移4个单位长度． 三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， （1）先移项，配方，再开方，可得答案； （2）先移项，再因式分解，即可求出解． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， 即， 直接开平方，得， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 计算一元二次方程根的判别式，通过配方法得出判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵不论m为何值， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根． 18. 如图，是的直径，弦平分，，垂足为E．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】与相切，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了证明某直线是圆的切线，连接，由得，由AD平分得，推出，，即可求证； 【详解】解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相切． 19. 某小区有一块长方形绿地，长为，宽为．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“改造后的面积比原来增加”，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 整理，得， 解得． 答：的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 20. 已知y是x的函数，下表中给出了几组x、y的对应值： x … 0 1 5 … y … 3 m 0 3 … （1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图象可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m的值； （2）结合图象回答问题：当x的取值范围是____________时，． 【答案】（1）画图见解析，它是二次函数，函数得表达式为， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数的图象，图象法解一元二次不等式，数形结合是解题的关键； （1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接即可作图，根据所作图形可判断函数类型，再根据待定系数求解析式，把代入所求解析式即可求m； （2）根据图象可知，取x轴上及其上方的图象对应的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图， 由图象可知，它是我们学过的二次函数， 设二次函数解析式为：， 把代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，； 【小问2详解】 解： 由图象可知，抛物线与x轴的交点为：， 结合图象可知：当或时，， 故答案为：或． 21. 如图，在△ABC 中，AB＝AC, 以AB 为直径作圆，分别交AC, BC于点D、E． （1）求证：BE＝CE; （2）当∠BAC＝40°时，求∠ADE 的度数； （3）过点E作圆的切线，交AB的延长线于点F,当AO＝BE＝2时,求图中阴影部分面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，再利用等腰三角形的性质，底边上的高也是底边上的中线； （2）先求出∠ABE，再利用圆内接四边形的对角互补即可得出结论， （3）先利用切线得出∠OEF=90°，根据题意得出是等边三角形，再用面积之差求出阴影部分面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴BE=CE； 【小问2详解】 ∵AB=AC，AE⊥BC，∠BAC＝40° ∴ ∴∠ABE=90°-∠BAE=70°， ∵四边形ABED是圆内接四边形, ∴∠ADE=180°-∠ABE=110°， 【小问3详解】 连接OE， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，求扇形面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 22. 商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元． （1）该商场平均每月可售出 件商品（用含x的代数式表示）； （2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？ （3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x增大而减小，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）80元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据某商品以50元售出，平均每月能售出700件，售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，写出商品的销售量； （2）根据每月销售利润每件商品的利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）根据每月销售利润（每件商品的利润销售量列出函数解析式，再根据每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小，得出对称轴，解不等式得出的取值范围． 【小问1详解】 解：每件商品的售价为元，则每件商品的售价上涨了元， 商场平均每月可售出商品件， 故答案为：； 【小问2详解】 设每月销售利润为元， 则， ，， 当时，有最大值，最大值为16000， 商品售价定为80元时，每月销售利润最大； 【小问3详解】 根据题意得：， 对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小， 每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小， ， 解得， 又， 的取值范围为． 23. （1）如图，点在上，，则______，______； （2）如图，两点分别在轴和轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点，使，且；（保留作图痕迹） （3）如图，已知线段和直线，利用直尺和圆规在上作出点，使；（保留作图痕迹） （4）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，坐标为，过点作轴，轴，垂足分别为，若点在线段上滑动（点可以与点重合），使得的位置有两个，则的取值范围为______． 【答案】（），；（）见解析；（）见解析；（） 【解析】 【分析】（）利用圆周角定理解答即可； （）利用线段的垂直平分线的性质解答即可； （）利用圆周角定理和等边三角形的性质解答即可； （）以为斜边作等腰直角三角形，连接，，过点作，延长交于点，利用点的坐标的特征求得，，利用以上的解题思想方法，以点为圆心，以为半径画圆，由上可知点在中所对的优弧上时，使得，利用分类讨论的方法求得满足条件的临界值即可求得的取值范围． 【详解】解：（）∵， ∴，， 故答案为：，； （）作的垂直平分线交于点，连接，，如图， ∴点即为所求； （）以为边作等边三角形； 以点为圆心，以为半径画圆，交直线于点； 连接，，则，如图， （）以为斜边作等腰直角三角形，连接，，过点作，延长交于点，如图， ∵点坐标为，轴，轴， ∴四边形为矩形，，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴垂直平分， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 以点为圆心，以为半径画圆，由上可知点在中所对的优弧上时，使得， 当时，，此时恰好经过，，点与点重合时， 如图， 使得的位置有两个， ∴， 该圆与相切于点，点与点重合时，存在一个点使得，如图， 此时 ，， ∴要使的位置有两个， ∴， 综上，要使的位置有两个，则的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，基本作图，平面直角坐标系，点的坐标的特征，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键． 24. 如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、， （1）填空：______，______； （2）如图，若点是此二次函数图像的第一象限上一点，设点横坐标为，当四边形的面积最大时，求的值； （3）如图，若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】把点、的坐标代入二次函数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值； 连接，四边形被分为和，点横坐标为，则点纵坐标为，把的底边看作，则相应的高就为点的横坐标，把的底边看作，则相应的高就为点的纵坐标，把四边形的面积用含的代数式表示出来，利用平方的非负性质可得当时四边形的面积最大，最大值为； 在轴上取点，连接，则，所以可得是等腰直角三角形，利用两边对应成比例且夹角相等可证，根据相似三角形对应角相等可证，可得，所以可得，根据平行线的性质可以得到点的坐标，利用待定系数法求出的解析式，解方程组可以求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把点、的坐标代入二次函数， 可得：， 解得：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由可得二次函数的解析式为， 点横坐标为， 点纵坐标， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 如下图所示，连接， ， ， ， ， 当时四边形的面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：如下图所示，在轴上取点，连接，则， 点的坐标为， ， ， ， ，，， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把点，代入解析式， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：，(舍去)， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质．解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到相等的角，再利用角之间的关系找到边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $