精品解析：江苏省宿迁市泗阳县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年第一学期九年级期中学业水平测试 数学 分值：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 图中圆与正方形的四条边都相切，则该图有（ ）条对称轴． A. 2 B. 4 C. 5 D. 无数 3. 如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ） A. 三边上的高线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三个内角平分线的交点 6. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则此直线与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相离或相切 D. 相交 9. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 增删算法统宗中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可得方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知的半径为4，点P在上，则的长为__________． 12. 关于x的方程的一个根为3，则________． 13. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是______． 14. 已知，，当时，______． 15. 若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式_________． 16. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为_________． 17. 若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 18. 如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则_________． 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点、、， （1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为．________； （2）的半径为．________，的度数为________； （3）点M是第一象限网格中的一个格点，直线CM与相切，点M的坐标为________． 22. 某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润是3600元． （1）求1月份到3月份平均每月利润增长的百分率是多少？ （2）若保持增长率不变，该商店4月份的利润是多少？ 23. 如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． （1）与相等吗？为什么？ （2）若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 24. 如图，已知是的直径，C是上的点，点D在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求k的取值范围； （2）方程的一个根可以为1吗？如果可以，求k的值；如果不可以，说明理由． 26. 数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； （2）在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； （3）在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 27. 规定：我们用表示一元二次方程，用数组表示一元二次方程的两个解（其中），当时，唯一对应一个数组，可记作：．如方程：的两个解分别为1，；则有，又如，，反之，当数组确定时，却有无数个一元二次方程与之对应，如方程和的解都是则称方程和为同解方程，记作方程．研究发现：当时，总有成立． （1）若则_______，若则_______； （2）若，且，求t的值； （3）如果实数a、b、c、d满足，，，探究是否为定值？如果是，请求出k的值，如果不是，请说明理由． 28. 在数学实验课上，小明取一个角尺（，，可看作无限长）和若干大小不等的圆形纸片（记作）做“停放”实验，当圆形纸片半径较小（圆的半径）时，纸片如图1“停放”，其中与线段和射线分别相切于点F、P，当圆形纸片半径较大（圆的半径）时，纸片如图2“停放”，其中经过点A，与射线相切于点P． （1）在图1中，若，求AF的长度； （2）在图2中，设，则圆的半径______； （3）在图3中，若，在点P的左侧取一点Q，使，连接AQ． ①求当且AQ与相切时的m值及的度数； ②若，随着r的变化，是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请简要说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期九年级期中学业水平测试 数学 分值：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，关键是首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A．，最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； C．，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； D．是一元二次方程，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 图中圆与正方形的四条边都相切，则该图有（ ）条对称轴． A. 2 B. 4 C. 5 D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的定义，分别找出题干中的图形的所有对称轴条数，即可进行判断，． 【详解】解：圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，且都过该图形中圆的圆心， 则该图有4条对称轴． 故选：B． 3. 如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容． 由于，根据垂径定理有，，不能得出，圆的半径都相等，即可求解； 【详解】解：， ，， 的半径都相等， 那么， 不能得出． 故选B． 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 5. 三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ） A. 三边上的高线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三个内角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点．   故选： C． 6. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：＝72°， ∴n＝5， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝． 7. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 8. 已知圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则此直线与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相离或相切 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和相交；直线和相切；直线和相离．根据题意，圆心到直线的距离2小于3，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法得到直线与圆的位置关系． 【详解】圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则圆心到直线的距2离小于3，所以直线与圆相交． 故选：D． 9. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：这个扇形的面积为： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 10. 增删算法统宗中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设竿长为尺，则为尺，为尺，利用勾股定理，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设竿长为尺，则为尺，为尺， 根据题意得：． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知的半径为4，点P在上，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，P到圆心的距离，则有：点P在圆上，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为4，点P在上， ∴． 故答案为：． 12. 关于x的方程的一个根为3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识． 先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10． 故答案为：10． 14. 已知，，当时，______． 【答案】3或 【解析】 【分析】把，，代入得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，， 则， 解得， 即或3， 故答案为：3或 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 15. 若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义得到，代入变形后的式子，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 16. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 重物上升， 点A转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过的度数为， 故答案为：． 17. 若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 18. 如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理等知识，应用好垂径定理及其推论是解题的关键； 设，则得，，；连接，过点M作于N；由垂径定理得，从而；由M是的中点，则得，在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，由此建立方程求得k的值，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴，； 如图，连接，过点M作于N； ∴，； ∵为的一条弦，且， ∴， ∴； 由题意知，M是的中点，且为的直径， ∴， 由垂径定理推论知：； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：10． 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的方法，根据方程的特点选取适当的方法是解题的关键； （1）根据两个因式的积为0，则至少一个为0，变为解两个一元一次方程，进而可求解； （2）方程左边分解因式，根据两个因式的积为0，则至少一个为0，变为解两个一元一次方程，进而可求解； 【小问1详解】 解：由题意知，或， 即， 故方程的解为：； 【小问2详解】 解：方程左边分解因式得：， 即或， 解得：， 故原方程的解为：． 20. 如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接，求出，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点、、， （1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为．________； （2）的半径为．________，的度数为________； （3）点M是第一象限网格中的一个格点，直线CM与相切，点M的坐标为________． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，它们的交点即为D点； （2）利用勾股定理可求得半径的长，根据勾股定理的逆定理可求得； （3）根据和切线的性质可得，作出图形即可得到点M的坐标． 【小问1详解】 解∶如图，分别作，的垂直平分线交于点D，则点D为所求圆心， 由图得，点D的坐标为， 【小问2详解】 如图，连接，， ， ∴的半径为：， ∵，且， ∴， ∴， 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵直线与相切， ∴， ∴， 如图，当，点M是第一象限网格中的一个格点时，M的坐标为， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，切线的性质等知识，掌握确定三角形的外接圆的圆心的方法是解题的关键． 22. 某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润是3600元． （1）求1月份到3月份平均每月利润增长的百分率是多少？ （2）若保持增长率不变，该商店4月份的利润是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．可直接套公式：原有量增长率现有量，n表示增长的次数． （1）如果设平均每月增长的百分率是，那么2月份的利润是元，3月份的利润是元，而此时利润是3600元，列出方程求解； （2）该商店4月份的利润是，代入求值即可． 【小问1详解】 解：设平均每月增长的百分率是， 依题意可得：， 解这个方程得：（不合题意，应舍去）． 故这个百分率为． 【小问2详解】 解：该商店4月份的利润是元． 23. 如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． （1）与相等吗？为什么？ （2）若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】（1） 解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 24. 如图，已知是的直径，C是上的点，点D在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明∶如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，由于是的直径，可得，从而得到，即可； （2）设的半径为r，则，由于，可得到，，再求出，分别计算的面积以及扇形的面积即可求出阴影部分面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的半径为r，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 过点O作于点E， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求k的取值范围； （2）方程的一个根可以为1吗？如果可以，求k的值；如果不可以，说明理由． 【答案】（1）； （2）可以，k的值为1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次该方程的解． （1）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． （2）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值． 【小问1详解】 ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴k的取值范围为； 【小问2详解】 可以； 把代入原方程，得，解得， ∵， ∴方程的一个根可以为1，此时k的值为1． 26. 数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； （2）在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； （3）在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】（1） 如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2） 圆心的位置如图所示： （3） 圆心的位置如图所示： 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 规定：我们用表示一元二次方程，用数组表示一元二次方程的两个解（其中），当时，唯一对应一个数组，可记作：．如方程：的两个解分别为1，；则有，又如，，反之，当数组确定时，却有无数个一元二次方程与之对应，如方程和的解都是则称方程和为同解方程，记作方程．研究发现：当时，总有成立． （1）若则_______，若则_______； （2）若，且，求t的值； （3）如果实数a、b、c、d满足，，，探究是否为定值？如果是，请求出k的值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；5 （2） （3）是定值， 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，理解新定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意知，表明一元二次方程有两个实数解与4，由一元二次方程根与系数的关系即可求解；当时，总有，由此可求得c的值； （2）由知，m、n是一元二次方程的两个实数解，且; 由根与系数的关系知；结合，则，再利用完全平方公式的变形即可求得t的值； （3）由，，则c、d是方程的两个实数解，则a、b是方程的两个实数解，由根与系数的关系得，则，，从而有，；再由c是的解，有，同理，整理得，利用完全平方公式变形可求得的值，而，即可判定k为定值． 【小问1详解】 解：由题意知，与4是一元二次方程的两个实数解， 由根与系数的关系得：； 当时，总有，而 ∴， ∴； 故答案为：；5； 【小问2详解】 解：由知，m、n是一元二次方程的两个实数解，且; ∴； ∵， 当m、n全为正或全为负时，则，这与矛盾； ∴， ∴， 则有， 即， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴c、d是方程的两个实数解，a、b是方程的两个实数解， 由根与系数的关系得：， ∴,， ∴，； ∵c是的解， ∴，即； ∵a是方程的解， ∴，即； ∴， 即， ∴， 整理得：， 解得：或； ∵当，时，a、c是方程的两个实数解， 解此方程得：， 即 这与题设矛盾， ∴， ∴， ∴k为定值48． 28. 在数学实验课上，小明取一个角尺（，，可看作无限长）和若干大小不等的圆形纸片（记作）做“停放”实验，当圆形纸片半径较小（圆的半径）时，纸片如图1“停放”，其中与线段和射线分别相切于点F、P，当圆形纸片半径较大（圆的半径）时，纸片如图2“停放”，其中经过点A，与射线相切于点P． （1）在图1中，若，求AF的长度； （2）在图2中，设，则圆的半径______； （3）在图3中，若，在点P的左侧取一点Q，使，连接AQ． ①求当且AQ与相切时的m值及的度数； ②若，随着r的变化，是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请简要说明理由． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据圆的切线的性质，正方形的判定与性质，即可求得答案； （2）连接，，过点A作于点C，设的半径为r，根据根据圆的切线的性质及勾股定理，列方程，解方程即可求得答案； （3）①连接，，过点A作于点D，根据（2）的思路，可求得，再根据勾股定理列方程，即可求得答案； ②设的半径为r，根据勾股定理，分别求得，，，的长，即可得到，再设，得到，令，化简得，最后根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质，即可求得答案． 【小问1详解】 解：连接，， 与线段和射线分别相切于点F、P， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ； 【小问2详解】 解：连接，，过点A作于点C， 与射线相切于点P， ， ， 四边形是矩形， ，， 设的半径为r，则， ， 在中，， ， 解得， 的半径为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①连接，，过点A作于点D， 与射线相切于点P， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 与均与相切， ，， 在中，， ， 解得， ， ； ②设的半径为r， 由①可知，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 令， 整理得， 根据， 可得， 根据二次函数函数，令， 由图象即可解得， ， ， ， 即随着r的变化，x与k均随着变化，有最大值，最大值是． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，利用二次函数的图象解一元二次不等式，求的最值需要利用换元思想、一元二次方程根的判别式及二次函数的性质，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $