第06讲 分式方程及应用（练习，14题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第二章 方程与不等式 第06讲 分式方程及应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 分式方程的定义 05-23 👉题型02 解分式方程 👉题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程 👉题型04 与解分式方程有关的新定义问题 👉题型05 与解分式方程有关的跨学科问题 👉题型06 由分式方程的解求参数 👉题型07 由分式方程有解、无解或有增根求参数 👉题型08 由分式方程解的取值范围求参数 👉题型09 分式方程与不等式组综合 👉题型10 列分式方程 👉题型11 利用分式方程解决实际问题 👉题型12 分式方程的应用与函数的综合运用 👉题型13 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 👉题型14 以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 👉题型01 分式方程的定义 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 2．（2021·河南信阳·模拟预测）下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程； 【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键． 👉题型02 解分式方程 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 故答案为：． 4．（2024·青海西宁·三模）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解． 5．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 经检验，是原方程的根 6．（2024·河北邯郸·模拟预测）根据下表中的数据，写出的值为 ，的值为 ．           结果 代数式 2 3 2 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，分式的求值，解分式方程，把代入分式求出的值，把代入分式得到关于的分式方程，求出的值，再代入代数式求出的值即可． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，，解得：， 经检验是原方程的解， ∴当时，； 故答案为：，． 👉题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程 7．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 是原分式方程的解⑥ 【答案】错误的步骤是①、②，正确解答见解析 【分析】本题考查了解分式方程，观察阅读材料中的解方程过程，找出错误的步骤，修改解答过程即可． 【详解】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解为． 8．（2024·山东滨州·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 【答案】（1）；；（2）小丁和小迪的解法都不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查的是整式的化简求值、分式方程的解法，掌握整式的混合运算法则、解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可； （2）根据解分式方程的一般步骤解出方程． 【详解】解：（1）原式 ， 当，时，原式； （2）小丁和小迪的解法都不正确， 正确解法如下：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验，当时，， 原方程的解是． 9．（2024·宁夏银川·二模）以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 解：去分母：…………．第一步． 去括号： …………，第二步 移项，合并同类项得：…………．第三步 系数化为1，得：…………．第四步 检验：当时，， 所以：是原分式方程的解． (1)填空： ①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请你写出此方程的正确求解过程． 【答案】(1)二，去括号时第二项没有变号； (2)，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程步骤的依据以及解分式方程的一般步骤． （1）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据等式的基本性质进行解答即可； （2）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据去括号法则进行解答即可； 按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步去分母的依据等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； 第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时第二项没有变号， 故答案为：二，去括号时第二项没有变号． （2）解：正确的求解过程如下： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1，得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 10．（2024·山西忻州·三模）（1）． （2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得，……………………………………………………第一步 移项，得，……………………………………………………………第二步 合并同类项，得，………………………………………………………第三步 系数化为1，得．………………………………………………………第四步 检验：当时，． 所以是原方程的根． 任务一：以上解题过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：该方程的正确解是 ． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）；（2）任务一：一；去分母时，1没有乘；任务二：；任务三：解分式方程必须检验（答案不唯一） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解分式方程，熟练掌握解解分式方程的基本步骤，掌握运算顺序是解题的关键． （1）根据含有乘方的有理数混合运算法则计算即可； （2）根据解分式方程的步骤进行分析和解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：任务一： 解方程：． 解：去分母，得，……………………………………………………第一步， ∴以上解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是1没有乘      ． 故答案为：一；去分母时，1没有乘． 任务二： 解方程：． 解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，． 所以是原方程的根． 故答案为：． 任务三：解分式方程必须检验．（答案不唯一） 👉题型04 与解分式方程有关的新定义问题 11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】根据新定义可得，，从而可得分式方程，再解分式方程即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得：， 把代入得，， ∴是原方程的解， 故选；A． 12．（2022·河南平顶山·二模）定义运算，如：．则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出方程1+=，再解分式方程，求出其解即可． 【详解】解：由题意，得 1+=， ∴， 解得：x=， 经检验，x=是方程的根， 故选：D． 【点睛】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 14．（2023·广东深圳·二模）对于实数，，定义一种新运算“θ”为： ，例如： ，则的解是 ． 【答案】/ 【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：∵， ∴，即， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解是， 故答案为： 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)不是“相似方程”，理由见解析 (2)m=2或3 【分析】（1）求出两方程的解，再根据“相似方程”的定义判断即可． （2）由“相伴方程”的定义求得方程解的表达式，进而分类讨论求得满足条件的m的值． 【详解】（1）解：不是“相似方程”，理由如下： 解一元一次方程3－2(1－x)=4x，解得：x=   解分式方程，解得：x= 检验：当x=时，(2x+1)(2x－1)=0 ∴分式方程无解 ∴一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程不是“相似方程”． （2）解：由题意，两个方程有相同的整数解 ∴mx+6=x+4m， ∴(m－1)x=4m－6， ①当m－1=0时，方程无解；                                                   ②当m－1≠0， 即m≠1时， ，即x=4－ ∵x，y均为整数 ∴m－1=1，2，－1，－2， ∴m=2，3，0，－1， 又∵m取正整数， ∴m=2或3 综上所述，m=2或3． 【点睛】本题考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键． 👉题型05 与解分式方程有关的跨学科问题 16．化学小组欲将浓度为的酒精溶液稀释为的酒精溶液．设需要加水，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】利用酒精的质量不变列方程即可． 【详解】解：设需要加水， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 17．如图，把、两个电阻并联起来，线路上的电流为，电压为，总电阻为，则，其中，，，满足关系式：.当，，时，求的值． 【答案】12 【分析】先把R1、R2、R总关系式化简为最简形式，然后把未知数对应的值代入，得出R总的值，再根据即可求出答案． 【详解】解：分式方程两边同乘以R1·R2·R总，得 R1·R2＝R2·R总＋R1·R总 把，代入上式，得： 300＝40·R总 ∴R总＝7.5 又∵， ∴U＝12 【点睛】本题主要考查解分式方程，先把分式方程化简，再把解方程，关键是掌握分式方程化简的方法和步骤． 18．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合（），研究混合物的密度（），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为． (1)请用含，式子表示； (2)比较，的大小，并通过运算说明理由： (3)现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？ 【答案】(1) (2) (3)需要加水 【分析】本题考查列代数式，分式的加减，分式方程的应用，掌握比差法是解题的关键． （1）设混合溶液密度为的两种液体的体积分别为V，表示出两种液体的质量，利用公式解题即可； （2）用含，式子表示出，然后利用比差法计算的值进行比较大小； （3）根据题意找出等量关系，利用分式方程解题即可． 【详解】（1）解：设混合溶液密度为的两种液体的体积分别为V， ∴； （2）设混合溶液密度为的两种液体的质量分别为m， ∴， ∵， ∴； （3）解：密度为的盐水的体积为， 设需要加水，即加入的水的体积为 则， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：需要加水，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中． 19．（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 20．马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为．聪明的马超对公式进行变形得到，他马上联想到数学中也有类似变形，例如，，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题： (1)计算：______； (2)解方程：； (3)若分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)4或8 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程： （1）根据题意把所求式子裂项求解即可； （2）把裂项变成，再化简解分式方程即可； （3）先把式子，裂项变成，，再化简得到，再根据分式方程有增根进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； （3）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵原方程有增根， ∴当时，， 当时，， 当时，（舍去） 综上所述，m的值为4或8． 👉题型06 由分式方程的解求参数 21．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【详解】解： 是分式方程的解， ， 解得：， 故选：C． 22．（2024·四川成都·模拟预测）已知是分式方程的解，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解．将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入原方程可得， 解得：， 故答案为：3． 23．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程含参数问题， 首先求出分式方程的解为，然后根据有意义的条件得到，，然后求出一元二次方程的解为或，然后根据题意得到或，进而求解即可． 【详解】 去分母得， 解得 ∴ ∴， ∴或 解得或 ∵关于x的方程的根满足， ∴或 解得（舍去），． 故答案为：6． 👉题型07 由分式方程有解、无解或有增根求参数 24．（2024·贵州黔东南·一模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，将方程转化为整式方程，求出分式的分母为0时的的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程无解， ∴整式方程无解或方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 25．（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程有增根，则k 的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程有增根的情况是分母为0得到，则，据此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， 故答案为：1． 26．（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解有意义的概念，一元二次方程实数根的判断，掌握求解的方法是解题的关键． 根据分式有意义的情况得到，化简分式后代入即可得到的取值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：，化简得：， ∵，即， ∴，解得：， ∵有实数根， ∴， 解得：， ∴综上且， 故答案为：且． 27．（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 整理得：， 当时，方程无解， ∵分式方程的增根是：， ∴把代入，得 ， 解得：， 所以的范围是，且． 故答案为：，且． 👉题型08 由分式方程解的取值范围求参数 28．（2024·山东日照·三模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得． ∵x为正数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：C． 29．（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 30．（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数．先利用表示出的值，再由为负数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， 为负数，且， ，且， 解得，且， 的取值范围是， 故答案为：． 31．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的方程有一个正数解，可得，且，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的方程有一个正数解， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 👉题型09 分式方程与不等式组综合 32．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到、，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有两个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ， 是原分式方程的增根， ， 综上，，且，，为整数， 或， 所有满足条件的整数的和是．． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握根据不等式组解集的情况求参数及根据分式方程解的情况求值的方法． 33．（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握以上运算法则．不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：． ∵不等式组有解且至多4个整数解， ， 解得：， 分式方程， 去分母得：， 解得：， ∵，， ∵分式方程的解为整数，，， 或4或6， 则满足题意整数之和为． 故答案为：10． 34．（2024·四川成都·二模）现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式、解分式方程、解一元一次不等式组，先求出使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值，然后即可计算出相应的概率． 【详解】解：由分式方程，可得， ∵分式方程的解是负数，且， ∴，且， ∴且， 由不等式组可得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得:； 由上可得，a的取值范围为，且， ∴从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的a的值为，0，1，2，有4个数， ∴现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为， 故答案为：． 35．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）计算：； （2）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】（1）1  （2）13 【分析】（1）根据负指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值的计算法则先计算结果，再根据实数的运算法则即可求解； （2）先解分式方程可得参数的解集为且，再解不等式组，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间中，大大小小无解”方法求解集，由此即可求解． 【详解】解： ； （2） 分式方程去分母得，， 解得：， ∵分式方程的解为正数，即且， ∴且， 解不等式组， 由得：，由得：， ∵解集为， ∴， 解得：， 综上可知a的整数解有：3，4，6，它们的和为13． 【点睛】本题主要考查负指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值的计算，分式方程，解一元一次不等式组及解集求参数，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 👉题型10 列分式方程 36．（2024·云南昆明·模拟预测）新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了，设原来小杰自驾去大理的平均速度是，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题案的关键是读懂题意，根据“所需时间比原来缩短了”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 37．（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程，设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 【详解】解：设规定时间为x天， 根据题意得，， 故选：A． 38．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题列分式方程，设原计划每天整改千米，得到实际施工时每天整改千米，由等量关系结果提前5天完成这一任务，即可列出分式方程，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设原计划每天整改千米，实际施工时每天整改千米，则 ， 故选：B． 39．（2024·广东深圳·三模）一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设甲种矿泉水的价格为元，则乙种矿泉水价格为，根据甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，列分式方程． 【详解】解：设甲种矿泉水的价格为元，则乙种矿泉水价格为， 由题意得，． 故选：B． 40．（2024·贵州黔南·模拟预测）近年来，国家提倡节能减排，为响应号召，很多家庭都购入新能源汽车，2024年春节，小明一家驾驶新购买的新能源汽车去相距的海滨城市旅游，原计划以的速度行驶，后因要赶上新春烟花会而提前到达，实际行驶速度为原计划速度的1.3倍，结果比原计划提前了到达，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据相距的海滨城市旅游，原计划以的速度行驶，后因要赶上新春烟花会而提前到达，实际行驶速度为原计划速度的倍，得出实际行驶时间是，原计划时间是，结合“结果比原计划提前了到达，”进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，实际行驶时间是，原计划时间是， ∵结果比原计划提前了到达 ∴ 故选：A 41．（2024·河北秦皇岛·一模）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【详解】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 👉题型11 利用分式方程解决实际问题 42．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包； 任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天， 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：， 设该公司支付的总工资为y元， 由题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，y有最小值， 此时，， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 43．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； (2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得： 解得：， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 44．（2024·江苏扬州·模拟预测）甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设，甲工程队铺设所用的时间与乙工程队铺设所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天各铺设多少？ 【答案】甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设 【分析】本题考查了列分式方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．设甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设，根据题意列方程求解即可． 【详解】解∶ 设甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设， 由题意得：， 解得， 经检验∶ 是原方程的解， ∴， 答：甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设． 45．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用， 对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可； 对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 👉题型12 分式方程的应用与函数的综合运用 46．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高” (1)正比例函数的“单位铅直高”______； (2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值； (4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)当时，有最大值；当时，t没有最大值 【分析】依据题意，仿照例子代入计算即可得解； 依据题意，可以列方程，进而可以得解； 由题意，列出关于t的方程，再由，从而可以得解； 依据题意列出关系式，通过法变化即可得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，；当时，， 正比例函数的“单位铅直高” 故答案为： （2）解：由题意得，， 或 经检验，或是方程的解． 或 （3）解：由题意得， ， 又，， 的最小值为 （4）解：由题意，， ，且对于关于m的一元二次方程有解， 或 当时，有最大值；当时，t没有最大值． 【点睛】本题主要考查了新定义问题的应用，解题时要能读懂题意，学会转化． 47．（2022·江苏无锡·二模）如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中．现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满．大水杯中水的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题： (1)图中字母a的值为 ； (2)若小水杯的底面积为30平方厘米，求大水杯的底面积． 【答案】(1)80 (2)120平方厘米 【分析】（1）根据题意得：从60到a秒是向小杯中注入水的时间，然后根据a秒后注入水的升高速度与整个过程的注入水的平均升高速度相等列出方程求解即可； （2）设大水杯的底面积为s平方厘米，则前80秒大水杯中水的体积为8s立方厘米，可得注水速度为立方厘米/秒．再由函数图象可得20秒可将小水杯注满，可得注水速度为立方厘米/秒．列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：从60到a秒是向小杯中注入水的时间，然后根据a秒后注入水的升高速度与整个过程的注入水的平均升高速度相等，则 ， 解得：a=80， 经检验：a=80是原方程的解，且符合题意， 故答案为：80； （2）解：设大水杯的底面积为s平方厘米，则前80秒大水杯中水的体积为8s立方厘米， 所以注水速度为立方厘米/秒． 观察函数图象得：80-60=20秒可将小水杯注满， ∴注水速度为立方厘米/秒． ∵注水速度相同， ∴． 解得s＝120． 答：大水杯的底面积为120平方厘米． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，分式方程和一元一次方程的应用，理解注水过程，根据注入水在大水杯中的升高速度相同列出方程是解题的关键，也是本题的难点． 48．（2020·河北唐山·三模）石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象． 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果） 【答案】【观察】①90；②105；【发现】①50；②y＝，补全图象见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72 【分析】【观察】①先据题意求出两个机器人速度的关系，再确定第二次迎面相遇的位置，然后设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可求出结果； ②仿照①的解题思路和方法解答即可； 【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，根据题意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即为a的值； ②分0＜x≤50与50＜x＜75两种情况，分别求出正比例函数与一次函数的关系式，进一步即可补全函数图象； 【拓展】分三种情况画出图形，然后根据题意得出相应的分式方程，解方程即可得出y与x的关系，进而可得关于x的不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v＝4v， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，而， ∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90， 故答案为：90； ②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣35＝115个单位长度， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， ∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为， 机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而， ∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105， 故答案为：105； 【发现】①当第二次相遇地点刚好在点B时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，150﹣x＝2x，∴x＝50， 即：a＝50， 故答案为：50； ②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上， ∴线段OP的表达式为y＝3x， 当v＜时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y）， 整理，得y＝﹣3x+300， ∴y与x的函数关系式是y＝， 补全图象如图2所示： 【拓展】①如图， 由题意知，， ∴y＝5x， ∵0＜y≤60， ∴0＜x≤12； ②如图， ∴， ∴y＝﹣5x+300， ∵0≤y≤60， ∴48≤x≤60， ③如图， 由题意得，＝， ∴y＝5x﹣300， ∵0≤y≤60， ∴60≤x≤72， ∵0＜x＜75， ∴48≤x≤72， 综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72， 故答案为：0＜x≤12或48≤x≤72． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、两点间的距离、一元一次方程和一元一次不等式的应用，难度较大，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 👉题型13 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 49．（2024·云南昭通·二模）2024年前两个月消费市场持续恢复向好，消费呈现平稳增长态势，服务零售额增长，其中餐饮收入增长．现有两家餐饮店，餐饮店的人均消费金额比餐饮店多元，在餐饮店总消费金额为元的人数与在餐饮店总消费金额为元的人数相同，分别求两家餐饮店的人均消费金额． 【答案】餐饮店人均消费金额为元，则餐饮店人均消费金额为元 【分析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，设餐饮店人均消费金额为元，则餐饮店人均消费金额为元，由题意得：，据此即可求解． 【详解】解：设餐饮店人均消费金额为元，则餐饮店人均消费金额为元， 由题意得：， 解得： 检验：当是原方程的解 ∴ 故： 餐饮店人均消费金额为元，则餐饮店人均消费金额为元 50．（2024·广东珠海·一模）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？ 【答案】40元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，根据该商场第二次同样用2400元购进的数量比第一次少10件，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元． 51．（23-24八年级下·四川成都·期中）恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍． (1)该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？ (2)该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？ 【答案】(1)该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元 (2)每件“龙年装饰画”的标价至少是60元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找出等量关系，正确列出分式方程；（2）找出不等量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，利用第二次采购数量是第一次采购的4倍，列出关于x的分式方程求解即可； （2）设每件“龙年装饰画”的标价是y元，利用总利润不低于6400元，列出关于y的一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）设该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是x元，则该老板采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：该老板采购第一批“龙年装饰画”时每件的进价是40元，采购第二批“龙年装饰画”时每件的进价是45元； （2）该老板采购第一批“龙年装饰画”的数量是（件）， 该老板采购第二批“龙年装饰画”的数量是（件）． 设每件“龙年装饰画”的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为60． 答：每件“龙年装饰画”的标价至少是60元． 52．（2024·广东佛山·三模）据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等． (1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？ 【答案】(1)A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元 (2)安装购买A型慢充桩最少个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键 （1）等量关系式：B型快充桩的单价A型慢充桩的单价1.1万元，6.4万元购买A型慢充桩的数量用24万元购买B型快充桩的数量，列出分式方程，即可求解； （2）不等关系式：购买A型慢充桩的费用购买B型快充桩的费用充电桩的场地费，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是（）万元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， （万元）， 答：A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元； （2）解：设安装购买A型慢充桩个，由题意得 ， 解得：， 是整数， 取， 故安装购买A型慢充桩最少个． 👉题型14 以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 53．（2020·吉林长春·三模）意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中提出了大量的分式方程问题．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若加上6人，再平分40元，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．请根据题中的叙述，求出第一次分钱的人数． 【答案】2人 【分析】根据题意可列分式方程，求解即可； 【详解】设第一次分钱有人， 根据题意得，解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：第一次分钱有2人． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确列式求解是解题的关键． 54．（2024·山西晋中·三模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 55．（22-23九年级上·云南昆明·期中）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题．“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这批椽有x株，则一株椽的价钱为文，再根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱列出方程即可． 【详解】解：设这批椽有x株， 由题意得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 56．（2024·山西吕梁·三模）请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程． 《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程． 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为． 解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，． 根据图形可知． 所以．（将分式方程转化成了整式方程） 解得．         图1 答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：      (1)   如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选） A．    B．    C．    D． (2)如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________． (3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解． 【答案】(1)C、D (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系列出表达式和分式方程是解题的关键． （1）根据题意表示出、，利用，即可解题； （2）根据列出分式方程即可． （3）根据分式方程构造图形，并根据图形的面积关系求解，即可解题． 【详解】（1）解： ，，矩形和矩形的面积均为60， ，， ， 故选：C、D； （2）解：根据题意可列方程为：， 故答案为：； （3）解：构造如图所示的图形，，，， 矩形的面积为1，矩形的面积为2， 则，． 矩形中，，矩形中，， ． 根据图形可知． 所以．解得． 1．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过作于，设，则，利用列出等式即可． 【详解】解：过作于， ，，， 是等腰直角三角形 设，则 解得（舍去）或 经检验是原分式方程的解， ． 故答案为：． 2．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 3．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分 (2)125 (3)①130；② 【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时和②时均不符合题意，③时，，，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ①时，，， 由①②得， ∴， ∴，故不成立，舍； ②时，，， 由③④得：， ∴， ∴， ∴， ∴，故不成立，舍； ③时，， ， 联立⑤⑥解得： ，且符合题意， 综上所述； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②当时，则，解得，故不成立，舍； 当时，则，解得，符合题意， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 4．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 1．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：A． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 3．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数． 故选：B． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 5．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， ∴且， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键． 6．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 7．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 8．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 9．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答． 【详解】解：解，可得， 的方程的解为非负数， ， 解得， ， ， 即， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键． 10．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 【答案】该市谷时电价元/度 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得， ， 解得：，经检验是原方程的解， 答：该市谷时电价元/度． 12．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 13．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 【答案】千瓦·时 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时. 14．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； (2)需要更新设备费用为万元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； $$第二章 方程与不等式 第06讲 分式方程及应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 分式方程的定义 05-23 👉题型02 解分式方程 👉题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程 👉题型04 与解分式方程有关的新定义问题 👉题型05 与解分式方程有关的跨学科问题 👉题型06 由分式方程的解求参数 👉题型07 由分式方程有解、无解或有增根求参数 👉题型08 由分式方程解的取值范围求参数 👉题型09 分式方程与不等式组综合 👉题型10 列分式方程 👉题型11 利用分式方程解决实际问题 👉题型12 分式方程的应用与函数的综合运用 👉题型13 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 👉题型14 以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 👉题型01 分式方程的定义 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（2021·河南信阳·模拟预测）下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 👉题型02 解分式方程 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）分式方程的解为 ． 4．（2024·青海西宁·三模）解分式方程：． 5．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：． 6．（2024·河北邯郸·模拟预测）根据下表中的数据，写出的值为 ，的值为 ．           结果 代数式 2 3 2 👉题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程 7．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 是原分式方程的解⑥ 8．（2024·山东滨州·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 9．（2024·宁夏银川·二模）以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 解：去分母：…………．第一步． 去括号： …………，第二步 移项，合并同类项得：…………．第三步 系数化为1，得：…………．第四步 检验：当时，， 所以：是原分式方程的解． (1)填空： ①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请你写出此方程的正确求解过程． 10．（2024·山西忻州·三模）（1）． （2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得，……………………………………………………第一步 移项，得，……………………………………………………………第二步 合并同类项，得，………………………………………………………第三步 系数化为1，得．………………………………………………………第四步 检验：当时，． 所以是原方程的根． 任务一：以上解题过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：该方程的正确解是 ． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 👉题型04 与解分式方程有关的新定义问题 11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 12．（2022·河南平顶山·二模）定义运算，如：．则方程的解为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 14．（2023·广东深圳·二模）对于实数，，定义一种新运算“θ”为： ，例如： ，则的解是 ． 15．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 👉题型05 与解分式方程有关的跨学科问题 16．化学小组欲将浓度为的酒精溶液稀释为的酒精溶液．设需要加水，根据题意可列方程为 ． 17．如图，把、两个电阻并联起来，线路上的电流为，电压为，总电阻为，则，其中，，，满足关系式：.当，，时，求的值． 18．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合（），研究混合物的密度（），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为． (1)请用含，式子表示； (2)比较，的大小，并通过运算说明理由： (3)现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？ 19．（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和 ，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 20．马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为．聪明的马超对公式进行变形得到，他马上联想到数学中也有类似变形，例如，，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题： (1)计算：______； (2)解方程：； (3)若分式方程有增根，求m的值． 👉题型06 由分式方程的解求参数 21．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·四川成都·模拟预测）已知是分式方程的解，则实数的值为 ． 23．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 👉题型07 由分式方程有解、无解或有增根求参数 24．（2024·贵州黔东南·一模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 25．（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程有增根，则k 的值为 ． 26．（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是 ． 27．（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 👉题型08 由分式方程解的取值范围求参数 28．（2024·山东日照·三模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 29．（2024·安徽·模拟预测）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 30．（2024·四川成都·二模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 31．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 👉题型09 分式方程与不等式组综合 32．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A． B． C． D． 33．（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 34．（2024·四川成都·二模）现从，，，，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程的解是负数，且关于x的不等式组无解的概率为 ． 35．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）计算：； （2）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数a的值之和． 👉题型10 列分式方程 36．（2024·云南昆明·模拟预测）新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了，设原来小杰自驾去大理的平均速度是，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 38．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（2024·广东深圳·三模）一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 40．（2024·贵州黔南·模拟预测）近年来，国家提倡节能减排，为响应号召，很多家庭都购入新能源汽车，2024年春节，小明一家驾驶新购买的新能源汽车去相距的海滨城市旅游，原计划以的速度行驶，后因要赶上新春烟花会而提前到达，实际行驶速度为原计划速度的1.3倍，结果比原计划提前了到达，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 41．（2024·河北秦皇岛·一模）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（    ） A． B． C． D． 👉题型11 利用分式方程解决实际问题 42．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 43．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 44．（2024·江苏扬州·模拟预测）甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设，甲工程队铺设所用的时间与乙工程队铺设所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天各铺设多少？ 45．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 👉题型12 分式方程的应用与函数的综合运用 46．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高” (1)正比例函数的“单位铅直高”______； (2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值； (4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值． 47．（2022·江苏无锡·二模）如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中．现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满．大水杯中水的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题： (1)图中字母a的值为 ； (2)若小水杯的底面积为30平方厘米，求大水杯的底面积． 48．（2020·河北唐山·三模）石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象． 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果） 👉题型13 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用 49．（2024·云南昭通·二模）2024年前两个月消费市场持续恢复向好，消费呈现平稳增长态势，服务零售额增长，其中餐饮收入增长．现有两家餐饮店，餐饮店的人均消费金额比餐饮店多元，在餐饮店总消费金额为元的人数与在餐饮店总消费金额为元的人数相同，分别求两家餐饮店的人均消费金额． 50．（2024·广东珠海·一模）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？ 51．（23-24八年级下·四川成都·期中）恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍． (1)该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？ (2)该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？ 52．（2024·广东佛山·三模）据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等． (1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？ 👉题型14 以数学文化为背景考查分式方程的实际应用 53．（2020·吉林长春·三模）意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中提出了大量的分式方程问题．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若加上6人，再平分40元，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．请根据题中的叙述，求出第一次分钱的人数． 54．（2024·山西晋中·三模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 55．（22-23九年级上·云南昆明·期中）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题．“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 56．（2024·山西吕梁·三模）请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程． 《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程． 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为． 解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，． 根据图形可知． 所以．（将分式方程转化成了整式方程） 解得．         图1 答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：      (1)   如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选） A．    B．    C．    D． (2)如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________． (3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解． 1．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是 ． 2．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 3．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 4．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 1．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 4．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 5．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 8．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 9．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 10．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 12．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 13．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 14．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ $$