热点02 充要条件与其他内容的综合（6题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点02 充要条件与其他内容的综合 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第6题，考察充分必要条件与数列的结合 2023年，第8题，考察充分必要条件的判断 2024年，第5题，考察充分必要条件与平面向量的结合 该内容仍是北京卷的必考内容，多与其他知识结合(含不等式、函数的概念与性质、基本初等函数、三角函数、数列、平面向量、立体几何等)，以选择题的形式呈现，难度简单或中等. 充分、必要条件的判断方法： （1）命题判断法 ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 根据充分、必要条件求参数： 根据定理、有关性、图像等等将问题转化为最值、恒成立等，得到关于参数的方程或不等式组可解的 题型1充分必要与不等式 1．（2024·北京门头沟·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2充分必要与平面向量 1．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京东城·二模）已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·北京·模拟预测）已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型3充分必要与空间线面关系 1．（2023·北京通州·模拟预测）已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023-24高三上·北京海淀·期末）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·北京昌平·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4充分必要与数列 1．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京西城·二模）已知函数．则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·北京东城·二模）“ ”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·北京丰台·二模）已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5充分必要与直线、圆 1．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·江西新余·二模）已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京·模拟预测）已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·北京大兴·三模）已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6充分必要与三角函数 1．（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京海淀·一模）已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·北京通州·三模）等比数列{}的首项为，公比为q，前n项和为，则“”是“{}是递增数列”的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·北京丰台·三模）设数列的前项的和为，若是首项为正数、公比为的等比数列，则“”是“对任意的，都有”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 1．（2023·北京石景山·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京通州·二模）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京房山·二模）已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·北京西城·三模）已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023·北京延庆·一模）若，则“”是“复数是纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·北京西城·一模）在等比数列中，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2022·北京东城·三模）已知，是两个非零向量，则“存在实数，使得”是“的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2023-24高三下·北京·开学考试）在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 13．（2023·北京·三模）已知等比数列{}的前n项和为，则”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024·北京·三模）在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．（2023·北京门头沟·一模）已知非零向量，，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 充要条件与其他内容的综合 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第6题，考察充分必要条件与数列的结合 2023年，第8题，考察充分必要条件的判断 2024年，第5题，考察充分必要条件与平面向量的结合 该内容仍是北京卷的必考内容，多与其他知识结合(含不等式、函数的概念与性质、基本初等函数、三角函数、数列、平面向量、立体几何等)，以选择题的形式呈现，难度简单或中等. 充分、必要条件的判断方法： （1）命题判断法 ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 根据充分、必要条件求参数： 根据定理、有关性、图像等等将问题转化为最值、恒成立等，得到关于参数的方程或不等式组可解的 题型1充分必要与不等式 1．（2024·北京门头沟·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立， 取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知， 若，同理可得，所以为奇函数， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知在上单调递增， 若，等价于，等价于，等价于， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得：， 解得：， 所以“”能推出“”， 但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型2充分必要与平面向量 1．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2024·北京东城·二模）已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为平面向量，，，是单位向量，且， 不妨设， 若，例如， 满足，但，即充分性不成立； 若，例如， 满足，但，即，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（2024·北京·模拟预测）已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设， 则此时 ， 而向量夹角范围是，当时，严格单调递减， 从而， 综上所述，在题设条件下“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 题型3充分必要与空间线面关系 1．（2023·北京通州·模拟预测）已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当“与异面”，若直线与l不相交，由于，则， 又，则，这与和异面相矛盾，故直线与l相交， 故“与异面”是“直线与l相交”的充分条件； 当“直线与l相交”，若与不异面，则与平行或相交， 若与平行，又，则，这与直线和l相交相矛盾； 若与相交，设，则且，得， 即A为直线的公共点，这与 相矛盾； 综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l相交”的必要条件； 所以“与异面”是“直线与l相交”的充分必要条件. 故选：C. 2．（2023-24高三上·北京海淀·期末）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意知，， 若，当时，有；当时，与可能相交、平行、垂直. 若，由，得. 故“”是“”是必要不充分条件. 故选：B 4．（2024·北京昌平·二模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，当时，，又，所以，即可以推出， 如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 显然有，，但，即推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足， 如图：满足，，但不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A.    题型4充分必要与数列 1．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性： 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 同理可得，， 故充分性得证； 必要性： 因为，所以， 因为，所以， 若，则， 若，则，所以， 综上，， 同理， 所以为锐角三角形， 必要性得证， 综上所述，为充分必要条件. 故选：C. 2．（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为或， 所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件. 故选：C. 3．（2023·北京西城·二模）已知函数．则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当，即 则， 化简为，即，， 当时，，为偶函数， 当时，，为偶函数， 所以，能推出函数是偶函数 反过来，若函数是偶函数，则有， 所以“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C 4．（2023·北京东城·二模）“ ”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，得到，所以， 当时，，当时，， 即或， 当时，恒有，当时，， 所以，若，则为偶函数， 若为偶函数，则，所以，化简得，所以， 故选：C. 5．（2023·北京丰台·二模）已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为为锐角三角形，所以且，所以， 其中， 因为在上单独递增，所以，充分性成立， 若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立. 故选：A 题型5充分必要与直线、圆 1．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（2024·江西新余·二模）已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由C：可得其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若为正三角形，则有，即， 即，解得或， 故“为正三角形”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2023·北京·模拟预测）已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当直线l没有斜率时，,与圆不相切. 当直线l有斜率时，设直线方程为， 由题得或者. 所以或者. 所以“直线l与圆C相切”成立，则“”不一定成立；“”成立，则“直线l与圆C相切”成立. 所以“直线l与圆C相切”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2024·北京大兴·三模）已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 当，直线与圆有公共点时，恒成立，即恒成立， 则且，解得，即或（舍去） 所以“，直线与圆有公共点”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，到的距离为， 故，解得， 满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立， 经过定点， 若，，若，此时直线， 直线与相切，另一条切线斜率不存在， 故满足存在唯一k使得直线l与相切”， 当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切， 故， 又，解得，必要性不成立， 故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件. 故选：A 题型6充分必要与三角函数 1．（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立； 为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立. 所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（2023·北京海淀·一模）已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题设且n ≥ 2，要为递增数列，只需在上恒成立， 当，不论取何值，总存在，不满足要求； 当， ，则，不满足要求； ，总存在，不满足要求； 当， ，则，不满足； ，若，，显然，即，不满足； ，则在上恒成立，满足. 所以为递增数列有且. 综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由等差数列的公差为，得，则， 当时，，而，则，因此，为递增数列； 当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 4．（2023·北京通州·三模）等比数列{}的首项为，公比为q，前n项和为，则“”是“{}是递增数列”的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在等比数列中，取，， 此时，为摆动数列，,故充分性不成立； 若等比数列的公比为，且是递增数列， 则，所以，数列为递增数列时，成立，故必要性成立. 所以，“”是“数列为递增数列”的必要而非充分条件. 故选：B. 5．（2023·北京丰台·三模）设数列的前项的和为，若是首项为正数、公比为的等比数列，则“”是“对任意的，都有”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】依题意，，若，则，， 此时不满足对任意的，都有，所以，则， 若对任意的，都有，则，所以， 则，即， 所以，则，即， 所以，依题意，任意的，， 因为函数在单调递减，值域是， 因此，解得，所以， 故是“对任意的，都有”的充分且必要条件. 故选：C 1．（2023·北京石景山·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，，则，当且仅当时等号成立，故充分性成立； 若，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．（2024·北京通州·二模）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由得：，， ， ，即，充分性成立； 由得：，，即， ， 即，必要性成立； “”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3．（2023·北京房山·二模）已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若在上单调递减， 则，解得. 所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件. 故选：B 4．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，由，则， 故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件； 当，时，有， 则有最小值， 故“”不是“存在最小值”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件. 故选：A. 5．（2023·北京西城·三模）已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“存在且，使得”，不能推出“存在且，使得”， 例如，则，即，满足， 但令，则，故不存在存在且，使得， 故“存在且，使得”是“存在且，使得”的不充分条件； 若“存在且，使得”，则取， 则， 故“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要条件； 综上所述：“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于充分性，已知等差数列的公差为，首项， 当“”时，集合恰有两个元素， 故充分性成立，对于必要性，当时， “集合也恰有两个元素”，故必要性不成立， 故“”是“集合恰有两个元素”的充分而不必要条件. 故选：A 7．（2023·北京延庆·一模）若，则“”是“复数是纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】， 当时，复数，是纯虚数； 复数是纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数是纯虚数”的充分必要条件. 故选：C 8．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于函数 当时，，为常数函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A. 9．（2024·北京西城·一模）在等比数列中，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 当时，即有，又，故且， 当时，有，故不能得到， 即“”不是“”的充分条件； 当时，即有，即且， 则，当时，由，故，故， 当时，，亦可得， 故“”是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 10．（2022·北京东城·三模）已知，是两个非零向量，则“存在实数，使得”是“的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解：当存在实数，使得，，，显然与不一定相等，故充分性不成立； 反之，当时，，所以，即，共线反向，故“存在实数，使得，故必要性成立. 故“存在实数，使得”是“的必要而不充分条件 故选：B 11．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，则， ， 若是奇函数，则，解得， 若是偶函数，则，解得， 所以若是偶函数且是奇函数，则， 所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立； 由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立， 所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 12．（2023-24高三下·北京·开学考试）在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】设公比为，当，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最大值， 当，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最大值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最小值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于0， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值， 此时无最大值，无最小值， 当时，为常数列，此时有最大值，也有最小值， 此时无最大值或无最小值，故充分性不成立， 当时，有最大值，也有最小值， 此时有最大值和最小值， 综上，当既有最大值，又有最小值时，既有最大值，又有最小值， 必要性成立， 故“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的必要不充分条件. 故选：B 13．（2023·北京·三模）已知等比数列{}的前n项和为，则”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若公比，则当时成立； 若公比，则与符号相同 与的符号相同，故 即是的充要条件 故选:C. 14．（2024·北京·三模）在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当成等比数列时，， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，所以，充分性满足； 当时，， 而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足. 则“成等比数列”是的充分不必要条件. 故选：A. 15．（2023·北京门头沟·一模）已知非零向量，，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若与共线，取为方向相反的单位向量，则，， ，不充分； 若，则，整理得到， 若且，设夹角为，则，即，即，即，故与共线，必要性成立. 综上所述：“与共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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