热点04 平面向量（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点04 平面向量 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第10题，考察向量的数量积与三角函数 2023年，第3题，考察向量的模长坐标表示 2024年，第5题，考察向量的垂直运算 向量的数量积是北京高考的必考内容，除了数量积的运算及应用，还应多留意数量积与其他知识的综合考察 用基底表示向量 用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 1．（2023·北京朝阳·二模）在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】,, 故 ， 故，解得. 所以. 故选:A. 2．（2023·北京丰台·二模）如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 故选：D 3．（2023·北京海淀·一模）在中，，的平分线交BC于点D．若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又是的平分线，所以，， ， 又，所以， 所以． 故选：B． 4．（2023·北京西城·一模）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意作出图形,如图,则 ， 故选：A. 5．（2024·北京·三模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值 ． 【答案】 【详解】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以， 因为， 所以， 所以，解得，， 所以． 故答案为： 题型2向量的共线问题 （1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）点共线的充要条件是存在唯一实数，使得 1．（2023·北京·三模）已知向量，与共线，则=（    ） A．6 B．20 C． D．5 【答案】C 【详解】由题意知， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 2．（2023·北京·模拟预测）已知向量，．若，则 ． 【答案】1或 【详解】因为向量，，， 所以有，或， 故答案为：1或 3．（2023·北京海淀·模拟预测）已知为平面向量，若，若，则实数（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A 4．（2024·北京朝阳·二模）已知向量，，且，则实数k= . 【答案】/ 【详解】因为，， 所以， 又，所以，解得. 故答案为：. 5．（2023·北京石景山·一模）向量，，若，则 . 【答案】/0.5 【详解】向量，，若，则，所以 则. 故答案为：. 题型3向量的数量积运算 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2022·北京西城·二模）已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的夹角为，由及单位向量，得， 显然，且，于是，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 3．（2022·北京海淀·三模）在中，，点是的中点，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【详解】在中，点是的中点，所以,, 所以. 故选：A 4．（2023·北京朝阳·一模）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（    ）    A．26 B．13 C．10 D．5 【答案】B 【详解】由于是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B 5．（2023·北京通州·三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则= . 【答案】1 【详解】    . 故答案为: 1. 题型4向量的垂直 两向量垂直，数量积为0 1．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 2．（2024·北京·模拟预测）已知向量，则 . 【答案】1 【详解】由题意， 因为， 所以，解得. 故答案为：1. 3．（2022·北京·模拟预测）已知点，，动点满足，则点M到直线的距离可以是 .（写出一个符合题意的整数值） 【答案】1(答案不唯一) 【详解】由题设知，即在以为直径的圆上，且圆心为，半径为2， 所以的轨迹为， 而到的距离为，即直线与圆相离， 所以M到直线的距离范围， 由，故1满足. 故答案为：1(答案不唯一) 4．（2023·北京顺义·二模）设向量，若，则实数 ． 【答案】 【详解】由向量的坐标运算得：， 因为，所以，即：，解得. 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知，若，则 5．（2023·北京·模拟预测）已知点、．若点在函数的图象上，则使得为直角三角形的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，，如果点在函数的图象上，则设点，且为直角三角形，分以下情况讨论： ①若为直角顶点，则有，，， 则，即， 因为点在曲线上，则，解得； ②若为直角顶点，则有，，， 则，求得或； ③若为直角顶点，则有，，， 此时， ， 因为点在曲线上，则，解得、. 故满足的不同的值共有个， 此时，点共有个． 故选：C． 题型5向量的模 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 1．（2024·北京门头沟·一模）在中，，， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即， 所以，即， 所以. 故选：B 2．（2022·北京东城·三模）已知，是两个非零向量，则“存在实数，使得”是“的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解：当存在实数，使得，，，显然与不一定相等，故充分性不成立； 反之，当时，，所以，即，共线反向，故“存在实数，使得，故必要性成立. 故“存在实数，使得”是“的必要而不充分条件 故选：B 3．（2023·北京丰台·三模）已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（    ）. A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】依题意可设，，， 则，又， 所以，即，则点在以为圆心，半径的圆上运动， 因为，所以点在（）上运动，根据对称性不妨令点在（）上， 则表示圆上的点与（）上的点连线段的长度， 因为圆心到（）的距离， 所以的最小值为，即的最小值为.    故选：A 4．（2024·北京海淀·三模）已知点，，O为坐标原点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设点,, 所以,即, 所以, 因为， 所以. 故答案为： 5．（2024·北京·模拟预测）已知向量，在上的投影向量为，，则 . 【答案】 【详解】向量，， 在上的投影向量为，则，得， ，则， 解得. 故答案为： 题型6向量的夹角 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 1．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故选：B. 2．（2023·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：设，，则，设，，， ， 当，即时等号成立，故， 当最小时，最大， 故与夹角的正弦值的最大值为. 故选：B 3．（2024·北京海淀·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知， 所以， 得，又， 所以. 故选：C. 4．（2024·北京·模拟预测）已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设， 则此时 ， 而向量夹角范围是，当时，严格单调递减， 从而， 综上所述，在题设条件下“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（2023·北京延庆·一模）为坐标原点，点，的坐标分别为，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知点，的坐标分别为，， 则，， 所以， 又，所以， 故选：B. 题型7投影向量 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 1．（2024·黑龙江·二模）已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上的投影向量为，故， 而，故，故， 故即， 故选：A. 2．（2023·北京·模拟预测）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】由，故为中点，又O是的外心， 易知：，且， 由在上的投影向量，即， 所以， 由图，. 故选：A 3．（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，单位圆上三点A，B，C满足：A点坐标为并且，在上的投影向量为，则 ． 【答案】 【详解】根据题意可知如下图所示： 由题可得，且，设与的夹角为， 所以， 又因为，所以， 由二倍角公式可得； 所以. 故答案为： 4．（202323-24高一下·湖北武汉·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与的夹角为， 则在上的投影向量为: . 故选：B. 5．（2022·北京通州·一模）在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是 ，的最大值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得 ， 即向量在向量上的投影向量的长度是 ； 如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系， 设 ，则 , 故 ， 则， 当时，取最大值为 ， 故答案为：； 题型8平面几何与数量积的最值 基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；②将平面向量的运算坐标化； ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等求解 1．（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C 2．（2023·北京丰台·二模）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，， 则， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 由于，故当时，最小，故最小值为， 此时，满足要求， 故选：B 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 3．（2023·北京东城·一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系； 则，，， 设，则，， 则， 即，则，其中，， 则， 则， 故选：D. 4．（2022·北京·模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 的最小值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 5．（2022·北京·三模）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故， 以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 1．（2024·北京·模拟预测）已知单位向量和，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：因为，， 显然，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：D 3．（2024·北京海淀·二模）在中，，点满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，， 故， 故，解得. 故选：B. 4．（2024·北京丰台·一模）已知向量，满足，，且，则(   ) A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】， ， 又， ，， ， ． 故选：D． 5．（2024·北京延庆·一模）已知正方形的边长为，点满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2， 则，，，可得， 点满足，所以． 故选：C. 6．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 7．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中，，，，则（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】C 【详解】    如图，取的中点，则，且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以为正三角形， 过作于， 则， 所以. 故选：C. 8．（2024·北京东城·二模）已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为平面向量，，，是单位向量，且， 不妨设， 若，例如， 满足，但，即充分性不成立； 若，例如， 满足，但，即，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，    由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 10．（2024·北京顺义·二模）若非零向量满足，且，则能使得成立的一组可以是 ， 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】因为，即， 所以，且，即， 又，即， 所以满足，且的向量都满足条件， 故可取. 故答案为：；（答案不唯一）. 11．（2024·北京丰台·二模）如图，在正方形中，，点分别为的中点，点在上，则 ． 【答案】 【详解】设,则. 故答案为：4 12．（2024·北京·模拟预测）已知正方形的边长为2，点满足，则= ． 【答案】6 【详解】在正方形中，，且向量的夹角为， 则有， . 故答案为：6 13．（2023·北京丰台·一模）已知正方形的边长为，则 ． 【答案】 【详解】因为正方形的边长为，所以，，， 所以. 故答案为： 14．（2022·北京·三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则 ； . 【答案】 【详解】 解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系， 所以，， 设，所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 故答案为：；10. 15．（2022·北京丰台·三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 ，若，则的最小值为 . 【答案】 / 【详解】由题意知，如图， 由为等比三角形，得， 所以； 因为，所以点E为AC的中点， 则，又， 所以 ， ， 又，所以， 所以. 故答案为：；. 16．（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 【答案】1 【详解】如图所示：    设， 当时，取得最小值， 过点作于点，即可得的最小值为， 又与的夹角为，即，易知， 所以. 即的最小值为1. 故答案为：1 17．（2022·北京·模拟预测）已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，，则||= . 【答案】 【详解】由题设，则，， 由已知，，可得， 所以，则，即. 故答案为： 18．（2022·北京延庆·模拟预测）已知向量序列：和向量满足：，，．定义（），则最小值为 ． 【答案】 【详解】由（），可得数列是公差为的等差数列，则， 则 （当且仅当时等号成立） 则最小值为 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点04 平面向量 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第10题，考察向量的数量积与三角函数 2023年，第3题，考察向量的模长坐标表示 2024年，第5题，考察向量的垂直运算 向量的数量积是北京高考的必考内容，除了数量积的运算及应用，还应多留意数量积与其他知识的综合考察 用基底表示向量 用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 1．（2023·北京朝阳·二模）在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023·北京丰台·二模）如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京海淀·一模）在中，，的平分线交BC于点D．若，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（2023·北京西城·一模）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·三模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值 ． 题型2向量的共线问题 （1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）点共线的充要条件是存在唯一实数，使得 1．（2023·北京·三模）已知向量，与共线，则=（    ） A．6 B．20 C． D．5 2．（2023·北京·模拟预测）已知向量，．若，则 ． 3．（2023·北京海淀·模拟预测）已知为平面向量，若，若，则实数（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024·北京朝阳·二模）已知向量，，且，则实数k= . 5．（2023·北京石景山·一模）向量，，若，则 . 题型3向量的数量积运算 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2022·北京西城·二模）已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京海淀·三模）在中，，点是的中点，则（    ） A． B．7 C． D． 4．（2023·北京朝阳·一模）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（    ）    A．26 B．13 C．10 D．5 5．（2023·北京通州·三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则= . 题型4向量的垂直 两向量垂直，数量积为0 1．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）已知向量，则 . 3．（2022·北京·模拟预测）已知点，，动点满足，则点M到直线的距离可以是 .（写出一个符合题意的整数值） 4．（2023·北京顺义·二模）设向量，若，则实数 ． 5．（2023·北京·模拟预测）已知点、．若点在函数的图象上，则使得为直角三角形的点的个数为（    ） A． B． C． D． 题型5向量的模 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 1．（2024·北京门头沟·一模）在中，，， 且， 则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京东城·三模）已知，是两个非零向量，则“存在实数，使得”是“的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京丰台·三模）已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（    ）. A．1 B． C．2 D．3 4．（2024·北京海淀·三模）已知点，，O为坐标原点，则的取值范围是 ． 5．（2024·北京·模拟预测）已知向量，在上的投影向量为，，则 . 题型6向量的夹角 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 1．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京海淀·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·模拟预测）已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·北京延庆·一模）为坐标原点，点，的坐标分别为，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型7投影向量 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 1．（2024·黑龙江·二模）已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·模拟预测）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．0 D．2 3．（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，单位圆上三点A，B，C满足：A点坐标为并且，在上的投影向量为，则 ． 4．（202323-24高一下·湖北武汉·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·北京通州·一模）在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是 ，的最大值是 ． 题型8平面几何与数量积的最值 基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；②将平面向量的运算坐标化； ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等求解 1．（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京丰台·二模）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 3．（2023·北京东城·一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2022·北京·三模）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为 . 1．（2024·北京·模拟预测）已知单位向量和，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京海淀·二模）在中，，点满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京丰台·一模）已知向量，满足，，且，则(   ) A． B． C．2 D．4 5．（2024·北京延庆·一模）已知正方形的边长为，点满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中，，，，则（    ） A． B．8 C．12 D． 8．（2024·北京东城·二模）已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 10．（2024·北京顺义·二模）若非零向量满足，且，则能使得成立的一组可以是 ， 11．（2024·北京丰台·二模）如图，在正方形中，，点分别为的中点，点在上，则 ． 12．（2024·北京·模拟预测）已知正方形的边长为2，点满足，则= ． 13．（2023·北京丰台·一模）已知正方形的边长为，则 ． 14．（2022·北京·三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则 ； . 15．（2022·北京丰台·三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 ，若，则的最小值为 . 16．（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 17．（2022·北京·模拟预测）已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，，则||= . 18．（2022·北京延庆·模拟预测）已知向量序列：和向量满足：，，．定义（），则最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$