热点03 函数及其性质（9题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点03 函数及其性质 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第4题，考察函数的概念与指对幂化简 2022年，第11题，考察函数的定义域 2022年，第14题，考察分段函数的最值 2023年，第4题，考察函数单调性的判断 2023年，第11题，考察函数值与指对幂运算 2023年，第15题，考察分段函数与平面解析几何 2024年，第9题，考察函数的单调性与基本不等式 函数的定义域、函数值以及分段函数与基本初等函数及其性质依旧是重点关注方向，主要是选择填空题为主 题型1函数的定义域 （1）求具体函数定义域的几种类型：①若是整式，则函数的定义域是R. ②若是分式，则应考虑使分母不为零；③若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． ④若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （2）抽象函数的定义域的求法： ①已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； ②已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 1．（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 2．（2024·北京西城·二模）函数的定义域是 ． 3．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是 4．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数的定义域是 . 5．（2023·北京延庆·一模）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ． 题型2求函数的最值或值域 （1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域． 1．（2023·北京海淀·一模）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为 . 2．（2023·北京海淀·模拟预测）若函数的定义域是，则的值域是 . 3．（2023·北京通州·一模）下列函数中，是偶函数且值域为的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（2020·北京通州·一模）给出下列四个函数：①；②；③；④，其中值域为的函数的序号是 ． 题型3分段函数问题 已知函数值，求自变量的值时，要分类讨论自变量的取值范围，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解 1．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 2．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 5．（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 题型4函数的单调性 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 1．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京朝阳·二模）已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·北京通州·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5函数的奇偶性 （1）判断奇偶的方法：先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数； （2）利用奇偶性求参数的2种类型: ①定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． ②根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 1．（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 2．（2023·北京丰台·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2023高三·北京海淀·专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 4．（2023·北京·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京昌平·二模）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 题型6单调性，奇偶性的结合 奇偶性与单调性解不等式： ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 1．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京丰台·二模）已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·模拟预测）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023-23高三·河北邯郸·期中）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·模拟预测）设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7函数的周期及类周期 函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 1．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 2．（2023·福建宁德·模拟预测）已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．（202023-24高一下·安徽合肥·开学考试）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设函数的定义域是，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8函数的对称性 （1）对称轴：①函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； ②若是偶函数，则关于直线对称； （2）对称中心：①对任意，都有，则点称为函数的中心； ②若是奇函数，则关于直线对称 1．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京大兴·三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．当时， D．函数的最小正周期为2 3．（2023·北京昌平·二模）对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·北京密云·三模）设函数. ①当时，的单调递增区间为 ； ②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围 . 题型9函数的零点 已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1．（2023·北京西城·一模）设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 3．（2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 5．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 1．（2023·北京平谷·一模）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2023·北京房山·二模）已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·北京东城·二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京延庆·一模）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·北京海淀·模拟预测）已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在t使得成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·北京房山·一模）已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有；②对任意实数，当时，都有.则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 9．（2023-23高三·北京顺义·期末）函数的定义域为 ． 10．（2023·北京·模拟预测）已知函数． ①的函数图像关于 对称； ②若存在唯一，满足，则 ． 11．（2024·北京朝阳·一模）已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 12．（2024·北京丰台·一模）已知函数具有下列性质： ①当时，都有； ②在区间上，单调递增； ③是偶函数． 则 ；函数可能的一个解析式为 ． 13．（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，设． 给出下列四个结论： ①当时，不存在最小值； ②当时，在为增函数； ③当时，存在实数b，使得有三个零点； ④当时，存在实数b，使得有三个零点． 其中正确结论的序号是 ． 14．（2023·北京·模拟预测）已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式 . 15．（2023·北京朝阳·二模）已知函数，().若函数是偶函数，则 ；若函数存在两个零点，则的一个取值是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 函数及其性质 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第4题，考察函数的概念与指对幂化简 2022年，第11题，考察函数的定义域 2022年，第14题，考察分段函数的最值 2023年，第4题，考察函数单调性的判断 2023年，第11题，考察函数值与指对幂运算 2023年，第15题，考察分段函数与平面解析几何 2024年，第9题，考察函数的单调性与基本不等式 函数的定义域、函数值以及分段函数与基本初等函数及其性质依旧是重点关注方向，主要是选择填空题为主 题型1函数的定义域 （1）求具体函数定义域的几种类型：①若是整式，则函数的定义域是R. ②若是分式，则应考虑使分母不为零；③若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． ④若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （2）抽象函数的定义域的求法： ①已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； ②已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 1．（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】根据题意可得,解得 故定义域为. 故答案为： 2．（2024·北京西城·二模）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域是： ，解得：. 故答案为：. 3．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是 【答案】 【详解】由函数的定义域是，得，则， 由，解得， 所以的定义域是. 故答案为： 4．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域是. 故答案为： 5．（2023·北京延庆·一模）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，可知， 解得， 故答案为：. 题型2求函数的最值或值域 （1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域． 1．（2023·北京海淀·一模）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为 . 【答案】1 【详解】如果 ， ，其值域为 ， ，不符合题意； 如果 ，当 时， ， 就是把函数的部分 以x轴为对称轴翻折上去， ∴此时的最小值为0，的最小值为-1，值域为 ， 所以 ，不妨取 ； 故答案为：1. 2．（2023·北京海淀·模拟预测）若函数的定义域是，则的值域是 . 【答案】 【详解】由 当时，，所以，则 所以，即的值域为 故答案为： 3．（2023·北京通州·一模）下列函数中，是偶函数且值域为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，，即值域为，故A错误； 对B，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误； 对C，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故C错误； 对D，的定义域为，，故是偶函数，且，即值域为，故D正确. 故选：D. 4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 5．（2020·北京通州·一模）给出下列四个函数：①；②；③；④，其中值域为的函数的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】①，，故函数的值域为，符合题意； ②，故函数的 值域为，符合题意； ③，，故函数的值域为，不合题意； ④函数为偶函数， 且，，故在上单调递增， 又，故当时，，函数单调递增； 则当时，，函数单调递减， 又，故函数的值域为，符合题意． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有求函数的值域，在解题的过程中，注意结合基本初等函数的值域以及借助导数研究函数的值域，属于中等题目． 题型3分段函数问题 已知函数值，求自变量的值时，要分类讨论自变量的取值范围，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解 1．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 【答案】或 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 2．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以在上单调递增，无最小值， 根据题意，存在最小值， 所以，即. 故选：A. 3．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 4．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 5．（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 题型4函数的单调性 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 1．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 2．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知， 若，同理可得，所以为奇函数， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知在上单调递增， 若，等价于，等价于，等价于， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（2023·北京朝阳·二模）已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，显然在上单调递增，充分性成立； 而在区间上单调递增，此时，必要性不成立； 所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A 4．（2023·北京通州·三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，化简得； 因为在上单调递减，且， 所以，化简得； 因为在上单调递增，且， 所以，化简得； 综上，可知. 故选：A 5．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于函数 当时，，为常数函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A. 题型5函数的奇偶性 （1）判断奇偶的方法：先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数； （2）利用奇偶性求参数的2种类型: ①定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． ②根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 1．（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【详解】当时，，则， 当时，，则， 所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.    故选：B. 2．（2023·北京丰台·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：A 3．（2023高三·北京海淀·专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【答案】B 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 故选：B 4．（2023·北京·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：由函数定义域为，不关于原点对称，不可能为偶函数； B：由，故不为偶函数； C：且定义域为R，故为偶函数； D：且定义域为R，故为奇函数. 故选：C 5．（2023·北京昌平·二模）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】已知函数为奇函数，且当时，， 则. 故选：A. 题型6单调性，奇偶性的结合 奇偶性与单调性解不等式： ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 1．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，即函数的定义域为． 因为， 所以为上的偶函数， 当时，， 因为函数在上单调递减,所以在上单调递减， 又都是在上单调递减， 根据单调性的性质，可知函数在上单调递减， 又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增， 又，所以，可得， 所以，且，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 2．（2023·北京丰台·二模）已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增； 则等价于，即， 即，解得，即原不等式的解集为； 故选：C 3．（2024·北京·模拟预测）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】注意到定义域为全体实数，且， 所以是上的偶函数， 从而， 因为在上单调递增， 所以关于在上单调递减， 而， 所以. 故选：B. 4．（2023-23高三·河北邯郸·期中）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以， 又因为在上为增函数，， 所以，即. 故选：B. 5．（2023·北京·模拟预测）设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设，即， 因为， 所以， 所以， 由， 所以函数为偶函数， 当时，为单调递增函数， 当时，为单调递减函数， 因为在上恒成立， 所以， 根据函数的奇偶性与单调性得，， 又因为， 所以， 即， 即， 又因为函数在上单调递增， 所以当时，， 又因为函数在上单调递减， 所以当时，， 所以， 又时，，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 题型7函数的周期及类周期 函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 1．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 2．（2023·福建宁德·模拟预测）已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：， ， 所以. 故选：D 3．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】由时，函数，可得， 因为函数是定义在上的偶函数，且， 可得. 故选：C. 4．（202023-24高一下·安徽合肥·开学考试）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据函数在上的解析式，以及，求出函数在上的解析式，求出满足题意的临界值即可. ， ∴ 当时，， 时，，， 时，，， 将函数大致图象绘制如下： 时，令， 解得：，， 若对于任意，都有， 所以， 故选：A. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，以及数形结合求解恒成立问题的能力，属综合性中档题. 5．（2023-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设函数的定义域是，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，满足，则， 且当时，， 当时，，则， 当时，，则， 且当时，， 则， 令，解得或，如下图所示： 因为对任意，都有，由图可知，， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 题型8函数的对称性 （1）对称轴：①函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； ②若是偶函数，则关于直线对称； （2）对称中心：①对任意，都有，则点称为函数的中心； ②若是奇函数，则关于直线对称 1．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 2．（2023·北京大兴·三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．当时， D．函数的最小正周期为2 【答案】D 【详解】因为，所以，故， 所以的周期为4， 又，所以，故关于对称， 又时，，故画出的图象如下：    A选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误； B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误； C选项，当时，，则，C错误； D选项，由图象可知的最小正周期为4， 又，故的最小正周期为2，D正确. 故选：D 3．（2023·北京昌平·二模）对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】如图，在同一个坐标系中做出两个函数与的图象， 则函数的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分， 根据图象令，解得， 分析可得其图象关于直线对称， 要使函数的图象关于直线对称，则t的值为， 当时，函数的图象关于直线对称， 所以“”是“函数的图象关于直线对称”的充分必要条件. 故选：C 4．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知的定义域为， 所以可得， 因此 ， 即函数满足，因此的对称中心为. 故选：B 5．（2023·北京密云·三模）设函数. ①当时，的单调递增区间为 ； ②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围 . 【答案】 【详解】①当时，可得，函数的图象，如图所示， 可得函数的单调递增区间为.    ②由，可函数的图象关于对称， 若且，使得成立， 如图所示，则满足，即实数的取值范围为.    故答案为：；. 题型9函数的零点 已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1．（2023·北京西城·一模）设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 2．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 3．（2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数， 其图象如下图，则 因为，， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为关于x的方程恰有3个不同的实数根， 即和共有3个不同的实数根， 由的图象知，只有一个解为， 所以有两个不同的解，且根中不含， 即与有两个不同的交点， 与的图象如下图所示： 所以. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键点是将题意转化为和共有3个不同的实数根，由的图象知，只有一个解为，从而与有两个不同的交点，作出与图象，即可得出答案. 4．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 5．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 【答案】 【详解】画函数的图象如下： ①函数无零点，即 无解， 即与的图象无交点，所以，可取； ②函数有4个零点，即 有4个根， 即与的图象有4个交点， 由关于对称，所以， 关于对称，所以， 所以. 故答案为：；. 1．（2023·北京平谷·一模）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因，则函数为偶函数， 且显然在上先减后增，故A错误； 对于B，因，则函数为偶函数，且， 显然函数在上为增函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，故是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，因的定义域为，关于原点对称， 且，即函数是偶函数，且在上单调递减,即D正确. 故选：D. 2．（2023·北京·模拟预测）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由，所以函数为奇函数， 因为函数为上的增函数，函数为上的减函数， 所以函数为上的增函数， 对于A，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，， 因为，所以函数不是奇函数，A错误； 对于B，设，则， 故函数不是其定义域上的增函数，B错误； 对于C，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数，C错误； 对于D，设，则的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为奇函数， 又函数为上的增函数，D正确； 故选：D. 3．（2023·北京房山·二模）已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若在上单调递减， 则，解得. 所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件. 故选：B 4．（2023·北京东城·二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，当时函数单调递增， 又在上单调递增，在上单调递减， 要使函数为增函数，则且， 又函数与在上有两个交点和， 且的增长趋势比快得多， 与的函数图象如下所示： 所以当时，当时，当时， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 5．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，令，作出图象，如图所示， 令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有， 当时，，由，消得到， 由，得到，即，由图可知， 故选：B. 6．（2024·北京延庆·一模）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为单调递增，且，， 所以存在唯一，使得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以由可得， 故选：A 7．（2023·北京海淀·模拟预测）已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在t使得成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，作出函数与的图象， 易得两函数交点位于两侧，不妨设， 若存在t使得成立，即， 又关于对称， 故， 因为，所以， 即在有解， 则. 故选：B    8．（2023·北京房山·一模）已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有；②对任意实数，当时，都有.则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对任意实数x，都有，故函数为奇函数； 对任意实数，当时，都有，即，即，，故函数单调递减. 对选项A：单调递增，不满足； 对选项B：单调递减，且函数为奇函数，满足； 对选项C：单调递增，不满足； 对选项D：不是奇函数，不满足. 故选：B 9．（2023-23高三·北京顺义·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数 则，解得且 所以函数的定义域为 故答案为: 10．（2023·北京·模拟预测）已知函数． ①的函数图像关于 对称； ②若存在唯一，满足，则 ． 【答案】 轴 【详解】可知函数的定义域为， 又因为，即， 所以函数是偶函数，故的函数图像关于轴对称； 由于函数是偶函数，且存在唯一，满足， 可知. 故答案为：轴； 11．（2024·北京朝阳·一模）已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，故在、上单调递减， 在上单调递增，且有，，，，，； 由，则， 由时，，则关于对称，故， 则. 故答案为：；. 12．（2024·北京丰台·一模）已知函数具有下列性质： ①当时，都有； ②在区间上，单调递增； ③是偶函数． 则 ；函数可能的一个解析式为 ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】因为当时，都有， 令可得，解得， 不妨令，， 则，所以在上单调递增，满足②； 又，所以为偶函数，满足③； 当时， ，， 所以，满足①. 故答案为：；（答案不唯一） 13．（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，设． 给出下列四个结论： ①当时，不存在最小值； ②当时，在为增函数； ③当时，存在实数b，使得有三个零点； ④当时，存在实数b，使得有三个零点． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【详解】对于①：当时，， 易知函数在上的最小值为0， 函数，在内单调递增，即， 所以时，函数的最小值为0，故①错误； 对于②：当时，函数，在内单调递减，在内单调递增， 函数的对称轴为，所以在内单调递增， 又，即，解得， 综上可知，当时，在为增函数，故②正确； 对于③：当时， 函数，则，即，存在一个零点； 函数，在内单调递增，与存在一个交点， 又，即，解得或， 于是时，，如下图所示： 综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误； ④当时， 函数，在内单调递减，在内单调递增， 则与存在两个个交点， 由③知，与存在一个交点，， 又，即，解得或， 于是时，如下图所示： 综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点. 故答案为：②④. 14．（2023·北京·模拟预测）已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，使得可得， 由与图象关于原点对称可得与图像关于原点对称，如图： 取时，在第三象限显然有一交点，故取符合， 故答案为： 【点睛】本题考查函数与零点的综合应用，能有效利用对称性作图是解题关键，对于函数的对称性问题，有以下结论： ①与关于轴对称； ②与关于轴对称； ③与关于原点对称. 15．（2023·北京朝阳·二模）已知函数，().若函数是偶函数，则 ；若函数存在两个零点，则的一个取值是 . 【答案】 答案不唯一. 【详解】由已知得，因是偶函数，则有， 所以，解得a=0； 函数存在两个零点，即方程有两个根， 而，函数单调递减，且 方程与各有一个根，从而a<2且a<-2，所以a<-2，取a=-3，答案不唯一. 故答案为：0；答案不唯一. 【点睛】函数零点个数问题解决方法：转化为函数值为0的方程根的个数；转化为易于作图的两个函数图象的交点个数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$