2024-2025学年人教版 数学八年级上册期末解答题专项练习

2024-2025学年人教版初中数学 八年级上学期期末解答题专项练习 附答案及解析 1．某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务． (1)问原计划每天绿化道路多少米？ (2)已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？ 2．如图①，在平面直角坐标系中，，，连接，，且，连接． (1)求点的坐标； (2)如图②，若点从点出发沿轴向左移动，连接，作等腰直角，连接．当点在线段上时，求证：； (3)在（2）的条件下，若三点共线，求此时的度数及点的坐标． 3．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中． (1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（用含、的式子表示，并化简） (2)用含、的式子表示该种植基地这两块实验田一共种植了多少株踠豆幼苗，并化简；当，时，一共种植了多少株？ 4．如图，在中，平分，点E是上一点，，且．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 5．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 6．望城区某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，规划将一长为米、宽为米的矩形场地打造成居民健身场所．具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为米的矩形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用于作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么当，时，建设该居民健身场所所需地面费用为多少？ 7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E． (1)求证：EC⊥BC； (2)若∠BAC=120°，试判定△ACE的形状，并说明理由． 8．某工程队修建一条米的道路，由于施工过程中采用了新技术，所以工作效率提高了，结果提前3天完成任务． (1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？ (2)这项工程，如果要求工程队提前6天完成任务，那么这个工程队实际每天修建道路多少米？ 9．如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若平分，，求的周长． 10．如图，在中，，，于点D，于点E，，求的长． 11．某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．    (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． 12．某工厂原计划生产台小型空气净化器，甲车间独立生产一半后，由于雾霾天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了台．为了按时完成生产任务，乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．若乙车间每天生产的空气净化器的数量比甲车间多台，则正好可以按时完成生产任务．求甲车间每天生产多少台空气净化器． 13．如图，在中，点，点分别是边上的点，且，连接交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 14．已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接，    (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 15．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，，以AB为边在第一象限作等边，MN垂直平分OA，． (1)求AB的长． (2)求证：． (3)如图2，连接MC交AB于点P，CP与MP相等吗？请说明理由． 16．为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用400元购进一批一次性医用外科口罩．由于质量较好，公司又用600元购进同一型号的口罩，已知第二批购进口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元，问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？（列分式方程解） 17．如图，在Rt△ABC中，，，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且． (1)求证：； (2)过点B作，且，求∠FBA度数． 18．如图①，在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．    (1)请你用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积，并写出等式； (2)如图③，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），以线段OA为边向下侧作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（），连接BC，以线段BC为边向下侧作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E． (1)△OBC与△ABD全等吗？请说明理由； (2)当以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，求点C的坐标． 20．某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，钢笔数量比毛笔多30支，钢笔、毛笔的单价分别为多少元？ 21．王老师计划用36元购买若干袋洗衣液，恰遇超市降价促销，每袋洗衣液降价3元，因而王老师只用24元便可以购买到相同袋数的洗衣液．问这种洗衣液每袋原价是多少元？ 22．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°． ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论． 23．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，，，则与的数量关系为____________． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数；②证明： 24．俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．已知用1000 元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元． （1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？ （2）学枝准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？ 25． (1)如图1，在中，，D是边的中点，E、F分别是、边上的点．若B、E、F在一条直线上，且，探究与的数量之间有何等量关系，并证明你的结论． (2)为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练．如图2所示，体育老师在地面画了一块场地，已知米，米，D为的中点，测得的长为15米，受训练的两名同学E和F分别在和边上移动，老师站在C点位置给同学传球，先把球传给E同学，E同学再传给F同学，请求出所传球的运动路径最小值（即的最小值）． 26．如图，和都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接，相交于点P． (1)求证：； (2)求的度数． 27．一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚． 某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份．近日，学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%．求苹果每千克的价格． 28．如图，和中，，与交于点 (不与点重合)，点在异侧，的平分线相交于点． (1)当时，求的长； (2)求证：； (3)当时，的取值范围为，求的值． 29．已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 30．【问题情境】如图，在中，，，与直线垂直，垂足为D，的平分线交于点E，点H在线段上，的延长线与的延长线相交于点F． 【探索求证】（1）求证：； 【深入探究】（2）若，请判断与有怎样的数量关系，并说明理由．    试卷第1页，共3页 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 附答案及解析 1．(1)100米 (2)（元） 【分析】（1）设原计划每天绿化道路x米，根据题意列分式方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设原计划每天绿化道路x米， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化道路100米． （2）解：（天），（天）， （元）． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 2．(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作轴于点，则，证明得出，，从而得出，即可得解； （2）证明即可得出； （3）由等腰直角三角形的性质可得，结合全等三角形的性质从而得出，求出，得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则， ，   ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：， ∴，即， 在和中， ， ， ； （3）解：是等腰直角三角形， ， 当三点共线时，， 由（2）可知，， ， ， ， ∴点的坐标为． 3．(1)，化简为： (2)，化简为：，株 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的知识分别求出长方形、正方形试验田的豌豆苗数量，则利用多项式的减法即可作答； （2）结合（1）中的结果，将长方形、正方形试验田的豌豆苗数量相加，化简，再代入求值即可作答． 【详解】（1）长方形试验田的豌豆苗数量为：（株）， 正方形试验田的豌豆苗数量为：（株）， 则长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗： （株）； 即答案为：，化简为：； （2）根据（1）的结果，可知两块试验田一种种植数量为： ， 当，时， （株）， 即答案为：，化简为：，株． 【点睛】本题主要考查了根据题意列代数式、多项式乘以多项式、整式的加减等知识，题中涉及了平方差公式以及完全平方公式，明确题意是，正确列式是解答本题的关键． 4．(1). (2)证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论. 【详解】（1）解：，平分， 是的一个外角， . （2）证明：如图，过点E作于点F，   平分，， ， 在和中， . ， ，， ， . 5．(1)见解析 (2)①证明见解析；②为最小值时，与的数量关系是 【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． （1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 6．(1)安装健身器材的区域面积为平方米 (2)建设该居民健身场所所需地面费用为元 【分析】（1）根据居民健身所的面积-篮球场的面积=健身器材的区域面积即可求得； （2）根据求出铺设水泥地面所需费用和铺设塑胶地面所需费用，二者的和即为该居民健身场所所需地面费用． 【详解】 平方米， 答：安装健身器材的区域面积为平方米； 根据题意，得需要总费用为 ， 当，时，总费用为元， 答：建设该居民健身场所所需地面费用为元． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，其中列代数式是解题的关键． 7．(1)见详解 (2)见详解 【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质得到AD⊥BC，然后根据CE∥AD即可得到结论； (2)根据∠BAC=120°，得到∠BAD=60°, ∠EAC =60°，由CE∥AD得到∠EAC =∠E=∠ECA=60°，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， 又∵CE∥AD， ∴EC⊥BC； （2）解：△ACE是等边三角形，理由如下： ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠BAC =60°, ∠EAC =60°, 又∵CE∥AD， ∴∠E=60°, ∴∠EAC =∠E=∠ECA=60°, ∴△ACE是等边三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8．(1)米 (2)米 【分析】（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设这个工程队实际每天修建道路y米，且这个工程队原计划每天修建道路米，根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米， 根据题意，有：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：这个工程队原计划每天修建道路米； （2）设这个工程队实际每天修建道路y米，且这个工程队原计划每天修建道路米， 根据题意，有：， 解得：， 答：这个工程队实际每天修建道路米． 【点睛】本题考查分式方程的应用．理解题意并找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明； （2）如图，过D作于M，结合已知易证即，同理可得，易证得，同理可得，然后转换求周长即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ∴A在的垂直平分线上， 又， ∴D在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； （2）如图，过D作于M， ， 又是等边三角形， 同理可得 平分， 平分， 在与中 同理可得 . 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换． 10． 【分析】先求出．再求出，问题随之得解． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 11．(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法及整式的减法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）先列出篮球长的面积代数式，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ． 答：安装健身器材的区域面积为． （2）（2）当，时，（）． 答：安装健身器材的区域面积为． 12．甲车间每天生产台空气净化器 【分析】根据甲、乙车间合作的时间是计划时间的一半列分式方程求解； 【详解】设甲车间每天生产x台，则乙车间每天生产（x＋100）台，由题意，得 解得： 经检验，是所列方程的根 答：甲车间每天生产台空气净化器 【点睛】本题考查了分式方程的应用；根据题意列出对应的分式方程是解题关键． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据条件直接利用判定，得到，推出，结合可推出，即可判定为等腰三角形； （2）先由和求出的度数，然后根据得到，再由可推出为等边三角形，利用，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴为等腰三角形． （2）解：∵， ∴ ∵ ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． 14．(1)见解析 (2)不成立，，理由见解析 (3)； 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）如图1中，证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）如图2，由（1）同理证明，再利用全等三角形的性质可得答案； （3）先补全图形如下：由（1）同理可得，，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，    ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，由（1）同理可得，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，结论：．理由如下： 补全图形如下：    由（1）同理可得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．(1)2 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半直接求出AB； （2）因为根据条件可得∠OAC =∠MAB =90°，再证，由是等边三角形，得出，从而证明，即可解答； （3）作于，根据条件可得：，所以，由(2)AM=AO可得，可求得，从而求解． 【详解】（1）解∶ ． 在中， ． ∴． （2）证明∶如图1， ， 垂直平分 ， ． 是等边三角形， ． ． ． （3）解∶理由如下∶ 如图2，作于． 由已知，． 又 ． ． 由(2) 可得AM=AO，则． 又， ． ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握并运用等边三角形的性质． 16．第一批口罩每包的价格是20元，公司前后两批一共购进60包口罩 【分析】设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x-5）元，由题意：某公司用400元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用600元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x-5）元， 根据题意得： ， 解得：x=20， 经检验，x=20是分式方程的解， （包），（包）， ， 答：第一批口罩每包的价格是20元，公司前后两批一共购进60包口罩． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)65° 【分析】（1）证明即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得，根据全等的性质可得，由，，即可求解． 【详解】（1）证明：，D为AB延长线上一点， 在Rt△ABE和Rt△CBD中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴ ， 由（1）知， ∴ ， ， ∴． ∵， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 18．(1)，； (2)8 【分析】（1）根据题意可得阴影部分是边长为（a－b）的正方形，因此面积为；也可以是用边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积得．即可求解； （2）设，，则，根据完全平方公式，即可求解． 【详解】（1）解：方法1：阴影部分是边长为（a－b）的正方形，因此面积为， 方法2：用边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积得． ∴； （2）解：设，，则， ∵， ∴，即， ∴阴影部分的面积为， 答：阴影部分的面积为8． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． 19．(1)全等，见解析 (2)（3，0） 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，，，则，然后可根据“”可判定； （2）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得，进而得出以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，最后根据中，，，求得，据此得到，即可得出点的位置． 【详解】（1）解：． 证明：，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ， ，， 以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰， 在中，，， ， ， ， 当点的坐标为时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解题的关键是利用等腰三角形的性质求出点的坐标． 20．钢笔、毛笔的单价分别为10元、15元 【分析】首先设钢笔单价x元/支，则毛笔单价1.5x元/支，根据题意可得：1500元购买的钢笔数量﹣1800元购买的毛笔数量＝30支，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设钢笔单价x元/支， 由题意得： ， 解得：x＝10， 经检验：x＝10是原分式方程的解， 3.5x＝1.7×10＝15． 答：钢笔、毛笔的单价分别为10元、15元 【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题，能找到等量关系正确列出方程并正确解出方程是做出本题的关键． 21．这种洗衣液每袋原价是9元． 【分析】设这种洗衣液每袋原价是x元，则现价为（x-3）元，根据数量=总价÷单价结合降价后24元钱购买的洗衣液袋数等于降价前36元购买的洗衣液袋数，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设这种洗衣液每袋原价是元，则现价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：这种洗衣液每袋原价是9元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22．（1）①见解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由见解析． 【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE； ②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数； （2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论． 【详解】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°， ∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°， ∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵△ACB，△DCE都是等腰三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． ②解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°， ∴∠BEC＝130°， ∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°． （2）结论：AE＝2CF+BE． 理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF， ∵AD＝BE， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CF． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证明是本题的解题关键． 23．（1）；（2）①，②见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE； （2）①首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可，②根据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可． 【详解】解：（1）， ∵∠BAC＝∠DAE＝50°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE； （2）①解：∵， ∴ 在和△中， ∴△≌△， ∴，CD=CE， ∵ ，        ∴， ∴， ∴， ∴， ②证明．∵由（2）可知， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，解题的关键是在判定三角形全等时，注意选择恰当的判定条件． 24．（1）甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个；（2）这所学校最多购买12个乙种品牌的足球． 【分析】​（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，根据数量=总价÷单价结合用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25-m）个甲种品牌的足球，根据总价=单价×数量结合总费用不超过1610元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个， 根据题意得：， 解得：x=50， 经检验，x=50是所列分式方程的解，且符合题意，∴x+30=80． 答：甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个． （2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25–m）个甲种品牌的足球， 根据题意得：80m+50（25–m）≤1610，解得：m≤12． 答：这所学校最多购买12个乙种品牌的足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25．(1)，证明见解析； (2)米． 【分析】（1）根据等角对等边，可知是等腰三角形，易证，证明≌，进而结论得证； （2）根据垂线段最短可知当B，E，F三点共线，且垂直时，有最小值为，根据等体积法求解即可． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵， ∴，． ∵，D是边的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中 ∵ ∴≌， ∴， ∴． （2）解：解：如图，连接 ∵，， ∴， ∴， ∴当B，E，F三点共线，且垂直时，有最小值为． 由等面积法可得， 解得米， ∴所传球的运动路径最小值为米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的判定与性质，等体积法，垂线段最短．解题的关键在于对知识的灵活运用． 26．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，证明，进而结论得证； （2）由可知，进而可得． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中 ∵ ∴， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键在于证明三角形全等． 27．14元 【分析】设苹果每千克的价格为元，则砂糖橘每千克的价格为元．根据“学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设苹果每千克的价格为元，则砂糖橘每千克的价格为元． 根据题意，得 解得 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 苹果每千克的价格为14元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 28．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）由三角形内角和定理求出，根据角平分线的概念得到，根据三角形内角和定理得到，根据不等式的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∵为的角平分线的交点， ∴分别平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线的概念，三角形的内角和定理，解题关键是掌握以上知识． 29．(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证，根据等角对等边可得，即可证明是等腰三角形； （2）先根据，平分，可证，进而得出；作于点G，根据等腰三角形三线合一可得，再证，根据含30度角的直角三角形的性质可得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ，， 平分， ， ， ， 如图，作于点G， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识点． 30．（1）证明见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由得出，由平分可得， 由等腰三角形的性质可得，最后证得结果； （2）证，再根据全等三角形的性质可得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵， ∴． 由（1），得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． $$