专题03二次函数（10个考点清单+16种题型解读）（期中复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题03 二次函数 （10个考点清单+16种题型解读） 【清单01】二次函数的定义 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．其中，ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 特殊形式： 当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2； 当a≠0，b＝0时，y＝ax2+c； 当a≠0，c＝0时，y＝ax2+bx. 【清单02】y=ax2的图象和性质 . . 【清单03】y=ax2+k的图象和性质 【清单04】y=a（x-h）2的图象和性质 【清单05】y=a（x-h）2+k的图象和性质 【清单06】y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【清单07】二次函数图象的平移 【清单08】二次函数表达式的三种表达式 一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 【清单09】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系 【清单10】二次函数与一元二次方程的关系 【考点题型一】函数的判断和自变量取值范围 【例1】函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A．x＞ B．x≠ C．x≠且x≠0 D．x＜ 【变式1-1】函数有意义，则自变量的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【考点题型二】利用二次函数定义判断参数的值 【例2】如果函数是二次函数，则m的取值范围是 【变式2-1】已知函数是二次函数，则m的取值范围为 ． 【变式2-2】已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【考点题型三】二次函数的定义 【例3】下列函数关系中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列函数关系式中： （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型四】求抛物线的顶点、对称轴、最值 【例4】关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向下 B．有最小值，最小值为 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴交于正半轴 【变式4-1】抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上 【变式4-2】对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．有最大值，最大值是 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 【变式4-3】新定义：与被称为“同族二次函数”，若和是同族二次函数，则二次函数的开口方向和最值为（    ） A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018 C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019 【考点题型五】二次函数的增减性 【例5】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知二次函数的图象上有三点，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【考点题型六】二次函数的平移 【例6】把二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【考点题型七】二次函数表达式的确定 【例7】已知二次函数的图象经过点，且与轴的交点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)直接写出这个二次函数的图象的对称轴和顶点坐标． (3)当的取值范围为多少时，随的增大而减小？ 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点．且有．顶点为D点． (1)求A、B点坐标． (2)求这个抛物线解析式． (3)将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解析式． 【变式7-2】已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 【考点题型八】二次函数的图象与系数a，b，c的关系 【例8】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式8-2】二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：其中正确的是 ． x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④当时，y随x的增大而减小． 【考点题型九】二次函数与其他函数的图象关系 【例9】二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   【变式9-2】二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】二次函数与一元二次方程的关系 【例10】如下表是二次函数的几组对应值： 6.17 6.18 6.19 6.20 0.01 0.02 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知抛物线与轴有唯一的一个交点，则的值为（   ） A． B．4 C．2或 D．或4 【变式10-2】函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【考点题型十一】二次函数的实际应用（1）-几何图形问题 【例11】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为， (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？ 【变式11-1】某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米，已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米，长方形电动车棚的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围． (2)当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【变式11-2】在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？ 【考点题型十二】二次函数的实际应用（2）-销售问题 【例12】某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为60元/件．经市场调研发现，这款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系： 售价x/（元/件） … 70 90 … 销售量y/件 … 3000 1000 … (1)求销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式． (2)求每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式． (3)如何定价才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元？ 【变式12-1】一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 1000 950 900 (1)求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，若某一周商品的销售不少于600件，求这一周市商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ 【变式12-2】某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ (3)超市销售这种苹果每天要获利150元并要使顾客实惠，那么每千克这种苹果的售价应定为多少元？ 【考点题型十三】二次函数的实际应用（3）-拱桥问题 【例13】如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【变式13-1】上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米． (1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式； (2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：） 【考点题型十四】二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题 【例14】如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若排球运动员本次练习发球过程中球会超过球网但不会出界（可以压线），则的取值范围是 ． 【变式14-1】如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米． 【变式14-2】弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为的点处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面时，弹球与甲的水平距离为．弹球在处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点处． (1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．（不要求写出的取值范围） (2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点的距离． (3)如果摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点，那么甲能投球成功吗？ 【考点题型十五】二次函数的实际应用（4）-增长率问题 【例15】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十六】二次函数的综合应用 【例16】如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【变式16-1】如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，连接，点在线段上，设点的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 【变式16-3】如图，二次函数向左平移一个单位得到的图象，交轴于点，，交轴于点，顶点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，当的长度最小时，求出点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对称点为，如果点刚好落在抛物线上，求出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数 （10个考点清单+16种题型解读） 【清单01】二次函数的定义 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．其中，ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 特殊形式： 当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2； 当a≠0，b＝0时，y＝ax2+c； 当a≠0，c＝0时，y＝ax2+bx. 【清单02】y=ax2的图象和性质 . . 【清单03】y=ax2+k的图象和性质 【清单04】y=a（x-h）2的图象和性质 【清单05】y=a（x-h）2+k的图象和性质 【清单06】y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【清单07】二次函数图象的平移 【清单08】二次函数表达式的三种表达式 一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 【清单09】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系 【清单10】二次函数与一元二次方程的关系 【考点题型一】函数的判断和自变量取值范围 【例1】函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A．x＞ B．x≠ C．x≠且x≠0 D．x＜ 【答案】B 【详解】分式有意义的条件是分母不等于0，故分母2x﹣3≠0，解得x的范围． 解：根据题意得：2x﹣3≠0， 解得：x≠． 故选B． 【变式1-1】函数有意义，则自变量的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题解析：根据分式有意义的条件知：x-20 解得：x2 故选B. 【考点题型二】利用二次函数定义判断参数的值 【例2】如果函数是二次函数，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， ， 故答案为： 【变式2-1】已知函数是二次函数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意形如“”的形式叫做是的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故答案为：． 【变式2-2】已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 【考点题型三】二次函数的定义 【例3】下列函数关系中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如的函数称为是二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； B、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； C、，是的二次函数，故本选项符合题意； D、，不是的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：不是二次函数，故选项A不符合题意； ，不是二次函数，故选项B不符合题意； 是二次函数，故选项C符合题意； 是一次函数，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、当时，不是二次函数，不符合题意； C、当时，不是二次函数，不符合题意； D、对于任意的m，一定是二次函数，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】下列函数关系式中： （1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数； （2）不是二次函数； （3）是二次函数； （4）不是二次函数； （5）不是二次函数； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数； 故选：B． 【考点题型四】求抛物线的顶点、对称轴、最值 【例4】关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向下 B．有最小值，最小值为 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴交于正半轴 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可逐一判断，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、， ∴函数图象开口向上，故选项不符合题意； B、函数的对称轴为：， ∵函数图象开口向上， ∴当时，函数最小值为：，故选项不符合题意； C、函数图象开口向上，函数的对称轴为：， ∴当时，随的增大而增大，故选项符合题意； D、当时，， ∴函数图象与轴交于负半轴，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点为，有最低点， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，有最高点， ∴抛物线与抛物线的相同点是顶点都在x轴上． 故选：D． 【变式4-2】对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．有最大值，最大值是 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可判断答案． 【详解】， 抛物线开口向上， A选项不正确； 二次函数的图象的顶点坐标是， 抛物线有最小值，且最小值是， B选项和C选项都不正确； ， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大， D选项正确． 故选：D． 【变式4-3】新定义：与被称为“同族二次函数”，若和是同族二次函数，则二次函数的开口方向和最值为（    ） A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018 C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据“同族二次函数”的定义可求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是同族二次函数， ∴， 解得：， ∴二次函数， ∴二次函数的开口方向向上，有最小值2019． 故选：C 【考点题型五】二次函数的增减性 【例5】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 【变式5-1】已知二次函数的图象上有三点，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为，图象开口向下，利用二次函数的图象与性质得出答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴上， 的值最大， ， ， 故， 故选：D 【变式5-2】沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 【考点题型六】二次函数的平移 【例6】把二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的法则“上加下减、左加右减”即可解答． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为， 故选：D． 【变式6-1】如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．曲线段扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线段扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则， 故选：D． 【考点题型七】二次函数表达式的确定 【例7】已知二次函数的图象经过点，且与轴的交点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)直接写出这个二次函数的图象的对称轴和顶点坐标． (3)当的取值范围为多少时，随的增大而减小？ 【答案】(1)； (2)对称轴为直线，顶点坐标为； (3)时，y随x增大而减小 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，函数的增减性． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此即可求解． 【详解】（1）解：设这个二次函数解析式为：， 依题意得， 解得：， ∴二次函数解析式为：； （2）解：对于， ∴对称轴为直线， 顶点坐标为； （3）解：∵抛物线，对称轴为直线， 又∵，抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小， ∴时，y随x增大而减小． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点．且有．顶点为D点． (1)求A、B点坐标． (2)求这个抛物线解析式． (3)将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，二次函数的平移． （1）根据二次函数的解析式得抛物线对称轴为直线，设点A坐标为，根据得点B坐标为，即可得，解得，即可得点A坐标为，点B坐标为； （2）将代入解得，即可得到抛物线解析式； （3）由上题知：抛物线顶点D坐标为，则将点向左平移3个单位，再向下平移个单位后得到点D，即可得平移后解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点A坐标为， ∵， ∴点B坐标为， ∴， ， 解得， ∴点A坐标为，点B坐标为； （2）解：将代入， 得， ， 解得， ∴； （3）解：抛物线的顶点D坐标为， ∵将向左平移3个单位，再向下平移个单位后得到点， ∴平移后的抛物线解析式为． 【变式7-2】已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式： （1）设满足题意的抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求的解析式结合二次函数的性质即可得到答案； （3）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：设满足题意的抛物线解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴满足题意的抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 【考点题型八】二次函数的图象与系数a，b，c的关系 【例8】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①抛物线开口向下，则， 抛物线对称轴， ， ， 抛物线与轴交于正半轴，则， ， 故①错误； ②， ，即， 故②正确； ③抛物线对称轴为直线， 函数的最大值为：， 当时，， 即， 故③正确； ④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当时，， ， 故④错误； ⑤， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③⑤．故选：C． 【变式8-1】已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由二次函数(a、b、c为常数，)的图象开口向下可知，对称轴在y轴的右侧可知，由抛物线交y轴的正坐标可知，据此判断即可． 【详解】解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可知，，， 故选项A符合题意， 故选：A． 【变式8-2】二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：其中正确的是 ． x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④当时，y随x的增大而减小． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数性质，根据表格中的数据先求出抛物线的解析式为，根据抛物线的解析式逐项进行判断即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为：， ∵， ∴抛物线的开口向上，故①正确； 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 根据表格可知，抛物线与y轴的交点坐标为，故③错误； 当时，y随x的增大而减小，故④正确； 综上分析可知：正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【考点题型九】二次函数与其他函数的图象关系 【例9】二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 【变式9-1】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 本题可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过二、三、四象限，，故此选项错误； B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴，由直线可知，图象过一、二、三象限，，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，,故此选项错误； D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，即，故此选项正确； 故选：D． 【变式9-2】二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 【考点题型十】二次函数与一元二次方程的关系 【例10】如下表是二次函数的几组对应值： 6.17 6.18 6.19 6.20 0.01 0.02 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似根，根据抛物线与轴的交点的相邻两侧的函数值的符号相反，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，时，，当时，， ∴在之间必然存在一个的值使， ∴方程的一个解的范围是； 故选C． 【变式10-1】已知抛物线与轴有唯一的一个交点，则的值为（   ） A． B．4 C．2或 D．或4 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线与x轴有唯一的一个交点，对于一元二次方程来说，，从而可以求得k的值． 【详解】解：∵抛物线与x轴有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：D． 【变式10-2】函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图像与方程，能够熟练转化方程与图像的交点问题是解题关键．将转化为即方程的解为函数的图象与直线的交点的横坐标，通过图象解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴方程的解为函数的图象与直线的交点的横坐标， 由图可知函数的图象与直线的交点只有一个， ∴关于的方程有两个相等的实数根， 故选：C． 【考点题型十一】二次函数的实际应用（1）-几何图形问题 【例11】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为， (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1) (2)当时，满足条件的绿化带面积最大，最大值为200平方米 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． （1）由矩形的性质结合的长度可得出的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y与x之间的函数关系式以及的取值范围． （2）把（1）的函数关系式用配方法化简求得的最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 因为墙长25米，故自变量的取值范围是； （2）解：， ， ∴当时，有最大值200平方米， 即当时，满足条件的绿化带面积最大，最大值为200平方米． 【变式11-1】某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米，已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米，长方形电动车棚的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围． (2)当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)； (2)小路的宽为1米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第2问的关键． （1）用木板总长度加2米减去与院墙垂直的两边长，再利用长方形的面积公式列式即可求解； （2）先求出院墙平行的边长，再根据空白面积为54平方米列出方程，求解后进行选择即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即车棚与墙平行的一面长米； ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴的取值范围为； （2）解：当时，， 设小路的宽为x米，根据题意得： ， 整理得， 解得：，（舍去）， 答：小路的宽为1米． 【变式11-2】在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)见详解 (2)当时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证． （2）由，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出与的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，即，当时，有最小值，最小值为． 【考点题型十二】二次函数的实际应用（2）-销售问题 【例12】某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为60元/件．经市场调研发现，这款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系： 售价x/（元/件） … 70 90 … 销售量y/件 … 3000 1000 … (1)求销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式． (2)求每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式． (3)如何定价才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元？ 【答案】(1) (2) (3)80 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答． （1）根据题目中每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系和表格中的数据，可以求得销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的关系式，可以求得w与x的函数关系式； （3）令代入（2）中的函数关系式，即可求得x的值，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为， 由题意得，解得， 即销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是：； （2）解：由题意可得， ， 即每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式是：； （3）解：当时， ， 解得，， 答：当定价为80元时，才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元． 【变式12-1】一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 1000 950 900 (1)求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，若某一周商品的销售不少于600件，求这一周市商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ 【答案】(1) (2)售价12元，最大利润4800元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式． （1）用待定系数法即可求解； （2）把函数解析式化为顶点式，根据函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：设y和x的函数表达式为，则 ， 解得， 故y和x的函数表达式为 （2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，则 ∵，x为正整数， ∵销售不少于600件， ∴， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于15元/件， ∴自变量取值范围为， ∴， ∴当时，w有最大值，最大值为4800， 答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为4800元，销售单价为12元． 【变式12-2】某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ (3)超市销售这种苹果每天要获利150元并要使顾客实惠，那么每千克这种苹果的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)售价为20元，利润最大且为200元 (3)15元 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）把、代入一次函数，即可求解； （2）设利润，则：，求函数的最大值即可； （3）由题意得，解方程即可． 【详解】（1）解：设解析式为：， 把、代入一次函数， ， 解得：，， 函数的表达式为：； （2）解：设利润为， 则：， ∵函数的对称轴为：， ∴当时，最大，元， ∴售价为20元时，利润最大且为200元； （3）解：由题意得 解得：或25， 为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为15时，利润最大． 【考点题型十三】二次函数的实际应用（3）-拱桥问题 【例13】如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．根据题意可知、两点是关于轴对称的，且纵坐标都为，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出的长度． 【详解】解：由题意得，、两点是关于轴对称，纵坐标都为，代入解析式，得 ，解得：，， ∴米， 故答案为：． 【变式13-1】上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米． (1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式； (2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：） 【答案】(1)见解析， (2)需32根吊杆 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意． （1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．得出，，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意得出点的纵坐标为15，结合（1）将代入即可求出，即可解答； 【详解】（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系． 则有另一桥墩，拱桥顶点，桥面， 设桥拱抛物线解析式为， 把点坐标代入求得， 所以拱桥抛物线的解析式为． （2）解：因桥面距离水面15米，所以点的纵坐标为15， 当时，， 解得， ， 所以，， ∴， ∵， 故单侧需32根吊杆． 【考点题型十四】二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题 【例14】如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．若排球运动员本次练习发球过程中球会超过球网但不会出界（可以压线），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意构造不等式进行解答即可． 【详解】解：球会超过球网， 当时，， 解得 ∵球不会出界网， 当时，， 解得 ． 故答案为： 【变式14-1】如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把解析式化为顶点式，顶点的纵坐标的值即为水柱的最大高度． 【详解】解：， ∴水柱的最大高度是5米， 故答案为：5． 【变式14-2】弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为的点处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面时，弹球与甲的水平距离为．弹球在处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点处． (1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．（不要求写出的取值范围） (2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点的距离． (3)如果摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点，那么甲能投球成功吗？ 【答案】(1) (2) (3)不能 【分析】（）由题意可以用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解； （）利用第一次着地前抛物线的解析式求出点坐标，再用同（）法求得第二段抛物线的解析式，求出它的对称轴，利用对称性求出点的坐标，进而即可求解； （）把代入第二段抛物线的解析式求出的值即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为， 故可设抛物线的解析式为， 将代入得，， ∴弹球第一次着地前抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 由从点弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为，故可设该抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得(不合，舍去)，， ∴，且对称轴为直线， ∴，即， ∴弹球第二次着地点到点的距离为； （3）解：当时，， ∴甲不能投球成功． 【考点题型十五】二次函数的实际应用（4）-增长率问题 【例15】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 【变式15-1】国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是， 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：， 则函数解析式为：， 故选：C 【考点题型十六】二次函数的综合应用 【例16】如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3)； 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 【变式16-1】如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小， 函数顶点D坐标为，点， 设直线的解析式为，将、D的坐标代入得： ，解得， 直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则的最小值为； （3）①当点P在x轴上方时，如图2中， ∵，则， 过点B作于点H，设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 则， 则； ②当点P在x轴下方时， 同理可得； 故点P的坐标为或． 【变式16-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，连接，点在线段上，设点的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）利用等腰三角形定义分类求解即可． 本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的分类求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令得， ∴， 设直线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：. （2）解：∵点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴设新抛物线的解析式为， ∵点、点， ∴，，. 分情况讨论： （1）当时，则， 解得， 此时，， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴新抛物线的解析式为； （2）当时，， 解得，（此时与重合，舍去）， ∴， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴新抛物线的解析式为. 综上所述，新抛物线的解析式为或. 【变式16-3】如图，二次函数向左平移一个单位得到的图象，交轴于点，，交轴于点，顶点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，当的长度最小时，求出点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对称点为，如果点刚好落在抛物线上，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，涉及待定系数法求解析式，将军饮马问题，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握将军饮马的解决方法和坐标系中线段旋转构造一线三垂直全等是解题的关键． （1）利用平移确定，再利用交点式确定解析式即可； （2）利用，得出，当、、共线时，最小，即最小，利用解析式与抛物线对称轴交点即可求解； （3）分当点在轴上方时，和当点在轴下方时进行讨论，构造一线三垂直全等模型，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是平移所得， ∴， ∵交轴于点，， ∴的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵的对称轴为直线，与轴交于点，， ∴点、关于直线对称， ∴， ∴， 当、、共线时，最小， 即最小， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 则； （3）解：设抛物线对称轴交轴于点， ①当点在轴上方时， 如图，过点作垂直于抛物线对称轴于点， 由旋转得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：或（舍）， 当时，， 故； ②当点在轴下方时， 如图，过点作平行于轴的直线，过点作于，过点作于， 由旋转得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得：（舍）或， 当时，， 故； 综上，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司46 学科网（北京）股份有限公司 $$