专题01 反比例函数（4个考点清单+9种题型解读）（期中复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题01 反比例函数 【清单01】反比例函数的定义 ①形如(k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数， 其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数． ②三种表达式： ； xy＝k; y＝kx－1 (k≠0)． 【清单02】反比例函数的图象和性质 ①反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. ②反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是原点. . . 【清单03】反比例函数比例系数 k 的几何意义 ①过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|. ②过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的 面积为常数 ． 【清单04】反比例函数与一次函数的综合应用 ①交点问题：求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组 成的方程组. ②图象问题：通过函数图象比较大小，图象在上方的函数值大. ③面积问题：求三角形或四边形面积时，利用割补法，选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 【考点题型一】反比例函数的定义 【例1】下列关于与 的表达式中，反映是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数：①，②，③，④，y是x的反比例函数的个数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】在反比例函数中，自变量的取值范围为（ ） A． B． C． D．全体实数 【考点题型二】利用反比例函数的概念求参数 【例2】已知函数是反比例函数，则 ． 【变式2-1】如果函数是反比例函数，那么此函数的表达式是 ． 【变式2-2】若反比例函数的图像在第一、三象限内，则的值为 . 【变式2-3】当k 时，关于x的函数是反比例函数． 【变式2-4】如果x与y成反比例,而y与成反比例,那么x与z之间的关系式为 ． 【考点题型三】待定系数法求反比例函数的表达式 【例3】已知与x成反比例，与成正比例，并且当时，，当时，；求y与x之间的函数关系式． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ． 【变式3-2】若点和点都在同一个反比例函数的图像上，则n的值为 ． 【变式3-3】已知y-1与x+2成反比例函数关系，且当x=-1时，y=3．求： (1)y与x的函数关系式； (2)当x=0时，y的值． 【变式3-4】已知为反比例函数的图象上的一点，若将这个反比例函数的图象向右平移4个单位，则点M的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【考点题型四】反比例函数图象和性质 注意：判断反比例函数的增减性，要注意象限问题. 【例4】反比例函数（为常数，）的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．当时，随的增大而增大 C．函数图象分布在第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【变式4-1】已知反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 【变式4-2】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知反比例函数，当时，y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【考点题型五】反比例函数比例系数 k 的几何意义 【例5】如图，一支反比例函数y＝的图象经过点A，作AB⊥x轴于点B，连接OA，若S△AOB＝3，则k的值为（　　）    A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 【变式5-1】如图，A，B是反比例函数图象上的两点，分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形，，，已知，的值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．5 【变式5-2】如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与边，相交于点D，E．若四边形的面积为12，则k的值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．4 【变式5-3】如图，动点P在反比例函数图象上，轴于点A，B是y轴上动点．当点B从原点往y轴正半轴运动时，的面积将会（    ） A．逐渐减小，接近0 B．不变，永远是4 C．不变，永远是2 D．不变，但不知道具体值 【变式5-4】如图所示，点P，Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为，△QMN的面积记为，则（   ）    A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【考点题型六】反比例函数与一次函数的图象问题 【例六】已知正比例函数中，随的值的增大而减小；反比例函数中，在每一个象限内，随的值的增大而增大，那么这两个函数在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】关于的函数和在同一坐标系中的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，反比例函数与正比例函数的图象交于A（m，4），B两点，当时，x的取值范围是（    ） A．－2≤x＜0或x≥2 B．－2≤x＜0或x＞－2 C．x＜－2或x≥2 D．x≤－2或0≤x≤2 【变式6-3】已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是　　 A．1<x<3 B．1≤x≤3 C．x>1 D．x<3 【考点题型七】反比例函数与一次函数的交点问题 【例7】若，则函数和的图像在同一坐标系内的交点的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．不能确定 【变式7-1】已知正比例函数的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，下列说法正确的是（    ） A．反比例函数 的解析式是 B．两个函数图象的另一交点坐标为 C．当 或 时， D．正比例函数 与反比例函数 都随x 的增大而增大 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与线段无公共点，则的取值范围是 ． 【变式7-3】如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． （1）求k的值； （2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长． 【考点题型八】反比例函数与一次函数的面积问题 【例8】已知：反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出的面积． 【变式8-1】如图，已知点A（4，a），B（﹣10，﹣4）是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝图象的交点，且一次函数与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接AO，求△AOB的面积； （3）根据图象，直接写出不等式kx＋b≥的解集． 【变式8-2】已知点在直线上，垂直于轴，垂足的坐标为，若一反比例函数的图像经过点． (1)求此反比例函数的解析式． (2)若点也在此反比例函数的图像上，且的面积为6，求点的坐标． 【考点题型九】反比例函数的实际应用 【例9】地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（    ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【变式9-1】已知矩形的面积为 ，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（    ） A．     B．   C．     D．     【变式9-2】已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（    ） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 5 … … … … … 1 A． B．当， C．图象经过一、三象限 D．图象经过点 【变式9-3】学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升℃，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温℃与通电时间（min）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．水温从升高到，需要min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午9:30喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为min 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 反比例函数 【清单01】反比例函数的定义 ①形如(k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数， 其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数． ②三种表达式： ； xy＝k; y＝kx－1 (k≠0)． 【清单02】反比例函数的图象和性质 ①反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. ②反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是原点. . . 【清单03】反比例函数比例系数 k 的几何意义 ①过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|. ②过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的 面积为常数 ． 【清单04】反比例函数与一次函数的综合应用 ①交点问题：求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组 成的方程组. ②图象问题：通过函数图象比较大小，图象在上方的函数值大. ③面积问题：求三角形或四边形面积时，利用割补法，选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 【考点题型一】反比例函数的定义 【例1】下列关于与 的表达式中，反映是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到可整理为（其中是常数，且）的式子即可． 【详解】解：A.为正比例函数，不符合题意； B.整理为，为正比例函数，不符合题意； C.为一次函数，不符合题意； D.可整理为，是反比例函数，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义特点，反比例函数解析式的一般形式为：（其中是常数，且），注意掌握不用类型函数的特点． 【变式1-1】下列函数：①，②，③，④，y是x的反比例函数的个数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式的一般式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式可知． 【详解】①和②是正比例函数；③是反比例函数；④是y是x+1的反比例函数，故此选项错误． 所以y是x的反比例函数的个数有1个． 故选B． 【点睛】考查了反比例函数的定义和方程式的变形，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 【变式1-2】在反比例函数中，自变量的取值范围为（ ） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【详解】分析：根据分母不等于0列式求解即可． 解答：解：根据题意x≠0． 故选A． 点评：本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【考点题型二】利用反比例函数的概念求参数 【例2】已知函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的解析式，得，且，求解即可． 【详解】解：由题意得：，且 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如，则y叫x的反比例函数，熟练掌握反比例函数解析式三种形式，，是解题的关键． 【变式2-1】如果函数是反比例函数，那么此函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数的定义求得值，即可求得函数的表达式． 【详解】∵函数是反比例函数 ∴且 ∴ ∴函数的解析式为 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的解析式等，解题的关键是熟练掌握反比例函数的解析式． 【变式2-2】若反比例函数的图像在第一、三象限内，则的值为 . 【答案】4 【分析】根据反比例函数的定义建立关于m的一元二次方程，再根据反比例函数的性质解答． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴m2-17=-1， 解得，m2=16， ∴m=±4， 当m=4时，2m-5＞0，图象位于一、三象限； 当m=-4时，2m-5＜0，图象位于二、四象限； ∴m=4. 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 【变式2-3】当k 时，关于x的函数是反比例函数． 【答案】/ 【分析】本剧反比例函数的定义解题即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键． 【变式2-4】如果x与y成反比例,而y与成反比例,那么x与z之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得到y与x之间的关系式，z与y之间的关系式，进而得到z与x之间的关系式即可． 【详解】解：∵x与y成反比例,而y与成反比例, ∴x= ,y= ，把y=带入x=得： 故答案为. 【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题关键是根据题意正确列出关系式. 【考点题型三】待定系数法求反比例函数的表达式 【例3】已知与x成反比例，与成正比例，并且当时，，当时，；求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】根据题意设出反比例函数与正比例函数的解析式，代入，再把当时，，当时，代入关于y的关系式，求出未知数的值，即可求出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：∵与x成反比例，与成正比例， ∴可设，， ∵， ∴， 当时，，当时，，代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，根据正比例函数及反比例函数的定义，设出函数的关系式，把已知数据代入求解是解题的关键． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 【变式3-2】若点和点都在同一个反比例函数的图像上，则n的值为 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数可将点代入特性得到方程计算即可． 【详解】设点和点都在同一个反比例函数的图像上， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的性质，可将点横纵坐标代入解析式．正确的计算是解题的关键． 【变式3-3】已知y-1与x+2成反比例函数关系，且当x=-1时，y=3．求： (1)y与x的函数关系式； (2)当x=0时，y的值． 【答案】（1）y=+1；（2）y=2． 【分析】（1）根据反比例函数表达式设y-1=，代入即可求出表达式． （2）由（1）可直接代入求值． 【详解】（1）设y-1=，把x=-1，y=3代入得3-1=，解得k=2； 则函数解析式是y-1=即y=+1； （2）把x=0代入得：y=2． 【点睛】本题考查反比例函数表达式解析式的求法，按照定义设解析式代入求值即可，难度一般． 【变式3-4】已知为反比例函数的图象上的一点，若将这个反比例函数的图象向右平移4个单位，则点M的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入，即可求得M点坐标，再根据平移方式即得出答案． 【详解】将代入，得：， 即． 将这个反比例函数的图象向右平移4个单位，即图象上的点也向右平移4个单位， ∴点M的对应点的坐标为(-2+4，3)，即(2，3)． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象的平移．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 【考点题型四】反比例函数图象和性质 注意：判断反比例函数的增减性，要注意象限问题. 【例4】反比例函数（为常数，）的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．当时，随的增大而增大 C．函数图象分布在第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数（为常数，）的图象经过点，可得，再根据反比例函数的增减性，即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， 故B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【变式4-1】已知反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的性质得图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，而当时，，所以当时，． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， 时，， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式． 【变式4-2】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的解析式，可以求出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：将代入中， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． . 【变式4-3】已知反比例函数，当时，y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数中的值确定函数增减性，再分别求出当和时，所对应的y的值，进而解答本题． 【详解】解：反比例函数， ， 在每个象限内，y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 当时，y的取值范围是， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 【考点题型五】反比例函数比例系数 k 的几何意义 【例5】如图，一支反比例函数y＝的图象经过点A，作AB⊥x轴于点B，连接OA，若S△AOB＝3，则k的值为（　　）    A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 【答案】D 【分析】先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy=-6，即可写出反比例函数的解析式． 【详解】解：设A点坐标为A（x，y）， 由图可知A点在第二象限， ∴x＜0，y＞0， 又∵AB⊥x轴， ∴AB=y，OB=|x|， ∴S△AOB=AB×OB=y×|x|=3， ∴xy=-6， ∴k=-6 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 【变式5-1】如图，A，B是反比例函数图象上的两点，分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形，，，已知，的值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．5 【答案】B 【分析】根据A，B是反比例函数图象上的两点，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵A，B是反比例函数图象上的两点， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数 图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值 是解题的关键． 【变式5-2】如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与边，相交于点D，E．若四边形的面积为12，则k的值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】D 【分析】设M点的坐标为，利用矩形的性质和线段的中点坐标公式得到B点坐标为，然后根据反比例函数k的几何意义和面积法得到，然后解k的方程即可． 【详解】解：连接，，设M点的坐标为 ，    ∵M点为矩形对角线的交点， ∴B点坐标为， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了矩形的性质． . 【变式5-3】如图，动点P在反比例函数图象上，轴于点A，B是y轴上动点．当点B从原点往y轴正半轴运动时，的面积将会（    ） A．逐渐减小，接近0 B．不变，永远是4 C．不变，永远是2 D．不变，但不知道具体值 【答案】C 【分析】设点A的坐标为，，OA=m，由此可以求出即可得到答案． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵PA⊥x轴， ∴，OA=m， ∴， ∴△PAB的面积将不变，永远是2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，正确求出△PAB的面积是解题的关键． 【变式5-4】如图所示，点P，Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为，△QMN的面积记为，则（   ）    A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【答案】B 【分析】设P（a，b），Q（m，n），根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】设P（a，b），Q（m，n）， 则S△ABP===， S△QMN===， 点P，Q在反比例函数的图象上， S1＝S2 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键. 【考点题型六】反比例函数与一次函数的图象问题 【例六】已知正比例函数中，随的值的增大而减小；反比例函数中，在每一个象限内，随的值的增大而增大，那么这两个函数在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据正比例函数中，y随x的增大而减小，图像过二、四象限，反比例函数中，在每一个象限内，随的值的增大而增大，图像位于二、四象限，则可得答案． 【详解】解：正比例函数中，y随x的增大而减小， 图像过二、四象限，故B、C错误， 又反比例函数中，在每一个象限内，随的值的增大而增大， 图像位于二、四象限， 只有A正确， 故选：A 【点睛】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答． 【变式6-1】在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得． 【详解】解：当时， 直线经过第一、三、四象限， 双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确； 当时， 直线经过第一、二、四象限， 双曲线经过第二、四象限，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键． 【变式6-2】关于的函数和在同一坐标系中的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系依次分析各项即可. A、从一次函数的图象知k＜0与反比例函数的图象k＜0一致，正确； B、从一次函数的图象从左向右上升知k＞0，而与y轴的负半轴相交知k＜0相矛盾，错误； C、从一次函数的图象从左向右上升知k＞0，而与y轴的负半轴相交知k＜0相矛盾，错误； D、因为k≠0，所以一次函数的图象不过原点，错误； 故选A． 考点：本题主要考查了一次函数及反比例函数的图象与系数的关系 点评：解答本题的关键是熟练掌握反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限. 【变式7-2】如图，反比例函数与正比例函数的图象交于A（m，4），B两点，当时，x的取值范围是（    ） A．－2≤x＜0或x≥2 B．－2≤x＜0或x＞－2 C．x＜－2或x≥2 D．x≤－2或0≤x≤2 【答案】A 【分析】将A坐标代入正比例函数y=-2x求出m的值，将A（-2，4）代入反比例解析式求k的值，根据A、B关于O点对称即可确定出B坐标，再根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时x的范围即可． 【详解】将A（m，4）代入正比例函数得：4=-2m， 解得m=-2， ∴A（-2，4）， ∵反比例函数的图象经过A（-2，4）， ∴k=-2×4=-8， 则反比例解析式为， ∵A、B关于O点对称 ∴B（2，-4）； 由图象得：当时，x的取值范围为-2≤x＜0或x≥2． 故选：A． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式6-3】已知一次函数y1=kx+b((k≠0)与反比例函数y2=(m＞0)的图象如图所示， 则当y1>y2时， 自变量x满足的条件是　　 A．1<x<3 B．1≤x≤3 C．x>1 D．x<3 【答案】A 【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可 【详解】解： 当1<x<3时，y1>y2． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象问题：通过函数图象比较大小，图象在上方的函数值大． 【考点题型七】反比例函数与一次函数的交点问题 【例7】若，则函数和的图像在同一坐标系内的交点的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题可分k＞0和k＜0两种情况，然后可以结合反比例函数和正比例函数的图象，由图象所处的象限判断两函数图象的交点个数． 【详解】解：令k＞0， ∵y＝−kx的图象是过原点经过二、四象限，(k≠0)的图象在第二、四象限内，但不过原点， 令k＜0， y＝−kx的图象是过原点经过一、三象限，(k≠0)的图象在第一、三象限内，但不过原点， ∴两个函数图象可能相交．交点个数是方程组解的个数， 由 解得： 或 ∴当k≠0时，有2个交点， 故选：B． 【变式7-1】已知正比例函数的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，下列说法正确的是（    ） A．反比例函数 的解析式是 B．两个函数图象的另一交点坐标为 C．当 或 时， D．正比例函数 与反比例函数 都随x 的增大而增大 【答案】C 【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴正比例函数，反比例函数， ∴两个函数图象的另一个角点为， ∴A，B选项错误； ∵正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小， ∴D选项错误； ∵当或时，， ∴选项C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，，，双曲线与线段无公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】分别求出双曲线过点A,B时对应的k值，然后数形结合即可得出答案． 【详解】当双曲线过点时，有 ； 当双曲线过点时，有 ； 数形结合可知，双曲线与线段无公共点时k的取值范围为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与线段的交点问题，确定出两个特殊位置的k的值及数形结合是解题的关键． 【变式7-3】如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1． （1）求k的值； （2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长． 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）将代入，故其中交点的坐标为，将代入反比例函数表达式，即可求解； （2）一次函数的图象向下平移4个单位得到，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得、的坐标，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）将代入， 交点的坐标为， 将代入， 解得：； （2）将一次函数的图象向下平移4个单位长度得到， 由， 解得：或， ，， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，体现了方程思想，综合性较强． 【考点题型八】反比例函数与一次函数的面积问题 【例8】已知：反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）把A代入反比例函数的解析式即可求得k的值，然后求得B的值，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）求直线与x轴交点C的坐标，根据S△AOB=S△AOC-S△BOC即可求解． 【详解】（1）把代入得：，则反比例函数的解析式是：； 把代入得：，则的坐标是． 根据题意得：， 解得：， 则一次函数的解析式是； （2）设直线交轴于点， 由得，， ∵   ，， ∴   ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想． 【变式8-1】如图，已知点A（4，a），B（﹣10，﹣4）是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝图象的交点，且一次函数与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接AO，求△AOB的面积； （3）根据图象，直接写出不等式kx＋b≥的解集． 【答案】（1）反比例函数为，一次函数的解析式为；（2）42；（3）或． 【分析】（1）点、代入求得，，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）求得点的坐标，然后根据求得即可； （3）根据图象即可求得． 【详解】解：（1）点、是一次函数的图象与反比例函数图象的交点， ， 反比例函数为， 把代入得，， ， 把，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）在中，令，求得， ， ； （3）不等式的解集为：或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键． 【变式8-2】已知点在直线上，垂直于轴，垂足的坐标为，若一反比例函数的图像经过点． (1)求此反比例函数的解析式． (2)若点也在此反比例函数的图像上，且的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据垂直于轴的直线上的点的横坐标相同即可求得点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）设中边上的高为，根据三角形的面积公式即可求得，进而求得点的横坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 设反比例函数的解析式为，则， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知，， 设中边上的高为，则， ， 解得：， 当点在直线的右侧时，点的横坐标为，则， 此时点的坐标为； 当点在直线的左侧时，点的横坐标为，则， 此时点的坐标为， 综上，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数，垂直于垂直于轴的直线上的点的坐标特征，三角形的面积，反比例函数图像上点的特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 【考点题型九】反比例函数的实际应用 【例9】地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（    ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【答案】D 【分析】根据图象中的数据回答即可． 【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意； B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)， ∴2×80=160，4×60=240，而160≠240， ∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意； C．∵图象经过点 (4，60)， ∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意； D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图． 【变式9-1】已知矩形的面积为 ，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（    ） A．     B．   C．     D．     【答案】A 【分析】由长方形的面积公式得，且，，而B中有，的情况，C，D中有或的情况，据此即可得出结果． 【详解】解：， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是理解现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． . 【变式9-2】已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（    ） 20 30 40 50 60 70 80 90 100 5 … … … … … 1 A． B．当， C．图象经过一、三象限 D．图象经过点 【答案】B 【分析】根据表格当电阻时，电流，设反比例函数为，由此求出电流与电路的电阻的关系，即可求解． 【详解】解：∵电流与电路的电阻是反比例函数关系， ∴设反比例函数解析式为，从表中可知电阻时，电流， ∴， ∴当时，；当时，， ∴，即选项错误； 当时，由得， ∴，即选项正确； ∵， ∴的图象在第一象限，即选项错误； 当时，， ∴图象不经过点，即选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的特点与实际情况中电阻与电流的关系是解题的关键． 【变式9-3】学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升℃，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温℃与通电时间（min）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．水温从升高到，需要min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午9:30喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为min 【答案】D 【分析】该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目-浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A.∵开机加热时水温每分钟上升℃ ∴水温从升高到，需要的时间为min 故A选项不符合题意． B.由题意可得点在反比例函数的图象上 设反比例函数的解析式为 将点代入，可得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是 故B选项不符合题意． C.令，则 ∴ 即饮水机每经过min，要重新从开始加热一次 从8点至9点30分，经过的时间为min，min 而水温加热到，需要的时间为min 故9点30分时，饮水机第三次从开始加热了min， 令，则 即9点30分时，饮水机的水温为℃ 故C选项不符合题意． D.水温从升高到所需要的时间为min 令，则 解得 ∴水温不低于的时间为 min 故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司27 学科网（北京）股份有限公司 $$