专题05 圆（考点清单，11个考点梳理+23种题型解读）（期末复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版

专题05圆 （11个考点梳理+23种题型解读） 【清单01】圆的相关概念 ◆弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.  ◆弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. ◆圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ◆圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. ◆弦心距：圆心到弦的距离. ◆圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 【清单02】垂径定理及其推论 ◆定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ◆推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 【清单03】圆心角、弧、弦的关系 ◆(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． ◆(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等． 【清单04】圆周角定理及其推论 ◆定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ◆推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. （2）直径所对的圆周角是直角. （3）圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角. 【清单05】切线的性质与判定 ◆性质：（1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. ◆判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【清单06】切线长定理 ◆定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. ◆切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 【清单07】三角形的外接圆 ◆概念：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆， ◆外心：外接圆的圆心，是三角形三条垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等. 【清单08】三角形的内切圆 ◆概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆. ◆内心：内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三角形的三条边的距离相等. ◆公式：(S:面积；C：周长)；(a、b:直角三角形；c：斜边) 【清单09】正多边形的概念及公式 ◆中心：外接圆的圆心． ◆半径：外接圆的半径 ◆中心角：每一条边所对的圆心角，n边形中心角=外角= ◆n边形内角= ◆边心距：弦心距 ◆正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系： 【清单10】弧长和扇形面积的计算 ◆扇形的弧长l＝ ；扇形的面积S＝ ＝ 【清单11】圆锥与侧面展开图 ◆（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. ◆（2）计算公式：S侧=πrl 【考点题型一】圆的相关概念和性质 【例1】（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）下列命题中是真命题的是（　　） A．相等的弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的圆心角相等 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．三点确定一个圆 【答案】A 【分析】本题考查了圆相关的概念，熟练掌握圆相关的概念是解题的关键．逐一分析每个选项所涉及的定理内容，判断其正确性即可． 【详解】解：A、相等的弧所对的圆心角相等，故A正确，符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故B错误，不符合题意； C、平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，故C错误，不符合题意； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故D错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）下列说法中错误的是（   ） A．圆有无数条对称轴 B．过圆心的弦是直径 C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】D 【分析】考查了圆的对称性，垂径定理以及弧与弦的关系．根据以上知识逐项分析判断，即可求得答案． 【详解】解：A. 圆有无数条对称轴，故该选项正确，不符合题意； B. 过圆心的弦是直径，故该选项正确，不符合题意； C. 平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故该选项正确，不符合题意； D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 【答案】B 【分析】根据圆的弦、弧的概念判断即可． 此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念． 【详解】解：A、弦不一定是直径，原命题是假命题，不符合题意； B、直径是弦，是真命题，符合题意； C、弧不一定是半圆，原命题是假命题，不符合题意； D、半圆一定是弧，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【考点题型二】垂径定理 【例2】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，弦的长为，圆心O到的距离，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．过点O作于E，连接，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于E，连接，如图， ，， ， ． 故选：C． 【变式2-1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，线段是的直径，弦于．如果，，那么的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，由垂径定理得，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：设的半径为， ∵弦于，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴，， 故选：A． 【变式2-2】（19-20九年级上·浙江温州·期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．过作于交于，求得，设半径为，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于交于，如图所示： 则， 设半径为，则， 根据勾股定理得，， 解得：， 这个球的直径为． 故答案为：． 【考点题型三】垂径定理的应用 【例3】（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，公园有一石拱桥是圆弧形(劣弧)，O为拱桥所在圆弧形的圆心．其跨度米，拱高CD为8米，求圆弧所在的圆的半径． 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，由垂径定理得米，设圆弧所在圆的半径为米，则米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：依题意，为拱高， ，米， 米， 设圆弧所在圆的半径为米， 则米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即圆弧所在圆的半径为米． 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”（如图），该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子的直径． 【答案】该桨轮船的轮子的直径为 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意，连接，则是圆的半径，，该桨轮船的轮子的直径为，由图形可得，由垂径定理可得，设，由勾股定理可得，由此可得半径，从而得到直径． 【详解】解：如图所示，连接，则是圆的半径，， ∴该桨轮船的轮子的直径为， 根据图示可得，，即， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴该桨轮船的轮子的直径为． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，该门洞的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 则该门洞的半径为． 故答案为：． 【考点题型四】利用弧、弦和圆心角的关系求解 【例4】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查圆的性质，根据弧，弦，圆心角的关系逐个判断即可，特别强调同圆或等圆中这一前提条件． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误； ②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误； ③同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ④同圆或等圆中，长度相等的弧称为等弧； 没有正确的说法， 故选：A． 【变式4-1】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，为的直径，点，在上，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，然后利用平行线的性质可得，即可解答．本题考查了三角形内角和性质，圆心角、弧、弦的关系，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：D． 【考点题型五】利用圆周角定理及推论求解 【例5】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，根据已知可得，根据，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．直径所在直线是圆的对称轴 B．同弧所对的圆周角相等 C．直径是弦 D．平面上三个点确定一个圆 【答案】D 【分析】此题考查了圆的对称轴、圆周角定理的推论、确定圆的条件等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 直径所在直线是圆的对称轴，故选项说法正确，不合题意； B. 同弧所对的圆周角相等，故选项说法正确，不合题意； C. 直径是弦，故选项说法正确，不合题意；     D. 平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，故选项说法错误，符合题意． 故选：D 【变式5-2】如图，在中，以为直径的交于点D．若，，求劣弧的长．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质． 连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角 的度数，然后利用弧长公式进行解答． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴的长=． 【考点题型六】利用圆内接四边形的性质求解 【例6】（24-25九年级上·北京·期中）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，． 求证：点，，，在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一  利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹． 步骤二  用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． （i）如图2，假设点在内． 延长交于点，连接， ∴（ ① ）．（填推理依据） ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在内． （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴ ② ． ∵是的外角， ∴ ③ ． ∴ ④ ． ∴ ⑤ ． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． ∴点，，，在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： (1)根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； (2)填写推理依据：①________________； (3)填空：②________，③________，④________，⑤________． 【答案】(1)见解析 (2)圆内接四边形对角互补 (3)；；； 【分析】本题主要考查圆的内接四边形、多边形内角和外角、尺规作图： （1）分别作和的垂直平分线，交点即为圆心，以点为圆心，以线段的长度为半径作圆． （2）的依据为：圆内接四边形对角互补． （3）参照（i）的证明过程，即可求得答案． 【详解】（1）分别作和的垂直平分线，交点即为圆心，以点为圆心，以线段的长度为半径作圆． （2）的依据为：圆内接四边形对角互补． 故答案为：圆内接四边形对角互补． （3）参照（i）的证明过程，可知： （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 故答案为：；；； 【变式6-1】如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，求的度数． 【答案】当点在劣弧上时，；当点在优弧上时，． 【分析】本题主要考查圆的切线的性质、四边形的内角和、同弧所对的圆心角与圆周角的关系等知识．本题注意要分情况讨论：C点在劣弧上或点C点在优弧上．连接过切点的半径，根据四边形的内角和定理求得的度数，进一步根据圆周角定理进行计算． 【详解】连接，在弧上任取一点C，连接． ∵是的切线，A、B为切点， ∴， ∵，在四边形中，可得， 分两种情况讨论： ①若C点在劣弧上，则； ②若C点在优弧上，则． 【考点题型七】确定圆心 【例7】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、的垂直平分线，其交点即为点，进而求得圆的半径，从而求得原点到上一点的最短距离． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ， 点， ， 则原点到上一点的最短距离为：， 故选：A． 【变式7-1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 【变式7-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 【考点题型八】尺规画圆 【例8】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    【答案】（1）见解析；（2）的半径． 【分析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心． （1）根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可； （2）由题意易得是等边三角形，则，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1）的外接圆如图所示：    （2）连接，    ∵， 由作图知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴的半径． 【变式8-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）按要求作图． (1)作的外接圆；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)是外的一点，以为旋转中心，将按顺时针方向旋转90度，作出经旋转后的图形，（尺规和量角器作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，三角形的外接圆与外心，旋转作图． （1）分别作和的垂直平分线交于点，再以为圆心为半径画圆即为的外接圆； （2）分别画出，，按顺时针方向旋转90度后的对应线段，，，再连接三角形即可． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： 【变式8-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，作的外接圆； （2）若是等边三角形，．则的外接圆的半径为__________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）分别作，的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求； （2）连接，，设的垂直平分线交于点E，首先求出，然后得到，根据垂直平分线的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，作，的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求． （2）如图所示，连接，，设的垂直平分线交于点E ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的垂直平分线 ∴， ∴， ∴ ∴，负值舍去． ∴的外接圆的半径为． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，含角直角三角形的性质和等边三角形的性质等知识，掌握基本作图是解题的关键． 【考点题型九】判断直线和圆的位置关系 【例9】（24-25九年级上·北京·期中）的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相交 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 【变式9-1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．分两种情况讨论：①当与相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；②当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，圆的半径大于． 【详解】解：①如图，当与相切时，与射线有1个公共点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即圆的半径是4； ②如图，当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，与射线有1个公共点， 点在内， 半径， 综上可知，与射线有1个公共点，则r的取值范围是或， 故答案为：或． 【考点题型十】切线的性质和判定综合 【例10】（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 【变式10-1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 【变式10-2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 【考点题型十一】尺规作圆的切线 【例11】（24-25九年级上·北京·期中）下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法：①连接； ②以为直径作，交于点A，B； ③作直线； 则直线即为所求．根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：是的直径， （___________________________）（填推理依据）． ． 又是的半径， 是的切线（________________________）（填推理依据）． 同理，是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查切线的判定，线段垂直平分线的性质，关键是通过作图构造直径所对的圆周角． （1）根据要求即可画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可． 【详解】（1）解：（1）如图所示； （2）完成下面的证明： 证明：是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ． 又是的半径， 是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）， 同理，是的切线． 故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 【变式11-1】（24-25八年级上·北京西城·期中）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点A在上． 求作：直线和相切． 作法：①连接，以A为圆心，长为半径作弧，与的一个交点为B（点B在点A右侧）； ②连接，以B为圆心，长为半径作圆； ③作的直径； ④作直线． 所以直线就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接． ∵， ∴． ∴点A在上． ∵是的直径， ∴ ① （ ② ）（填推理的依据）． ∴． ∵是半径， ∴是的切线（ ③ ）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理推论，正确作出图形并对作图证明，是解题的关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）补全图形，如图所示；        （2）证明：连接． ∵， ∴． ∴点A在上． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）． ∴． ∵是半径， ∴是的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【变式12-1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，基本作图； （1）先确定直径，进而根据网格的特点作，即可求解； （2）连接，以为直径作圆，交于点，连接，则即为所求的切线． 【详解】（1）如图1所示， 即为圆的切线， （2）如图所示，即为所求的切线 【考点题型十二】利用切线长定理求解 【例12】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 首先根据切线长定理，可得，再由可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长． 【详解】解：，是的切线， ， ， ， ，是的切线， ， 故选：． 【变式12-1】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可． 【详解】、分别切于、， ，， ， 、分别切于、，切于， ，， ， 故选：C． 【变式12-2】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【考点题型十三】利用三角形内切圆的性质求解 【例13】（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【详解】解：如图，设在内切圆圆心为点，连接， 的内切圆分别与、、相切于点、、， ，，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去， ， 圆的半径为3， 故选：D． 【变式13-1】（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）由（2）可知，然后由勾股定理依次求出，即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式13-2】（23-24九年级下·上海·自主招生）已知I是的内心，交于D，交于E，，求长度． 【答案】2 【分析】连接，可得出，由三角形内心的定义可得出，，由同弧所对的圆周角相等可得出，进而利用三角形外角的定义以及等量代换，等边对等角得出，再证明，由相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵I是的内心， ∴，， ∵和都对应弧， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，三角形外角的定义以及性质等知识．掌握三角形内心的定义是解题的关键． 【考点题型十四】利用三角形外接圆的性质求解 【例14】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【变式14-1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 【变式14-2】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 【考点题型十五】三角形内切圆和外接圆的综合 【例15】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H，根据三角形内切圆和圆周角定理求出，根据证明，可得出，根据点I是的内心，可得出，即可求解． 【详解】解∶延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H， 则与的内切圆相切于G，与的内切圆相切于F，与的内切圆相切于H， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点I是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心与内心，切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 【变式15-1】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 【变式15-2】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 【考点题型十六】圆的综合问题——与三角形综合 【例16】（21-22九年级下·浙江宁波·自主招生）P为边长是的正三角形内切圆上一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】连接，，交于，中点，连接，过点O作 于E，过点G作于F，证明，推出，推出，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，，交于，中点，连接，，过点O作 于E， 是等边三角形，是的内切圆，， ∴，， ， ∴ ∴， ∵G是中点， ∴， ， ∵， ， ，即， ， 过点G作于F， 在中，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 的最小值为． 【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【变式16-1】（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，可证明，得，则平分，再由点I是的内心，证明平分，所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点I； （2）连接，推导出，则，再证明，则，再推导出，则，由，，证明，则，所以，即可证明点D是的中点． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴与在同一条直线上， ∴所在的直线经过点I． （2）证明：连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式16-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）在Rt△ABC中，已知，，过A、D，B三点画圆O，是直径，的平分线恰好过圆心O，交于点E，且． (1)求证：． (2)求的值． (3)若的延长线与的延长线交于点H，直接写出的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】 （1）先求出，再根据，得，由又是直径，得，即可得答案； （2）作交的延长线与点G，设，求出，又因为，根据代入计算即可； （3）连结，先证，得，再根据（2）结论得，代入，求出，由，求出x，即可得解． 【详解】（1）解：如下图，连结， ，平分， ， ， ， ， 又是直径， ， ； （2）如（1）图，作交的延长线与点G，设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如（1）图，连结， 由题意可知：， 由， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是，勾股定理，正切，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关定理． 【考点题型十七】圆的综合问题——与四边形综合 【例17】（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知． (1)求证：； (2)若M为的中点，求的半径； (3)若的半径为3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，即可； （2）连结，连结交于点H，作于点G．则，证明四边形是矩形，即可求解； （3）连结，根据题意可得，再由矩形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ， 又 （2）解：连结，连结交于点H，作于点G．则， 为的中点， 为的直径， ，四边形是矩形， ， （3）解：连结． 的半径为3 ∵四边形是矩形 ∵四边形内接于， ∴， ∵， 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了矩形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 【变式17-1】（2024·广东阳江·二模）综合探究 如图1，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形 的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点是的中点时，． ①求的长； ②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结，当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）如图1，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得．得到，于是得到结论； （2）如图2，延长交于点．根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论； （3）①由（2）知．求得．根据是的中点，于是得到，②推出，当时，如图，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到．当时，如图，连结．由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，点在的外接圆上， ， ， ． ， ， 是等腰直角三角形； （2）解： 理由：如图，延长交于点， ，， ， 即， ， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①由（2）知． ， ． 是的中点， ， ②， ， 存在或， 当时，如图，， 是圆的直径， 当时，如图，连结； 是圆的直径， ， ， ， 综上所述，的长是或． 【点睛】本题考查了圆与正方形的综合问题，等腰直角三角形的判定，正切的定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式17-2】（23-24九年级·江苏·假期作业）【问题提出】 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？    (1)小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： 是的直径， ∴　　， ， ∵四边形内角和等于， ∴　　． (2)请回答问题2，并说明理由； 【深入探究】 如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，． (3)直接写出四边形边满足的数量关系 　　； (4)探究、满足的位置关系； (5)如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 (5) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，四边形的内角和定理进行求解即可； （2）连接、，根据同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和定理进行求解即可； （3）连接、、、，根据切线长定理进行求解即可； （4）连接、、、、，根据切线的性质，四点共圆的性质可得，再由同弧所对的圆周角相等，可得，根据三角形内角和定理，可得，则，即可证明； （5）连接，可得是圆的直径，连接、，先推导出，再证明四边形是正方形，可得，即可知点在上，根据已知求出，通过证明，求出，可求，则阴影部分的面积． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， 四边形内角和等于， ； 故答案为：，； （2）成立，理由如下： 连接、， ，， ， ， ； 同理，；    （3），理由如下： 连接、、、， 圆是四边形的内切圆， ，，，， ， 即， 故答案为：；    （4），理由如下： 连接、、、、，    四边形是圆的内接四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （5）连接，    ， ， 是圆的内接圆， 是圆的直径， 连接、， 是四边形的内切圆圆心， ，， ，， ，， ， ， ， ，，，， 四边形是正方形， ， 点在上， ，， ， ，， ， ， ， ，即， 解得， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握四边形的内切圆性质，外接圆性质，三角形相似的判定及性质，切线的性质，四点共圆的性质是解题的关键． 【考点题型十八】圆的综合问题——与函数综合 【例18】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可． 【详解】解：连接，． ， 点的坐标为， 令，则， 解得，，， ，， ， ∴， ∴轴．， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆， 点运动的路径长是． 故选：D 【变式18-1】（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】连接，取的中点，连接，过点作于，先证明点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的，设交于点，解得直线与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得的长，证明解得的长，最后当点与点重合时， 此时面积的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于， ， ， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点， 直线的解析式为， 令，得， ， 令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点与点重合时， 此时面积的最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 【变式18-2】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 【考点题型十九】圆的综合问题——其他问题综合 【例19】（2023·吉林长春·模拟预测）如图，为的直径，．动点在上且位于直线上方，连结．将线段绕点顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造正方形，连结、． (1)当点与点重合时，线段的长为______ ； (2)当时，求的长； (3)当为等腰三角形时，求； (4)当点落在的边或边的中线上时，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或 【分析】（1）连接，根据题意可知是等腰直角三角形，再由勾股定理求的长即可； （2）根据平行和正方形的性质求出，则的长； （3）如图3，当时，是等边三角形，则，可求；如图4，连接，，则是等边三角形，所以，可求；当时，是等边三角形，则，可求； （4）如图5，当点在的中线上时，点在上，先求，再求；如图6，当点在的中线上时，过点作交于点，过点作交于点，可得，再推理出，则，在中，分别求出，，在中，分别求出，，，在中，． 【详解】（1）如图1，当点与点重合时，， 连接， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）如图2，， ， 四边形是正方形， ， 的长； （3）如图3，当为锐角时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图4，当为钝角时，连接， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 是等边三角形， ， ， ， ； 综上所述：为或或； （4）如图5，当点在的中线上时， 为等腰直角三角形， ， 点在上， ，， ， ； 如图6，当点在的中线上时， 过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 【变式19-1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图1，是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直径对折，点落在上的点处（不与点重合），将纸片还原后，连接，，．设与直径交于点．    (1)求证：； (2)如图2，当时，若，求的长； (3)如图3，当时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，由，可得，所以，根据同弧所对圆周角相等可得，等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行即可得； （2）结合（1）方法证明，根据含30度角的直角三角形性质和，即可解决问题； （3）由等腰三角形的性质得出，证出，由折叠的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，得出，求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， ， ， ， ， ， ； （2）由折叠可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ，， ， 将该圆形纸片沿直线对折， ， 又， ， ，， ， ， ， 设，， ， 解得，（负值舍去）， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点题型二十】利用正多边形公式求解 【例20】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【变式20-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 则有， 解得， 是所列方程的解，且符合题意， ∴该正多边形的边数为6． 故选：A． 【变式20-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是正确作出辅助线．连接，过点A作于点M，求出的长即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点M， 在正八边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故选A． 【考点题型二十一】利用弧长和扇形公式求解 【例21】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 【变式21-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，扇形面积和三角形面积，根据圆周角定理得​，再由“阴影部分的面积扇形的面积的面积”即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积 ， 故选：． 【变式21-2】（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 【考点题型二十二】求不规则阴影图形的面积 【例22】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故选：A． 【变式22-1】（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，证明，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式22-2】（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，半径为，则阴影部分面积______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接，可证明四边形是正方形，则，，根据，则． 【详解】（1）证明：连接， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， 半径为， ， 阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【考点题型二十三】利用圆锥公式求解 【例23】（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 【变式23-1】（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：B． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05圆 （11个考点梳理+23种题型解读） 【清单01】圆的相关概念 ◆弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.  ◆弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. ◆圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ◆圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. ◆弦心距：圆心到弦的距离. ◆圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 【清单02】垂径定理及其推论 ◆定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ◆推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 【清单03】圆心角、弧、弦的关系 ◆(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． ◆(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等． 【清单04】圆周角定理及其推论 ◆定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ◆推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. （2）直径所对的圆周角是直角. （3）圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角. 【清单05】切线的性质与判定 ◆性质：（1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. ◆判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【清单06】切线长定理 ◆定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. ◆切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 【清单07】三角形的外接圆 ◆概念：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆， ◆外心：外接圆的圆心，是三角形三条垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等. 【清单08】三角形的内切圆 ◆概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆. ◆内心：内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三角形的三条边的距离相等. ◆公式：(S:面积；C：周长)；(a、b:直角三角形；c：斜边) 【清单09】正多边形的概念及公式 ◆中心：外接圆的圆心． ◆半径：外接圆的半径 ◆中心角：每一条边所对的圆心角，n边形中心角=外角= ◆n边形内角= ◆边心距：弦心距 ◆正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系： 【清单10】弧长和扇形面积的计算 ◆扇形的弧长l＝ ；扇形的面积S＝ ＝ 【清单11】圆锥与侧面展开图 ◆（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. ◆（2）计算公式：S侧=πrl 【考点题型一】圆的相关概念和性质 【例1】（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）下列命题中是真命题的是（　　） A．相等的弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的圆心角相等 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．三点确定一个圆 【变式1-1】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）下列说法中错误的是（   ） A．圆有无数条对称轴 B．过圆心的弦是直径 C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列命题中是真命题有 （ ） A．弦是直径 B．直径是弦 C．弧是半圆 D．半圆不一定是弧 【考点题型二】垂径定理 【例2】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，弦的长为，圆心O到的距离，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，线段是的直径，弦于．如果，，那么的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】（19-20九年级上·浙江温州·期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 【考点题型三】垂径定理的应用 【例3】（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，公园有一石拱桥是圆弧形(劣弧)，O为拱桥所在圆弧形的圆心．其跨度米，拱高CD为8米，求圆弧所在的圆的半径． 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”（如图），该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子的直径． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，该门洞的半径为 ． 【考点题型四】利用弧、弦和圆心角的关系求解 【例4】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④长度相等的弧称为等弧．其中，正确的个数共有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，为的直径，点，在上，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】利用圆周角定理及推论求解 【例5】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．直径所在直线是圆的对称轴 B．同弧所对的圆周角相等 C．直径是弦 D．平面上三个点确定一个圆 【变式5-2】如图，在中，以为直径的交于点D．若，，求劣弧的长．（结果保留） 【考点题型六】利用圆内接四边形的性质求解 【例6】（24-25九年级上·北京·期中）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，． 求证：点，，，在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一  利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹． 步骤二  用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． （i）如图2，假设点在内． 延长交于点，连接， ∴（ ① ）．（填推理依据） ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在内． （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴ ② ． ∵是的外角， ∴ ③ ． ∴ ④ ． ∴ ⑤ ． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． ∴点，，，在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： (1)根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； (2)填写推理依据：①________________； (3)填空：②________，③________，④________，⑤________． 【变式6-1】如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，求的度数． 【考点题型七】确定圆心 【例7】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【变式7-1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式7-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】尺规画圆 【例8】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    【变式8-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）按要求作图． (1)作的外接圆；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)是外的一点，以为旋转中心，将按顺时针方向旋转90度，作出经旋转后的图形，（尺规和量角器作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式8-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，作的外接圆； （2）若是等边三角形，．则的外接圆的半径为__________． 【考点题型九】判断直线和圆的位置关系 【例9】（24-25九年级上·北京·期中）的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【变式9-1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是 ． 【考点题型十】切线的性质和判定综合 【例10】（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【变式10-1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【变式10-2】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【考点题型十一】尺规作圆的切线 【例11】（24-25九年级上·北京·期中）下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法：①连接； ②以为直径作，交于点A，B； ③作直线； 则直线即为所求．根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：是的直径， （___________________________）（填推理依据）． ． 又是的半径， 是的切线（________________________）（填推理依据）． 同理，是的切线． 【变式11-1】（24-25八年级上·北京西城·期中）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点A在上． 求作：直线和相切． 作法：①连接，以A为圆心，长为半径作弧，与的一个交点为B（点B在点A右侧）； ②连接，以B为圆心，长为半径作圆； ③作的直径； ④作直线． 所以直线就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接． ∵， ∴． ∴点A在上． ∵是的直径， ∴ ① （ ② ）（填推理的依据）． ∴． ∵是半径， ∴是的切线（ ③ ）（填推理的依据）． 【变式12-1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 【考点题型十二】利用切线长定理求解 【例12】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式12-1】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【变式12-2】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 【考点题型十三】利用三角形内切圆的性质求解 【例13】（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【变式13-1】（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)求证：； (3)若，，求的长． 【变式13-2】（23-24九年级下·上海·自主招生）已知I是的内心，交于D，交于E，，求长度． 【考点题型十四】利用三角形外接圆的性质求解 【例14】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式14-1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【变式14-2】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【考点题型十五】三角形内切圆和外接圆的综合 【例15】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（    ） A．8 B．6 C． D． 【变式15-1】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【变式15-2】（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【考点题型十六】圆的综合问题——与三角形综合 【例16】（21-22九年级下·浙江宁波·自主招生）P为边长是的正三角形内切圆上一个动点，求的最小值． 【变式16-1】（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： (1)所在的直线经过点I； (2)点D是的中点． 【变式16-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）在Rt△ABC中，已知，，过A、D，B三点画圆O，是直径，的平分线恰好过圆心O，交于点E，且． (1)求证：． (2)求的值． (3)若的延长线与的延长线交于点H，直接写出的长． 【考点题型十七】圆的综合问题——与四边形综合 【例17】（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知． (1)求证：； (2)若M为的中点，求的半径； (3)若的半径为3，求的值． 【变式17-1】（2024·广东阳江·二模）综合探究 如图1，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形 的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点是的中点时，． ①求的长； ②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结，当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【变式17-2】（23-24九年级·江苏·假期作业）【问题提出】 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？    (1)小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： 是的直径， ∴　　， ， ∵四边形内角和等于， ∴　　． (2)请回答问题2，并说明理由； 【深入探究】 如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，． (3)直接写出四边形边满足的数量关系 　　； (4)探究、满足的位置关系； (5)如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【考点题型十八】圆的综合问题——与函数综合 【例18】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【变式18-1】（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【变式18-2】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【考点题型十九】圆的综合问题——其他问题综合 【例19】（2023·吉林长春·模拟预测）如图，为的直径，．动点在上且位于直线上方，连结．将线段绕点顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造正方形，连结、． (1)当点与点重合时，线段的长为______ ； (2)当时，求的长； (3)当为等腰三角形时，求； (4)当点落在的边或边的中线上时，直接写出线段的长度． 【变式19-1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图1，是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直径对折，点落在上的点处（不与点重合），将纸片还原后，连接，，．设与直径交于点．    (1)求证：； (2)如图2，当时，若，求的长； (3)如图3，当时，若，求的长． 【考点题型二十】利用正多边形公式求解 【例20】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 【变式20-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式20-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，则（   ） A． B． C． D．2 【考点题型二十一】利用弧长和扇形公式求解 【例21】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【变式21-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式21-2】（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二十二】求不规则阴影图形的面积 【例22】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式22-1】（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 【变式22-2】（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，半径为，则阴影部分面积______． 【考点题型二十三】利用圆锥公式求解 【例23】（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【变式23-1】（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ）    A．5 B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$