第4章 数列 单元知识梳理+综合检测-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

第4章 数列 单元综合讲义 一、数列的概念 1.数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 严格递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 严格递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 5.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 常用结论： 1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2.在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 二、等差数列及其前n项和 1.等差数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 常用结论： 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 三、等比数列及其前n项和 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 4.把公比满足0＜的无穷等比数列的前项和，当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即 （首项为a，公比q满足0＜时的等比数列） 常用结论： 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误. 4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 四、数列求和 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 常用结论： 1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2.12＋22＋…＋n2＝. 3.裂项求和常用的三种变形 (1)＝－. (2)＝. (3)＝－. 4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 五、数学归纳法 一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成立. 概念方法微思考 1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立.因为n0∈N＋，所以n0＝1.这种说法对吗？ 提示　不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？ 提示　不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可. 3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？ 提示　不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列 单元综合检测 一、填空题 1．63是数列3，8，15，24，35，…的第 项． 2．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 3．已知数列的前项和，则 . 4．已知是1与9的等比中项，则正实数 ． 5．已知数列满足，，则 . 6．已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 7．已知数列满足，若，则 ． 8．已知数列是等比数列，且．设，数列的前n项和为，则 ． 9．已知数列满足，且.设，则数列的前n项和 . 10．已知等比数列中，若成等差数列，则 ． 11．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 12．在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 二、单选题 13．等差数列中，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 14．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 15．已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 16．已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 三、解答题 17．已知数列满足. (1)求其通项公式; (2)求数列的前项和. 18．已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 19．甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 20．已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 21．设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列 单元综合检测 一、填空题 1．63是数列3，8，15，24，35，…的第 项． 【答案】7 【分析】根据规律，找出通项，进而得到答案. 【解析】根据3，8，15，24，35，…归纳出其通项公式为：， 当时，， 所以63是数列3，8，15，24，35，…的第7项， 故答案为：7. 2．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【分析】由数列的定义及数列的分类可得结论. 【解析】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 3．已知数列的前项和，则 . 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【解析】数列的前项和，所以. 故答案为：5 4．已知是1与9的等比中项，则正实数 ． 【答案】3 【分析】根据等比中项的定义得到方程，解出即可. 【解析】由题意得，且，解得. 故答案为：3. 5．已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】由已知递推关系即可求解． 【解析】因为数列满足，， 所以， ， ， ． 故答案为： 6．已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【解析】，若为递增数列，则， 有，解得， 则，时，所以，则k的取值范围为. 故答案为：. 7．已知数列满足，若，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意，由递推关系式代入计算，即可得到结果. 【解析】由条件可得，，，，则. 故答案为：5 8．已知数列是等比数列，且．设，数列的前n项和为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等比数列的性质求得，根据等差数列的性质求得. 【解析】为等比数列，，所以， 为等差数列，所以． 故答案为： 9．已知数列满足，且.设，则数列的前n项和 . 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式进而得到，结合裂项法求和，即可求解. 【解析】解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 所以， 所以数列的前项和为：. 10．已知等比数列中，若成等差数列，则 ． 【答案】4 【分析】由已知可得，观察所求分式即可得． 【解析】设等比数列的公比为，因为， 成等差数列， 所以，所以，且， 所以，解得或， 为保证 有意义，则，所以， 所以． 故答案为：4． 11．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 【答案】2 【分析】设各层的小球个数为数列，利用，可得，，利用数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数. 【解析】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故答案为：2 12．在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 【答案】11 【分析】由题意可知连续3项共有8种情况，然后分类讨论，分，和根据题意讨论即可. 【解析】因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情况， 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”， 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”， 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值为11， 故答案为：11 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 二、单选题 13．等差数列中，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】 利用等差数列片段和的性质求解即可. 【解析】等差数列中，成等差数列， 所以即. 故选：B 14．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可. 【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立. 故选：B 15．已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求和即可． 【解析】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 16．已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】C 【分析】给出①的反例，然后结合可控数列的含义以及等比数列的性质证明②是真命题，即可得到答案. 【解析】对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差， 但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾）， 故对时有. 这表明不是“可控数列”，故①错误； 对于②，若等比数列是“可控数列”，由于数列不是常数列，，故公比. 所以， 从而， 则， 当时，则， 令，则可知当时，不成立； 当时，显然成立，而对于恒成立， 由于为严格增数列，且时，， 故问题等价于存在，使得， 记，随m的增大，减小，故， 故只需，解得，故②正确. 综上，①是假命题，②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于②的判断，解答时要利用等比数列的性质并结合不等式恒成立进行求解. 三、解答题 17．已知数列满足. (1)求其通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式进行求解即可； （2）根据等比数列的项和进行求解即可. 【解析】（1）由，得 又因为， 所以数列为首项为，公比为3的等比数列， 可得，即； （2） . 18．已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等比数列通项公式、前n项和求基本量，进而写出等比数列通项公式. （2）等比数列前n项和公式写出，应用裂项相消法求 【解析】（1）由题知：①， ②， ②÷①得，，解得，代入①式得，， 所以． （2）由（1）知：， 所以， 所以 ． 19．甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 【答案】(1)； (2)第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解 【分析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求； （2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可. 【解析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列的前n项和为， 则， 当时，则， 且不满足上式，则； 又因为当时，， 则 ， 且满足上式，所以. （2）因为，即时不合题意； 当时，可知， 即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购， 令，即， 显然，整理可得， 因为，则， 可知：当时，不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，不等式成立； 综上所述：当时，等式成立， 所以第2029年时，乙企业被甲企业收购. 20．已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）对于，得，两项相减即得到，从而利用等比数列通项公式求通项；对于数列，由等差数列通项公式求解即可； （2）由可知采用错位相减法求和； （3）求出的最大值为1，故，可得，分离参数得恒成立，故. 【解析】（1）数列的前项和为①， 当时，解得. 当时，②， ①－②得，整理得， 所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以. 数列满足，点在直线上. 所以（常数），所以. （2）， 所以①， ②， ①－②得， 整理得. （3）由（1）得， 所以， 所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1， 对所有的正整数都有都成立， 故，可得， 所以恒成立，只需满足，故， 故的取值范围为. 21．设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，，，. 【分析】（1）利用等差、等比数列通项公式就可求解； （2）利用列举求和思想，就可作出判断，再进行证明即可； （3）利用二次函数对称性和指数函数单调性，就可以进行判断，再结合列举即可得到答案. 【解析】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得 （2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：， 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有， 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有； （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：， 而当时，， 当时， ， 所以， 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， 变形得：， 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，， 【点睛】方法点睛：此分段数列，用好列举思想和分类求和思想，就可以作出准确判断. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$