4.4 数学归纳法 （六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

4.4 数学归纳法 题型1：数学归纳法的步骤辨析 1．一般地，在证明一个与正整数有关的命题时，可按下列步骤进行： （1）证明 时命题成立； （2）假设 时命题成立，证明 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从 开始的正整数，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 2．数学归纳法证明“凸多边形内角和定理：”时，第一步应验证n= 时成立． 3．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 4．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为 ． 5．已知，则 ． 6．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 题型2：数学归纳法的项数问题 7．用数学归纳法证明（且），第一步要证明的不等式是 ，从到时，左端增加了 项. 8．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 9．用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ． 10．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 11．用数学归纳法证明命题：时，则从到左边需增加的项数为（　　） A． B． C． D． 题型3：数学归纳法证明数列的通项公式 12．已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 13．设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 14．已知数列、满足，. (1)若数列为等差数列，求数列的通项公式； (2)若数列是公比2的等比数列，求数列的前项和． 15．已知数列满足:，且对任意，都有． (1)直接写出的值; (2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 16．数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 题型4：数学归纳法证明恒等式 17．用数学归纳法证明：对任意的正整数． 18．用数学归纳法证明： (1)； (2)． 题型5：数学归纳法证明其他问题 19．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 20．已知m，n为正整数． (1)用数学归纳法证明：当时，； (2)对于，已知，求证，； (3)求满足等式的所有正整数n． 21．已知，. （1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）； （2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论. 题型6：数学归纳法的综合应用 22．已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则 ；的最小值为 ． 23．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　) A．6+6·7k B．2+7k-1 C．2(2+7k+1) D．3(2+7k) 24．数列中，表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20，，21的因数有1，3，7，21，，那么数列前项的和 25．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 26．已知数列的通项公式，数列的通项公式，则数列（    ） A．既有最大值，也有最小值 B．仅有最大值，而无最小值 C．既无最大值，也无最小值 D．仅有最小值，而无最大值 一、填空题 1．已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是 ． 2．数列满足，其中，，．当，时，该数列的通项公式为 ，若该数列满足对任意的正整数，都有：，当时，符合条件的正整数对的个数为 ．其中为的最大公因数． 二、单选题 3．已知数列满足：，，记的前项和为，且，其中，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知数列满足：，则下列命题正确的是（    ） A．若数列为常数列，则 B．存在，使数列为递减数列 C．任意，都有为递减数列 D．任意，都有 三、解答题 5．对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4 数学归纳法 题型1：数学归纳法的步骤辨析 1．一般地，在证明一个与正整数有关的命题时，可按下列步骤进行： （1）证明 时命题成立； （2）假设 时命题成立，证明 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从 开始的正整数，命题成立．这种证明方法叫作数学归纳法． 【答案】 【分析】略 【解析】略 2．数学归纳法证明“凸多边形内角和定理：”时，第一步应验证n= 时成立． 【答案】3 【分析】由于多边形的边数最少是3，即三角形，故用数学归纳法第一步应验证. 【解析】因为多边形的边数最少是3，即三角形，故用数学归纳法第一步应验证. 故答案为：3. 3．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立. 【解析】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 4．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为 ． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的概念，结合证明的不等式，即可求解. 【解析】由不等式， 当时，可得， 所以用数学归纳法证明时， 第一步应验证不等式为. 故答案为：. 5．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得到和的表达式，进而得到和的关系式，得到答案. 【解析】由， 可得 则， 即. 故答案为：. 6．对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立，则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的概念进行判断即可. 【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法. 故选：D. 题型2：数学归纳法的项数问题 7．用数学归纳法证明（且），第一步要证明的不等式是 ，从到时，左端增加了 项. 【答案】 【分析】观察不等式的结构，式子左边为项之和，则当时，左边为项之和，当时，左边为项之和，时，左边共项之和. 【解析】由已知且， 故第一步要证明的不等式是当n＝2时成立的不等式， 即 ； 又当时，不等式左端为，共项之和， 当时，不等式左端为， 共项之和， 所以增加了， 共增加了项. 故答案为：；. 8．用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到到时，左边增加两项，减少了一项，即可求解. 【解析】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 9．用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别写出和时，等式的左端的表达式，进而得到答案. 【解析】由， 当时，等式的左端， 当时，等式的左端， 所以从“第步到步”时，两边应同时加上. 故答案为：. 10．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 11．用数学归纳法证明命题：时，则从到左边需增加的项数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式时，考虑和时，等式左边的项，再把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案. 【解析】当时，等式左端为当时， 等式左端为， 所以增加的项数为：， 即增加了项， 故选：. 题型3：数学归纳法证明数列的通项公式 12．已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】；证明见解析 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可. 【解析】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 13．设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1)，，，（n为正整数）； (2)证明见解析 【分析】（1）计算出数列的前几项， 由此猜想的一个通项公式； （2）用数学归纳法证明即可． 【解析】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 14．已知数列、满足，. (1)若数列为等差数列，求数列的通项公式； (2)若数列是公比2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列为等差数列，可由条件等式求出，然后得到公差即可得的通项公式，再代入即可求得的通项公式； （2）先求得的通项公式，然后可由条件计算，猜测为等比数列，然后由数学归纳法证明，即可得到通项，再由等比数列求和公式可得. 【解析】（1）由题可知：若数列为等差数列，，令，则 ， 故：，由， 故. （2）由数列是公比2的等比数列可得：， 又，可得， 故猜测是以公比为2的等比数列， 故，下用数学归纳法证明， 当时，成立； 假设时，成立， 下证时，， 由可得：， 故时，仍成立， 所以， 又，根据等比数列求和可得：. 15．已知数列满足:，且对任意，都有． (1)直接写出的值; (2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算即可. （2）由（1）及已知猜想出的通项公式，再利用数学归纳法证明即得. 【解析】（1）数列中，，则，而， 所以. （2）猜想：． 下用数学归纳法证明: ①当时，猜想显然成立； ②假设时猜想成立，即：， 则当时，， 因此猜想对也成立， 综合①②，对任意，猜想成立，即. 16．数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t即可. （2）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时成立，必为中一项得整理化简有，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果. 【解析】（1）由，得，于是， 由，可得，此时， 由知：此时数列为等差数列. （2）由（2）及题设知：为， 则，显然不合题意，适合题意， 当时，若后添入，则，不合题意， 从而必是数列中的某一项，则， 则 即，整理， 显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下： 当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立； 假设时，成立， 当时， 因此当时，不等式成立， 所以恒成立，即无正整数解． 所以满足题意的正整数仅有. 【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键. 题型4：数学归纳法证明恒等式 17．用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【分析】应用数学归纳法证明即可. 【解析】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 18．用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【解析】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 题型5：数学归纳法证明其他问题 19．设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【答案】(1)；；；； (2)当，时，有，证明见解析. 【分析】（1）求出的值即得； （2）利用数学归纳法证明即得. 【解析】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． （2）猜想：当，时，有． 证明：①当时，猜想成立． ②假设当（，）时猜想成立，． 当，． ∵， ∴，则， 即， ∴当时，猜想成立. 由①②知，当，时，有． 20．已知m，n为正整数． (1)用数学归纳法证明：当时，； (2)对于，已知，求证，； (3)求满足等式的所有正整数n． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)满足条件的正整数n的集合为. 【分析】（1）直接利用数学归纳法证明即可； （2）利用指数函数的性质以及放缩法即可证得； （3）利用（2）的结论，以及验证时等式是否成立，即可求出满足等式的所有正整数. 【解析】（1）当时, ，，所以成立， 当时,用数学归纳法证明： (ⅰ)当时， 时,，所以成立， (ⅱ)假设当时，不等式成立，即, 则当时，， ，于是在不等式两边同乘以得， , 所以，即当时,不等式也成立. 综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数不等式都成立. （2）当，时，则，由（1）得， 于是， 因为，， 所以； （3）由（2）知,当时, ，所以， , 即,即当时,不存在满足等式的正整数， 故只需要讨论的情形： 当时,等式不成立； 当时,等式成立； 当时,等式成立； 当时,为偶数，而为奇数，故，等式不成立； 当时，为奇数，而为偶数，故，等式不成立； 综上，所求的只有，所以满足等式的所有正整数n的集合为. 【点睛】本题为数列与不等式和方程的综合问题，属于难题，对于和数列相关的恒等式的证明常用数学归纳法解决. 21．已知，. （1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）； （2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先令．分别求得与，再通过计算比较它们的大小即可； （2）通过前3项进行归纳猜想，用数学归纳法证明．检验取第一个值时，等式成立，假设时成立，证明当时也成立，即可得到猜想成立 【解析】（1）当时，，则； 当时，，，则； 当时，，，则. （2）猜想：，即 下面用数学归纳法证明： ①当时，，则； ②假设当时，猜想成立，即 则当时， 而 下面转化为证明： 只要证： 只需证：， 即证：，此式显然成立. 所以，当时猜想也成立. 综上可知：对，猜想都成立， 即成立，即 题型6：数学归纳法的综合应用 22．已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则 ；的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）由题可得，根据等比数列及等差数列的求和公式可得，利用数学归纳法可得时，，时，，进而即得. 【解析】由题可知， 所以， ， 令，则， 当时，，即，下面用数学归纳法证明 当时，成立，假设时，成立， 当时，，即时也成立， 所以时，，即， 所以时，，时，， 由当时，有最小值，最小值为. 故答案为：；. 23．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　) A．6+6·7k B．2+7k-1 C．2(2+7k+1) D．3(2+7k) 【答案】D 【解析】(1)当k=1时,A答案值为48,B答案值为3,C答案值为102,D答案值为27. 显然只有3(2+7k)能被9整除. (2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立, 即3(2+7n)能被9整除, 那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. 这就是说,当k=n+1时,命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立. 24．数列中，表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20，，21的因数有1，3，7，21，，那么数列前项的和 【答案】 【分析】方法一：将数列，按照（，且）的奇数倍分组，根据数列的定义，求出每个对应的数值，得到一个等差数列，求出和为.然后将每组的和加起来，根据等比数列前项公式，即可求出结果；方法二：由已知求出，，，可猜想.用数学归纳法证明对任意正整数都成立即可. 然后由以及等比数列前项和公式即可求出答案. 【解析】方法一：根据数列的定义可得，，所以. 将数列分为以下各组： 所有的奇数：1，3，5， ，.根据定义，对应中的数列为1，3，5， ，，构成一个公差为2，项数为的等差数列，和为； 2的奇数倍：，，，，.根据定义，对应中的数列为1，3，5， ，，构成一个公差为2，项数为的等差数列，和为； 的奇数倍：，，，，.根据定义，对应中的数列为1，3，5， ，，构成一个公差为2，项数为的等差数列，和为； …… （，且）的奇数倍：，，，，.根据定义，对应中的数列为1，3，5， ，，构成一个公差为2，项数为的等差数列，和为； …… 的奇数倍：，.根据定义，对应中的数列为1，3，和为； 的奇数倍：.根据定义，对应中的数列为1，和为. 所以，数列前项的和. 方法二：由已知可得，，， ， . 则可猜想，. （1）当时，成立； （2）假设时，该式成立，即，即. 则当时，有， 由定义可知，. 所以， ， 所以. 即当时，该式也成立. 由（1）（2）可知，对都成立. 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数列的定义可得，，进而可推出.即可按照（，且）的奇数倍，对数列进行合理分组. 25．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 【答案】C 【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案. 【解析】由题意可得：若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 则， 猜想：， 当时，成立； 假设当时，成立，则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想； 得证， 则连续三项之和为2，故数列的前2020项的和为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 26．已知数列的通项公式，数列的通项公式，则数列（    ） A．既有最大值，也有最小值 B．仅有最大值，而无最小值 C．既无最大值，也无最小值 D．仅有最小值，而无最大值 【答案】B 【分析】特殊值代入验证，利用归纳法进行简单证明. 【解析】解：当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，有， 假设当时，有， 那么当时，，时，都有，即 ， 又 ，且n趋近无穷大时，趋近0，数列有最大值，无最小值． 故选：B 一、填空题 1．已知数列满足，．给出下列四个结论： ①数列每一项都满足； ②数列是递减数列； ③数列的前n项和； ④数列每一项都满足成立． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】利用数学归纳法判断①，通过递推公式，判断出数列单调性，根据取值范围对判断②④，算出即可判断③． 【解析】对于①，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故①正确； 对于②，由，可得数列是递减数列，故②正确； 对于③，，，，， ，故③错误； 对于④，，所以， 累加得，所以，， 所以，又，故成立，④正确． 故答案为：①②④. 2．数列满足，其中，，．当，时，该数列的通项公式为 ，若该数列满足对任意的正整数，都有：，当时，符合条件的正整数对的个数为 ．其中为的最大公因数． 【答案】 【分析】（1）直接构造通项并验证满足递推公式即可； （2）利用最大公因数的性质，将命题等价转化为，再求解满足的的个数即可. 【解析】（1）当，时，有，，. 设，则，，且 . 故具有相同的初值和递推式，故，从而； （2）根据，，，知，. 一方面，若，则，故. 从而； 另一方面，若，下面证明：. 定义数列满足，，. 则用数学归纳法可证明，， 直接利用公式计算可知，对，有. 由于，，，故. 从而如果，就有； 如果，就有. 定义序列如下：，且对非负整数，. 则根据上面的结论，有，同时根据最大公因数的性质，有. 而若，则； 若，则. 综上，总有. 由于非负整数不能无限严格递减下去，故存在非负整数，使得. 考虑前面的不等号的取等条件，有，，或，. 即存在非负整数，使得或. 若，则； 若，则. 所以，而我们又有，，故 . 从而. 综上，的充要条件是. 从而我们需要确定的是，当时，满足的正整数对的个数. 而在的情况下，有，故所求的的个数，就是中和互质的正整数的个数. 由于，故中和互质的正整数的个数相当于从该集合中去掉的倍数后的元素个数，即等于. 所以满足条件的正整数对的个数为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用递推数列和最大公因数的性质解决问题. 二、单选题 3．已知数列满足：，，记的前项和为，且，其中，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由已知递推关系归纳出数列的通项公式，然后计算，由归纳法归纳出并用数学归纳法进行证明，从而得出后可得值． 【解析】，则，所以， ，所以，，，，依此类推得，即， 时，， 时，，，由，得，是递增数列，因此时，， 时， 时，， 假设时，， 则时，， 综上，时，， 所以，显然，即，所以． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式与前项和，解题方法是归纳法，一是用归纳法求出通项公式，二是对数列的前项和，利用归纳法得出一般结论并用数学归纳法证明．对学生的运算求解能力、逻辑思维能力要求较高，属于难题． 4．已知数列满足：，则下列命题正确的是（    ） A．若数列为常数列，则 B．存在，使数列为递减数列 C．任意，都有为递减数列 D．任意，都有 【答案】D 【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C. 【解析】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误； 对B:易得，若为递减数列，则，解得或且，故不存在使得递减数列，故B错误； 对C,令，则，故不是递减数列，故C错误； 对D,用数学归纳法证明 当显然成立， 假设当， 则时，，故当时成立, 由选项B知，对任意 则数列为递减数列，故故D正确 故选：D 【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键. 三、解答题 5．对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)20 (2)，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题设定义得出，，再计算的值； （2）当，时，猜想，利用数学归纳法证明即可； （3）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【解析】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$