4.4 数学归纳法(五大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

*4.4 数学归纳法(五大题型) 分层练习 题型1：数学归纳法 1．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 2．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 3．用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为 . 4．用数学归纳法证明等式“”时，第一步验证需证明的命题为 ． 5．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步是：设，则假设＝ 时正确，再推＝ 时正确． 题型2：数学归纳法的项数问题 6．已知，则中共有 项. 7．用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是 8．已知f(n)＝1＋＋ (n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是 . 9．用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 题型3：利用数学归纳法证明数列问题 10．已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则 ；的最小值为 ． 11．在数列中，，．设向量，已知，给出下列四个结论：①；②，；③，；④，．其中所有正确结论的序号是 ． 12．已知，则 ， ， ， ，猜想 ． 13．已知数列满足：，，且，，其中.则 ，若，则使得成立的最小正整数为 . 题型4：利用数学归纳法证明其他问题 14．函数，满足，，，则 . 15．观察下列不等式： （1） （2） （3） … 由此规律推测，第个不等式为： ． 16．已知函数，对于，定义，则的解析式为 . 题型5：数学归纳法综合解答题 17．设数列满足，且对任意正整数均有．求的通项公式． 18．已知函数，设，且任意的，有. (1)求的值； (2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明. 19．数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 20．已知数列的首项不为0，前项的和为，满足． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)是否存在常数，使得为等比数列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由． 21．已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. (1)若，，求； (2)若，求证：数列中有无穷多项为0； (3)若，求数列的通项公式. 一、填空题 1．已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，，则 ； . 2．数列满足：.若数列单调递减，则c的取值范围是 ；若数列单调递增，则c的取值范围是 . 3．2023年2月22日，中国厦门市一名8岁男孩用时4.305秒单手完成4层汉诺塔游戏，成为新的世界纪录保持者.汉诺塔游戏源于1883年法国数学家卢卡斯提出的汉诺塔问题，有，，三根柱子，在柱上放着由下向上逐渐变小的个盘子，现要求把柱上的盘子全部移到柱上，且需遵循以下的移动规则： ①每次只能移动一个盘子； ②任何时候都不允许大盘子放在小盘子的上面； ③移动过程中盘子可以放在，，中任意一个柱子上. 若用表示个盘子时最小的移动次数，则 ， . 4．已知向量，，，则 . 5．已知数列：，如果数列：满足，，其中，则称为的“衍生数列”．若数列：的“衍生数列”是5，－2,7,2，则为 ；若为偶数，且的“衍生数列”是，则的“衍生数列”是 ． 6．由恒等式：,可得的值,进而还可以算出、的值，并可归纳猜想得到 .（） 二、单选题 7．设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.则下列命题总成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立,则当k≥1,均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立 D．若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 8．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ）